Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Формула (9) есть аналог равенства (фг фх) =бы для собственных векторов дискретного спектра. Построим теперь спектральную функцию оператора импульса. Только в этом месте мы используем для спектральной функции букву П, чтобы не путать ее с оператором импульса. В импульсном представлении оператор П~(Х) есть оператор умножения на функцию И, Р,) р (р) - 8 (~ — р) ф (р).
Перейдем к координатному представлению. Используя формулу (! 1.9) для одномерного случая, получим 2~6 ~ ь х = — ~ е" Ыр= ~ фР(г)цр~у)г1р. Производная от спектральной функции по параметру Х называется спектральной плотностью. Ядро этого оператора имеет вид и — 1 — „'хы-и — „х Пр(х)(х, у) =ф„(х) фх(у) = — е" Мы видим, что это аналог проектора иа одномерное собствен- ное подпространство. $ 13.
Энергия, момент импульса и другие примеры наблюдаемых Перейдем теперь к изучению более сложных наблюдаемых. Наша задача сопоставить произвольной классической наблюдаемой 1(р, д) ее квантовый аналог Аь Хотелось бы положить А~ =)'(Р, Я) ио не существует общего определения функции от некоммутирующих операторов. Например, уже не понятно, какой из операторов ЯзР, ЯР() или РЯт следует сопоставить классической наблюдаемой узр. Однако для наиболее важных наблюдаемых указанных трудностей вообще не возникает, так как эти наблюдаемые являются суммами функций от коммутирующих между собой компонент Яь Яи Оз и ЄЄР,. Приведем некоторые примеры. Кинетическая энергия частицы в классической механике Р~ + Рэ + Рз 2 Соответствуюший оператор кинетической энергии имеет вид Р;+ Р'"+ Ф н в координатном представлении а2 Тф (х) = — 2 Лф (х), или где д~ д' д1 где Л= —,+ —,, + — — оператор Лапласа.
В импульсном дх~ дк~а дхтз представлении оператор Т есть оператор умножения на функцию Точно так же легко ввести оператор потенциальной энергии УЯь Яь Яз) В координатном представлении У является опе- ратором умножения на функцию У~р(х)= г' (х) ф(х), а в импульсном — интегральным оператором с ядром с„, К(р, и)=( — „) ~ Р(х)е" йс. Оператор полной энергии (оператор Шредингера) определяется равенством Н вЂ” — — Т+ Р. Запишем подробно уравнение Шредингера й — = иф (~). нФ (~) В координатном представлении уравнение Шредингера для частицы является дифференциальным уравнением в частных производных гп "' = — я,ч Л"т(», ()+ $'(х) ф(х, У), (4) а в импульсном — ннтегродифференциальным (й ~в,' =+ф(р ~)+ ~ У(р й)'Ф(й О 'й.
Рассмотрим наряду с (4) уравнение для комплексно-сопря- женной волновой функции — Ей ' = — — Ьф(х, У) + У(х) ф(х, У). (5) дф(х, С) Ь' Умножая уравнение (4) на ф, уравнение (5) на ф и вычитая одно из другого, получим = — ~,„Иааф- ф М) = — ~,„б(тй агаб ф — Ф агап Ф) — + б(ч) =О, д1$р (6) ) = — (ф дгаб ф — Ф дгад ф). Уравнение (6) является уравнением неразрывности и выражает закон сохранения вероятности.
Вектор ) называется вектором плотности потока вероятности. Из уравнения (6) видно, что вектор ) имеет следующий смысл: ~ 1'„за есть вероятность того, что частица пересечет поверхность 5 за единицу времени. Важную роль и в классической, и в квантовой механиках играет момент импульса. Эта наблюдаемая в классической механике является вектором, проекции которого в декартовой системе координат имеют вид (з = ЧзРз — ЧзРм 1з = ЧзР1 — Ч~Рз (з = ФРз — Чзрз В квантовой механике проекциями момента импульса являются операторы (7) Здесь и, 1, пз — циклическая перестановка значков 1, 2, 3.
В правую часть (7) входят произведения только разноименных координаты и проекции импульса, т. е. произведения коммутирующих операторов. Интересно заметить, что операторы Е» имеют одинаковый вид в импульсном и координатном пред- ставлении Ь / д а~ ~ззр(х) = — (хз ~ — х — ) ф(х), Ьт д . дк (- ф (Р) Рт Р ф (Р) (8) Свойства операторов Ьз будут подробно изучены ниже. Квантовая механика описывает, конечно, и более сложные, чем материальная точка, системы. Так, для системы из зу материальных точек пространством состояний в координатном представлении является пространство * з,з((тз") функций от Ф векторных переменных ф(хь...,хл). Оператор Шредингера для такой системы (аналог функций Гамттльтона (1,5)) имеет вид и и М аз Н вЂ” — ~ й Лз + ~л) т н (хю — х!) + ~ )' г (хз). (9) з ! з<! с-~ е В дальнейшем мы увидим, что для тождественных частиц пространство состояний ая совпадает с подпространством з'.З<='з.
