Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В заключение приведем несколько примеров вычислений по формулам этого параграфа. Найдем формулу для ядра оператора А~ в координатном представлении. Используя формулу 'г' (о) У (и) (х, х') = е-ы'6 (х — иЬ вЂ” х'), получим А~(х, х')= — ~7(и, о)е '""6(х — ий — х')е Я йиЫо, ы А~ (х, х') = яия ~ ~ ~,, о) е ' Но.
(! 4) Покажем, что ~(д) "я Щ). Для такой функции на фазовом пространстве Г (и, о) = — ~ 'Г (у) еыее'ЯЯ г(у др= 7 (о) 6 (и). ! Здесь через г(о) обозначено преобразование 'Фурье функции одной переменной ~(д). Далее по формуле (14) А~(х, х')= — „, ) 6 (, )7(о)е ' й~= =~( я )6(х — х)=~(х)6(х — х), Ъ'(-о)Т3( — и) Р„6(х) = ем" ~ К(х )ф$(х ) дх'ф(х+ ий) следует, что У( — о) И( — и)Ре(х, х')=е""ф(х+ иЬ) $(х'), СЬию р(и, о) = — „йТг У( — о)0(-и)Рве ' гяура 25 = — „~еы'ф(х+ий) ф(х)е я дх. 70 а оператор с таким ядром является оператором умножения на функцию )(х). Точно так же в импульсном представлении легко проверить, что ((Р) ~-+ )(Р).
Получим явную формулу, по которой можно найти класси. ческое состояние, соответствующее пределу чистого квантового состояния при Ь -~ О. Используя формулу обращения, найдем р1'(д, р), соответствующую оператору Р, и построим р(д,р)= р1/(2кй). Вектор ф считаем заданным в координатном представлении, Из формулы Если ввести функцию* Г(х, и) = — Вш ф(х+ иИ) Р(х), л" а-та то б(и, о)= ~егалР(х, и)ах (15) есть Фурье-образ классической функции распределения, соответствующей пределу состояния Ре при И- О. Для самой функции распределения р(г),р) справедлива формула р (д, р) = ~ е 'и"Р (г), и)с(и. (16) Пусть ф(х) — непрерывная функция и не зависит от И как от параметра.
Тогда Р (,.) = —,'„~ ф(.) 1' н р(Р. О)=~ ф(г)) Рб(р). На этих примерах мы видим, что чистому состоянию квантовой механики в пределе при И -~.0 может соответствовать смешан. ное классическое состояние. Э 16. Одномерные задачи квантовой механики. Свободная одномерная частица В й 15 — 20 мы рассмотрим одномерные задачи квантовой механики.
Функция Гамильтона для частицы с одной степенью свободы в потенциальном поле имеет вид О(Р ч) = ~ + )г (ч). Этой функции Гамильтона соответствует оператор Шредингера О = —;.'+ ~'(()), ' Этот предел ке всегда является тривиальным, так как а физически интересных случаяк функивя ф(л) обычно зависит от И как от параметра (см. пример ниже). Такому квантовому состоянию в пределе И-~-0 соответствует состояние покоящейся частицы с плотностью функции распре. деления координаты )ф(д)~з. гл,л Пусть тр(х)=~р(х)е ", где ф(х) от И не зависит и непрерывна.
В этом случае в пределе при И- 0 мы придем к классическому состоянию с функцией распределении р(р. б)-! ф(б) ~зб(р- рс) Для свободной частицы Р = О. Мы начнем с изучения этой простейшей задачи квантовой механики. Найдем спектр оператора Шредингера РФ Н= —. (1) 2и ' Уравнение для собственных векторов имеет вид ра ф=Еф (2) или в координатном представлении а~ Р~) — — — =Еф яе дх~ (3) Удобно использовать систему единиц, в которой Ь = 1 и гп = = 1/2.
Тогда уравнение (2) при Е 0 принимает вид ф" +йзф=О, йз=Е й>0. (4) Последнее уравнение имеет два линейно-независимых решения ! ф (х) = ( — ) сыдым. (б) Мы видим, что каждому значению Е ) 0 соответствует две собственных функции оператора Н. При Е ~ 0 уравнение (3) не имеет ограниченных на всей вещественной оси решений. Таким образом, спектр оператора Шредингера (1) — непрерывный„положительный, двукратный.
Функции (5) одновременно являются и собственными функ. И циями оператора импульса Р = — ( —, соответствующими собдх ственным значениям ~А. Заметим, что функции (5) не принадлежат ьзЯ) и поэтому не являются собственными функциями в обычном смысле. Для записи последующих формул удобно считать, что — оо ( й оо, й=~ ~/Е. Тогда оба решения (5) имеют вид 1 ь()=© (6) Нормнрующий множитель в (6) выбран из условия ~ т;(х)ь~» (х)гтх=б(й — й'). Столь же просто получаются решения уравнения (2) в им* пульсном представлении. При гп = 1 уравнение (2) имеет вид ртф = йтф, (8) 'а его решениями являются функции фь(Р)=б(Р— й), й=~ ~/Е (9) Нормировка функций (9) выбрана такой же, как и функций (6), ~ ф (р) ф„~ (р) г(р = ~ б (р — й) б (р — й') др = б (й — й ).
