Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Разумеется, при таком предельном переходе способы описания механических систем остаются различными (операторы в гильбертовом пространстве не могут превращаться в функции аа фазовом пространстве), но физические результаты квантовой механики прн Ь-+О должны совпадать с классическими. Мы опять рассмотрим систему с одной степенью свободы.
Изложение будет вестись по следующему плану. * Здесь есть аналогия со связью между релятнвнетекой н класснческой механнкамн. релятнвястскнмн вффектамн можно пренебречь, если характерные для системы екоростн е много меньше екороетн света с. Формально пе. реход от релятнвнетехой мехакнкн к класснчеекой можно раесмвтрнвать как предельный переход прн е-ь ео, Сначала вещественным функциям на фазовом пространстве ~(р,д) мы сопоставим по некоторому правилу самосопряженные операторы Аь ((-ь А)).
Далее мы найдем формулу обращения, позволяющую по оператору А~ восстановить функцию ~(р,д), (Аг-ь (). Тем самым будет установлено взаимно-однозначное соответствие между вещественными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операторами в Зв, () — «А(). При этом справедливой оказывается формула ТгА) ~у(р, д) (1) Наконец, мы найдем, какие функции на фазовом пространстве соответствуют произведению Аг зАа и квантовой скобке Пуассона (АьАк). Мы увидим, что этн функции не совпадают с произведением )йг и классической скобкой Пуассона (1, и), но в пределе при й-ьО стремятся к ним.
Таким образом мы убедимся, что алгебра наблюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классической механики, но при Ь-ь 0 взаимно-однозначное соответствие ) ..-ь Аг становится изоморфизмом. Пусть квантовая система с оператором Шредингера Н находится в состоянии М, и пусть А( — некоторая наблюдаемая для этой системы.
Описанное взаимно-однозначное соответствие позволяет сопоставить операторам Н, М и А~ функцию Гамильтона Н(р, д), функцию рг(р, О) и наблюдаемую Др,п). Введем р(р, г)) = р~(р, О)12п)ь из формулы (1) следует, что ТгМ= ~ р(р, О) г(рг)у= 1, (2) ТгМАг — ~ ~(р,4р(р, д)г(рг(О. (3) ' Еще раз подчеркнем, что левая часть з (3) не совпадает с правой при Ь ® О, так как произведению МЛ~ соответствует функпия, отличная от 1(р,о)р,(р,е). Кроме того, заметим, что фучкпня р(р,д) при Ь ть О может быть не положительной, т.е. не соответствовать классическому состоянию, но в пределе при й-~ О из (3) следует, что р(р, и) удовлетворяет всем требованиям к классической функции распределения.
зб 3 заз. зю Формула (2) показывает, что функция р(р,д) имеет правильную нормировку, а формула (3) утверждает, что в пределе при й-ьО среднее значение наблюдаемой в квантовой механике совпадает со средним значением соответствующей классической наблюдаемой*. Далее пусть эволюция квантовой системы описывается картиной Гейзенберга и соответствие А)(() т)(Г) уСтаНОВЛЕНО дпя П)йОИЗВОЛЬНОГО МОМЕНтаВрЕМЕНИГ, Покажем, что при Ь-~.б классическая наблюдаемая г(г) правильно зависит от времени. Оператор Аг(г) удовлетворяет уравнению =Аз,Я = (и, А, (г))„, (4) Из линейности соответствия Г Аг следует, что — л в( сгАг Л си кроме того, при и- 0 (Н,Аг)в.е-ь (Н,Д, поэтому при Ь-ьО классическое уравнение — '„, '=(н,п является следствием квантового уравнения (4).
Перейдем к подробному изложению. Рассмотрим некоторую функцию Г(р, д) и обозначим через Г(и, о) ее преобразование Фурье "': Г'(О, Р) = — ~ Гв (и, о) е ге"е-'л" г(и с~о, 1 ((и о) — ~ ~(д р)н~ееаши гбуг(Р (5) (5) Преобразование Фурье вещественной функции Г(р, д) обладает свойством 1(и, о)=((-и, — о).
(у) гг(и) р(о) = (г(о) гг(и)егявь Естественный (но отнюдь не единственный) рецепт, обеспечивающий самосопряжеиность, был предложен Г. Вейлем и имеет вид гвие АГ= з $ер(и, о) ~'(о)(г(и)е з йиг(о. (9) Нь Появление дополнительного множителя е ' связано с неком мутатнвностью Р(о) и У(и) и обеспечивает самосопряженность " Мы опускаем те оговорки, которые следовало бы сделать„ чтобы все дальнейшие преобразования стали вполне строгими, Для построения оператора Аь соответствующего функции Г(р, д)„хотелось бы заменить переменные о и р в (5) на опера.
торы Я и Р. Сразу, однако, неясно, в каком порядке следует писать некоммутирующие множители к'(о) и У(и), перестано« вочные соотношения для которых имеют вид оператора Аь Действительно, используя (7) и (8), имеем в Мвс А;=+~~(, )й()Р"() а ( = 1йи~ = — ( г( — и, — о)У( — и) 1т( — о)е " с(ис(о= 2п З = — ~ ег (и, о) У(и) 1т(о) е ' г(и г(о = = — ~ 1 (и, о) У (о) У (и) е ' с(~ Ы~ = Ль (1О) где К(х,у) — ядро оператора К.