функций с определена 2 пой симметрией, Физический смысл слагаемых здесь тот же, что н в классиче- ской механике. ц(п) ' е-ю<и~е,+и,ем+и,иа )7 (ч) е-цзА~+и,яг~-зоа (10) (1!) где п(иьиз,из) и ч(оьиз,о,) — вещественные параметры. Оператор 1~(ч) в координатном представлении является оператором умножения на функцию р'(ч) ф (х) = е '™ф (х). Выясним теперь смысл оператора У(п). Для простоты рассмотрим одномерный случай (у (и) е-ые Обозначим ф(и, х)=е '"гф(х). Дифференцируя ф(и,х) по пара- метру и, имеем ) = — зРф(и, х), де(и, х) д<р(и, к) — = — Ь ди дх или Чтобы найти функцию ф(и,х), нужно решить это уравнение с начальным условием ф (и, х) 1„ = ф (х). Единственное решение, очевидно, имеет вид ф(и, х) =ф(х — ли).
Мы видим, что оператор 0(и) в координатном представлении есть оператор сдвига аргумента функции ф(х) на величину — Ьи. В трехмерном случае У(ц) ф(х) =ф(х — пл). (12) Операторы 0(н) и ч'(ч) явля|отея унитарными вследствие самосопряженности операторов Рь Рм Рз и Яь Яз, 1,)з Найдем перестановочные соотношения для операторов У(п) и У(ч). В координатном представлении имеем у (ч) у (ц) ф (х) = е-ызф (х — цй) ()(и) 1;(ч),р(х) е-йы-змр(х пй) Из этих равенств сразу следует, что у (и) Р (ч) = рг(ч) у (и) е'""". (13) Рассмотрим еще два оператора для материальной точки, которые окажутся полезными при обсуждении взаимосвязи квантовой и классической механики Разумеется, соотношения (13) не зависят от представления.
Отметим еще формулы 0 (и,) 0 (и,) = У (н~ + н~), У (т ~) У (тз) = У (т~ + тз), т. е. множества операторов 0(и) и У(о) образуют группы. Обо- значим эти группы через (! и У. Теперь мы можем дать точную формулировку теоремы фон 'г!еймаиа. Ограничимся для простоты системой с одной сте- пенью свободы. Теорема. Пусть (! и У вЂ” однопараметрические группы уни- тарных операторов (/(и) н У(о), действующих в гильбертовом пространстве Ж и удовлетворяющих условию: У (и) У (о) = У (о) У (и) е'""". (14) Тогда еУ можно представить в виде прямой суммы ту = уй ~ Ю Мз 9 (1 5) где каждое Мс переводится в себя всеми операторами 0(и) и У(о) и каждое М~ можно отобразить унитарно на П(й) та- ким образом, что операторы У(о) переходят в операторы ф(х)-~ -~е-""ф(х), а операторы (У(и) переходят в операторы ф(х)-~ ф(х — ий).
Можно говорить о том, что в пространстве Я действует представление соотношений (14) унитарными операторами. Если это представление неприводимо, то сумма (15) содержит только одно слагаемое. В заключение этого параграфа докажем неприводимость ко- ординатного представления для Р и Я. Пусть К вЂ” некоторый оператор, коммутирующий с Я и Р [К, а = О, (К, Р) = б. Из второго равенства следует, что И/ (и) = 0 (и) К. Примения операторы в обеих частях равенства к произвольной функции э(х), получим ~ К (х, у) ч~ (у — ий) ду = ~ К (х — ий, у) ф (у) ду, Замена у — ий- у в левой части позволяет'переписать это ра.
венство в виде 1 К(х, у+ ий) %(у) ду= ( К(х — ий, у)%(у) ау. а и В силу произвольности ф К (х, у + ий) = К (х — ий, у), 66 откуда видно, что ядро К(х,у) зависит только от разности х — у, т. е. К (х, у) Й (х — у). Теперь используем перестановочность оператора К с операто. ром координаты Ф ~ хй (х — у) ф (у) ду = ~ Й (х — у) уф (у) ау, откуда следует, что (х — у) л (х — у) = О. Решение зтого уравнения имеет вид й (х — у) сб (х — у), а функция, стоящая в правой части, есть ядро оператора СК Итак, мы показали, что любой оператор, коммутирующий с Я и Р, кратен единичному. й 14.
Взаимосвязь квантовой и классической механики. Предельный переход от квантовой механики к классической Известно, что поведение макроскопических систем хорошо описывается классической механикой, и квантовая механика при переходе к макрообъектам должна приводить к тем же результатам. Критерием «квантовости» поведения системы мо. жет являться сравнительная величина характерных для си. стемы численных значений наблюдаемых, имеющих размерность действия, н постоянной Планка й = 1,05.10-м зрг с, Если постоянная Планка пренебрежимо мала по сравнению со зна. чениями таких наблюдаемых, то система должна иметь классическое поведение. Формально переход от квантовой механики к классической может быть описан, как предельный переход при" )г-ьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