Для того чтобы выяснить физический смысл собственных функций фы построим решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы 1 " д = Нф (() при начальном условии ф(0) =ф, И~1= 1. Проще всего эта задача решается в импульсном представлении Очевидно, что ф (р, г) = ф (р) е В координатном представлении это же состояние описывается функцией ! 'Ф(х,()=( — „) ~ф(Р)е'~~" е" г(Р= ~ф(й)фь(х)е '"'г(й.
(10) Легко проверить, что нормировка функции ф(х,г) не зависит от времени ~ Ф(х ~)!'ах=~ 1ф(р) Р (р=1 Формулу (10) можно рассматривать и как разложение решения уравнения Шредингера ф(х,1) по стационарным состояниям, т. е. как обобщение формулы (9.!3) на случай непрерывного спектра. Роль коэффициентов С„здесь играет функция ф(е). Состояние, описываемое функциями ф(х, г) или ф(р, Е), имеет наиболее простой физический смысл в том случае, когда ф(р) отлична от нуля в некоторой малой окрестности точки ре, Состояния такого типа обычно называют волновыми пакетами. График функции ~ф(р) ~з изображен на рис. 4. Напомним, что (ф(р, г) )з = ~ф(р) )з есть плотность функции распределения импульса. Тот факт,что эта плотность не зависит от времени, есть следствие закона сохранения импульса для. свободной частицы.
Если распределение 1ф(р)1з сосредоточено У (й ) = 1 Г (х),~'~(м~х (11) при У- оо. Для случая гладких функций Цх) и г(х) и при наличии одной точки стационарности х функции ((х) (а, Ь) (1'(х) = О, (о(х) Ф 0) имеет место фор- Рис, 4 в интервале мула У(У) = ( — )тг(я)() ' Р(х) ехр ((М) (х) + — '" з(Впав" (х)) + О (д). (12) Перепишем выражение для ф(х, г) в форме Верхний знак в экспоненте соответствует г' > О, нижний г ~ О, найдем асимптотику функции ф(х,г) при 1- ~ос по формуле (12).
Точка стационарности находится из условия ~'Щ) = г. 2р+ — =О, ' Теорема Римана-Лебега утверждает, что ~ 1(х)е'~" Их.+О ири М-» оо, если функция 1(к) кусочно-неирерыина и абсолютно интегрируема и» всей оси -со мб х » ое, в окрестности точки ре, то состояние ф(() может быть истол. ковано как состояние с почти точно заданным импульсом. Функция (ф(х,() ~а есть плотность функции распределения координаты. Проследим за ее эволюцией во времени, Прежде всего из теоремы Римана — Лебега * следует, что для гладкой ф(р) ф(х,()- О при ~(~- оо, поэтому стремится к нулю )ф(х, 1)('с(х, взятый по любой конечной области вещественной оси И. Это значит, что при ~(~-ь ос частица уходит из любой конечной области, т. е, движение инфинитно.
Для того чтобы более подробно проследить за движением частицы при больших ~(~, используем метод стационарной фазы. Этот метод применяется для асимптотического вычисления интегралов вида откуда р = —. Далее г" (р) = '-Г2 и при 1-ь~оь 1 Ф( г)=Ф( г)(з! ) е ' +ОС+!г!), (13) где т — вещественная функция, вид которой для дальнейшего неважен. По предположению функция ~р(р) отлична от нуля только в малой окрестности точки ра, поэтому !ф(х, Г) ('=~%( — ) ~ — + ~ щ ) ~ 2!1! Г 1 +О~ —,, ( отлична от нуля только вблизи точки х= 2рей Из ~!! ( этого соотношения видно, что область„в которой отлична от нуля вероятность найти частицу, перемещается вдоль оси х с постоянной скоростью и = 2рм т. е.' остается справедливой классическая связь между импульсом и скоростью р = — гпо (напомним, что мы положили т = !!2), Далее из асимптотического выражения для !ф(х,г) !' ясно, что для корня из дисперсии координаты Ь„х при больших значениях !1! скраведлнва формула Д„хщ2Д„р!1! А„хам Л„,п !! !.
или Это означает, что область, в которой велика вероятность обнаружить частицу, передвигаясь вдоль оси х, будет расплыватьгя со скоростью Л о. Нетрудно пойять без всяких вычислений, что поведение классической свободной частицы, находящейся в состоянии с ненулевыми дисперсиями координаты и импульса, будет точно таким же. Таким образом, квантовая механика приводитпрактически к тем же результатам для свободной частицы, что н классическая. Единственное отличие состоит в том, что в квантовой механике, согласно соотношению неопределенностей, нет состояний с нулевыми дисперсиями координаты и импульса.
Отметим еще некоторые формальные свойства решения уравнения Шредингера для свободной частицы. Из соотношения (13) следует, что ф(х, г)=О~ —,„), т. е. при любых х имеет место неравенство ! ф (х 1) ! (— !г!ь ' где С вЂ” некоторая константа. Естественно ожидать поэтому,что вектор ф(1) слабо стремится к нулю при !Г~-э сю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