Найдем ядро оператора У(о) У(и). Из формулы )т(о) (7 (и) ф (х) = е-"'ф (х - ий) следует, что ядрам интегрального оператора У(о) У(и) является функция )т (о) (7 (и) (х, х') = е-ш" 6 (х — и6 — х'). По формуле (10) имеем Тг 'т'(о) У(и) = ~ е '""Ь( — иЬ)г(х= — „Ь(о)б(и). (11) Проверим, что формула обращения имеет вид г(и, о)=ИТгАг 'т'( — о)У( — и)е (12) Для этого сосчитаем правую часть равенства, используя (8) и (11), ТгАгУ( — о)У( — и)е ' савин гаев = — „Тг~((и', о') т'(о')У(и')е ' (г( — о)У( — и)е ' г(и'г(о'= в В дальнейшем в нвшшанни интеграла по и-мерному пространству мм опускаем символ Й". ет В конце этого параграфа мы проверим, что по формуле (9) функциям ~(д) и 1(Р) соответствуют операторы 1(Я) н 1(Р) в полном согласии со сделанными прежде предположениями. Найдем теперь формулу обращения.
Прн вычислении следа оператора К мы будем пользоваться формулой Тг К = ~ К (х, х) т(х, ы = — Тг ~('(и', о ))Г(о ) г ( — о)У(и ) У( — и)е' г1и'гГо'= 1 Н» » г», — (»»'»»'+и»»-з»»ое — Тг ~ »» (и, о') )» (о~ — о) У(ц — ц)е з»(ц»(о ге з ~) (и» о) б (о' — о)Ь(и' — и)е з '~Дц'1(о'— 1 = — „1(и, о).
Положим в формуле (12) ц = о = О )'(О, О)=ЬТГАО С другой стороны, ((О,О)= —,' ~Пр,д)(, (Ф и мы убеждаемся в справедливости формулы (1). Теперь нам осталось найти по формуле (12) функции иа фазовом пРостРанстве, соответствУющие Аг Ае и (Аь Ае)ы и убедиться, что при Ь-ь О эти функции стремятср к (й и Ц, о). Сначала найдем функцию Р(р,»1), соответствующую несимметризованному произведению А1Ае. Для ее Фурье-образа имеем ц»»»»» Р,(и, о) ЬТгА1Ае)г( — о)У( — и)е ' и»»»»»»» ЬТг( — ) ~ г(ц1до1»тиздозг(иь ог)К(из, оз) М(о~)У(и~)е ' Х е»и»» Х 1»" (оз)У(из)е ' )г( — о)У( — ц)е ' ггътг =ЬТг1' — „,) ~~Ь1Ио1би, (оД(и„о1)Ф(цз,оз)Х Х )г (о1 + оз — о) У (и1 + и, — и) Х Г гз Х ехр( — (и1ог+ изоз+ ио+ 2и1оз- 2и1о — 2изо)~. Окончательно А1Ае»-+ -я„- ~ г(и1 г(о1 г(ие иозг (и1, о1) й (цз, оз) б (о1 + оз — о) Х 1 гз „ Х б(и, + ц, — и) еЕ'""' ""'.
(13) Показатель в экспоненте был преобразован с учетом стоящих под знаком интеграла б-функций. Напомним, что преобразование Фурье Ф(и, о) произведения двух функций Ф(р, о) =1(р, д)д(р, о) есть свертка преобразований Фурье сомножи. телей Ф(и, о) = 1 = — 2„~ЙИ 1о ММ(иь о~)К(и», о»)б(о~+о — о)б(и+и -и). Функция Р(и, о) отличается от функции Ф(и, о) множителем гл » <"*-"~') который стоит под знаком интеграла. Этот мно- В житель зависит от порядка операторов А~ и А», поэтому операторам А~А» и А»А~ соответствуют разные функции на фазоы — м и-»юд вом пространстве.
В пределе при 6- 0 е» * -л1 и г(р,д)-Ф(р,о). Разумеется, это утверждение справедливо и для функции р,(р,д), соответствующей симметризованному произведению А~ оА». Обозначим через О(р,о) функцию, соответствующую квантовой скобке Пуассона (Аг А,)л л (А~А» А»Ад Из формулы (13) получаем О(и, о)= а ~ ии| и о у ииэ по»1 (иь о1) й (им оэ) 6 (о ~ + оэ — О) Х 1 — „~ с(и1 Но1 Низ Ио»(» (ио о1) й (иэ, о») б (о~ + о» вЂ” о) Х 1 л Х Ь (и, + из — и) з)п — (и»о1 — и~о») 2 и при й-эб 1 6(и, о)-+ — „~ Ии, йо, Ии,до,(и,о, — и,о,)1»(иь о1)~(им о,))( Х б (о ~ + о» вЂ” о) б (и1 + иэ — и).
Интеграл, стоящий в правой части, является преобразованием Фурье от классической скобки Пуассона (1 И= — — — — —. а( дд а( ая др ае ди др ' так как преобразованиями Фурье производных — и »- явам д1 дч ляются функции — (ог н — 1иг соответственно. Таким образом, мы проверпли все утверждения, сделанные в начале параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
