Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Сразу видно, что квадратично интегрируемых решений иет, а ограниченное решение может быть построено, если выбрать С~/С, так, чтобы ф имела вид С(з-"" при х а. Поэтому в интервале 0(Е( Гэ спектр является простым непрерывным. 3) Е ) $'о. В этом случае оба уравнения (2) н (3) имеют осциллирующие решения (еьм" прн х< — а и еьм" прн х)а, йэ,=Š— К), поэтому любое решение уравнения (1) является ограниченным, а квадратично интегрируемых решений нет. Спектр оператора У прн Е ) Уь — непрерывный, двукратный. На рис. 6 собственные значения оператора Н изображены горизонтальными линиями, обычной штриховкой показана область простого непрерывного спектра, а двойной штриховкой— область двукратного спектра. Обсудим физический смысл решений уравнения (1). Квадратично интегрируемые решения описывают стационарные состояния с энергией, равной собственному значению.
Эти функции экспонеициально убывают при ~х~-+ оо, поэтому вероятность обнаружить частицу вне некоторой конечной области близка к нулю. Ясно, что такие состояния соответствуют финит- ному движению частицы. Собственные функции непрерывного спектра непосредственного физического смысла не имеют, так как они не принадлежат пространству состояний. Однако с нх помощью могут быть построены состояния типа волновых пакетов, которые мы рассматривали для свободной частицы. Эти состояния могут быть истолкованы как состояния с почти заданной энергией. Изучение эволюции таких состояний показывает, что онн описывают частицу, которая при )1(- оо уходит на бесконечность (инфинитное движение). К этому вопросу мы еше вернемся, когда будем изучать теорию рассеяния.
В классической механике, как и в квантовой, при Е ~ 0 движение является финитным, а при Е ~ 0 — инфннитным. При 0 < Е ( Р, частица может уйти на бесконечность по одному направлению, а при Е ) Рэ — по двум, Обратим внимание на то, что кратность непрерывного спектра совпадает с числом направлений, по которым частица может уйти на бесконечность, На примере частицы в одномерной потенциальной яме рас. смотрим вопрос о классическом пределе квантовых стационар.
ных состояний. Для вычисления предела (!4.15) удобно использовать асимптотическнй вид решения уравнения Шредингера при й-э О. Методы построения асимптотических решений уравнения Шредингера при 6 - 0 носят название квазиклассических методов. Мы применим один из таких методов — метод Вен. целя, Крамерса, Бриллюэна (ВКБ). Уравнение Шредингера запишем в виде ф" +, ) ф=0. й' 89 ную Планка й можно считать достаточно малой в условияк кон. кретной задачи. В дальнейшем будем считать, что потенциал У(х)'= О прн (х( ) а и пусть Е ( О. Предположим, что при шш У(х) < Е < О имеется две точки х~ и хг ( — а ( х~ ( хз а), удовлетворяющие условию Š— У(х) = О.
Это так называемые точки поворота, в которых частица, согласно классической механике меняет направление движения на противоположное. Нетрудно понять, что в классически запрещенной области (х ( х~ илн х ) хз) одно из ВКБ-решений экспоненциально возрастает, а второе — затухает при удалении от точки поворота в глубь запрещенной области. При ~х~ > а ВКБ-решения совпадают с точными и имеют вид е+"", где Е = — из. Вспомним, что собственная функция дискретного спектра оператора Н экспоненцнально убывает при х -~- ~со. При Ь -ь О собственная функция в разрешенной области должна совпадать с некоторой линейной комбинацией ВКБ-решений С~р, + Срам Построение такой линейной комбинации является сравнительно сложной задачей, так как ВКБ-решения теряют смысл в точках поворота. Можно показать, что условия убывания функции ф(х) при х- — се выполняются, если Аналогично нз условий убывания при х-ь+ао следует, что Эти два выражения для ~р(х) совпадают, если ~Р(х)их=па(п+ ~), в=О, 1~ 2, х, (13) Условие (13) определяет собственные значения энергии в квазиклассическом приближении и соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда в старой квантовой теории.
Перейдем к вычислению классического предела квантового состояния. Предел при Ь- О можно находить при различных условиях. Можно, например, рассмотреть состояние, соответствующее собственному значенйю энергии Е„при фиксированном значении числа а из условия (13). Легко видеть, что тогда Е„-ь7,= ппп У(х) при 6-ьО и в пределе получится состояние х покоящейся частицы на дне потенциальной ямы.
Мы разберем более интересный случай: й -ь О, и- со, а энергия Е остается постоянной. (Заметим, что в данном случае интеграл в леной к+из з!п —, 1 Р(х)дх+ — Х .l1 Г Я~ к, к+Ьи и.' .! (,Ыи,) Р() „,~ ~» к к+из к ! и(ии*+-„' !сии.-~-,')1. к, к| =Вт С 'Гиии и7(к Хи (и !и(ии -«-,')= к) /! — соз— Все нормировочные множители мы обозначаем буквой С. Пре- дел второго слагаемого в смысле обобщенных функций равен нулю, поэтому р(х, и) = — сов(р(х) и).
С р (х) Используя (14.16), найдем функцию распределения для пре- дельного классического состояния р (д, Р) = — $ е-'~'и соз (р (д) и) йи = С Р (ч) е ~ии (Е1Р (и! и + е 1Р !и) и) г(и С р Р(й) Окончательно получим р(Ч Р) (б(Р Р(с7))+б(Р+Р(Ч)Н (14) Состояние, описываемое функцией р(д, р)„имеет очень простой смысл. В этом состоянии плотность функции распределения координаты обратно пропорциональна классической скорости частицы, а импульс частицы в точке д с равной вероятностью может принимать два значения ~р(д). Формула (14) была получена для разрешенной области. Нетрудно таким же способом проверить, что в запрещенной области р(д, р) = О. 5 21. Трехмерные задачи квантовой механики, Трехмерная свободная частица Оператор Шредингера для свободной частицы в координатном представлении имеет вид Ь' Н= — — Ь.
зии (1) части (13) от Ь не зависит и Ь -и О, пробегая некоторую последовательность значений.) Подставляя з формулу (14.15) асимптотическое выражение (11) для ф(х), получим Р(х, и) = — 1!ш ф(х+ иЯ) ф(х)= зи и.+о Уравнение для собственных функций (при Ь = 1, т = 1/2) — бф=й'ф, Е=й'>0 имеет решения з Фа (х) = ( — ) е'"" (2) (3) Нормировочная константа выбрана из условия ~ ф„(х) $„,(х)ах=0(к — к'), Мы видим, что спектр оператора Н является положитель- ным, непрерывным, бесконечнократным. Каждому направлению вектора к соответствует собственная функция (3) с собствен- ным значением йз.
Поэтому собственных функций столько, сколько точек на единичной сфере. Решение задачи Коши для нестационарного уравнения Шре- дингера 1 — ~ Нф, ф(0)=<у, . л9 как и в одномерном случае, легче всего получить в импульсном представлении: с =рзф(р, 8), ф(р, 0)=~9(р).
Очевидно, что ф(р, () =%(р)е-ыч. 11ш Я, ф(г)) =0 1-Ьюэ для любого $ енМ, 93 Переходя к координатному представлению, получим э ф(х, 1)=( — ) ~<9(р)е~йа*-гч>г(р — ~~р(й)ф (х)е мчЛ. ау а' Так же, как и в одномерном случае, функции ф(х,г) нлн ф(р,г) описывают инфинитное движение частицы с независя- щей от времени функцией распределения импульса. Используя метод стационарной фазы, можно показать, что область, в ко- торой велика вероятность обнаружить частицу, перемещается с классической скоростью ч= 2рз (мы считаем, что носитель фУнкции ~9(Р) сосРедоточен в окРестности точки Рз).
СпРавед- лива опенка (ф(х, ®< —, с (Ф' где С в некоторая постоянная. Наконец, как и в одномерном случае, 5 22. Трехмерная частица в потенциальном поле Оператор Шредингера для частицы в потенциальном поле в координатном представлении имеет вид Ь2 Н=-2 л+(/(х). Важность задачи о движении частицы в потенциальном поле объясняется тем, что к ней сводится (как и в классической механике) задача о движении двух тел. Покажем, как это делается в квантовой механике. Рассмотрим систему двух частиц с массами п2! и п22, взаимодействие между которыми описывается потенциалом Р(х! — х2). Запишем оператор Шредингера этой системы в координатном представлении Ь2 Ь2 Н л! Д2 + У(х! х2) 222! ' 2И2 Здесь Л! и Д2 — операторы Лапласа по координатам первой и второй частиц соответственно. Введем новые переменные Х= .
х=.х — х М!Х! + 222Х2 2!! + 222 ! 2~ Х вЂ” координаты центра инерции системы, а х — относительные координаты. С помощью простых вычислений получим выражение для Н в новых переменных: Ь2 Ь2 Н=- и Л.— 2 Л.+~7(х). Здесь М = л2!+ п22 — полная масса системы, а и = л2!п22/(п2!+ +та) — так называемая приведенная масса. Первое слагаемое в Н может быть истолковано как оператор кинетической энергии центра инерции системы, а оператор Ь2 Н! = — — Д+ У(х) 2в является оператором Шредингера для относительного движе. ния, В уравнении НЧ' = ЕЧ' переменные разделяются, и решения такого уравнения можно искать в виде Ч!(Х, х) = 2Р(Х)2Р!(х). Функции 2р(Х) и 2р2(х) удовлетворяют уравнениям (Ь = 1) — -йВ. Д2р(Х) = 22р(Х), — Д2р! (х) + У (х) 2р! (х) = е!2р! (х), 1 причем Е = е+ еь Первое из этих уравнений имеет решения з ф ()с) ~ ) е1кх 1 Т К' задача сводится к решению второго уравнения, которое по форме совпадает с уравнением Шредингера для частицы с массой р в потенциальном поле г'(х).
Отметим, что спектр оператора гт является всегда непрерывным, так как непрерывным яв- 1 ляется спектр оператора — — Л . 2М Наиболее важным случаем задачи о движении частицы в потенциальном поле является задача о движении в поле силового центра, В этом случае потенциал $'(х) = $'()х() зависит только от ~х~ = г. К задаче о центральном поле сводится задача двух частиц, если потенциал взаимодействия зависит только от расстояния между частицами. Прежде чем переходить к рассмотрению этой задачи, мы изучим свойства момента импульса и некоторые вопросы из теории представлений группы вращений, что позволит нам явно учесть сферическую симметрию задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
