Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Несколько громоздкие вычисления приводят к следующему виду операторов момента импульса в сферических координатах: д д Ь1 — — р (з1п ~р — + с(п 0 соз р —, дт,) ' д д 1 Аз = — 1(соз ~р — — с1и О з(п ~р — 1, дв д<р~' д 1, = — 1 —. з— Операторы Ь =Л,л-Ез в этих переменных имеют вид =е"р~ — +1с1пΠ— ), Л =е р~ — — +1с1пΠ— ~. + ~ дв дч)' — Х дв де 3' Общие собственные функции операторов х,з и Ез будем обозначать через Ур (и) (число 1 для операторов Е принято обозначать через 1), Уравнения Е+Уп = 0 и Езуп = 1Уп в сферических координатах имеют вид — 1 —,р =1уп дтп де (1) — +рс1нΠ— Уп = О.
дУп . д дз де Из первого уравнения (1) видим, что Уп(0, р)= «чГп(0), причем 1 может принимать только целые значения, 1= 0, 1, 2, ... Второе уравнение (1) йозволяет получить уравнение для гп(О) ) — 1с(пОгп(О) =О. (2) Решая это уравнение, получим Рп(0) =С з(п'О. Заметим, что для каждого 1 существует одно решение уравнения (2).
Итак, мы нашли, что У!! (О, ~р) = С з)п !Оенч, причем постоянная С может быть найдена из условия нормировки. Остальные функции У! (и) могут быть вычислены по формуле ( а у! га-! е !ч~ — — +1с(дΠ— ~У, . з1(!+ т) (! — е+!) ~, дз де,) Мы не будем проделывать соответствующих вычислений. Функции У~ (и) называют нормированными сферическими функциями 1-го порядка. Для них может быть получено выражение У! (О, <р)= — е' еР7(созО), ч12л где функции 1-и носят название нормированных присоединенных полиномов Лежандра.
Итак, базис неприводимого представления в пространстве 1.!(52) состоит из сферических функций У~,(п) прн фиксированном 1 и т = — 1, — 1+ 1, ..., 1. Пространство 1.з(5') содержит подпространства .неприводимых представлений всех нечетных размерностей 21+1 (1 — целое) по одному разу. Теорема о разложении представления группы вращений на неприводимые в данном случае эквивалентна утверждению о полноте сферических функций в 12(52). Любая функция ф(п)~ Аз(52) может быть разложена в сходящийся ряд ф(п) = ~ ~ С),„У! (и). (О) ! Олт -! Вспомним, что в пространстве )а)з действовали неприводимые представления как четных, так и нечетных размерностей.
Пространство Ыэ можно представить в виде прямой суммы й), 9(р)~, где )е)з и й~ — ортогональные подпространства четных и нечетных функций соответственно. В Ы,, как и в 1.2(52), действуют представления только нечетных размерностей. Любой элемент ! (г) енЫ~+ может быть представлен в виде 1(з)=Е Е С, (4) чà — ччтч ' Ясно, что взаимно-однозначное соответствие 1 (г) ф (и) 114 устанавливает иаоморфизм между пространствами Ыз и Ь (8), + ! ! прн котором 11-е !+т У! (и), ч/(! — е!!(1+ в1! Мь Еый=1, 2, 3. В заключение этого параграфа рассмотрим представление группы вращений в пространстве состояний Ез(й') = Ьз(о')® 8 Ьз(К+). Пусть (1„(г)) — произвольный базис в Ех(К+), Тогда (1„(г) У! (п)) — базис в пространстве Ез(й'), и любая функция !р(х) ен Ез(Р') может быть разложена в ряд ф(х)= ~„К ~~', С„, („(г)У! (О, <р).
Из этой формулы видно, что Ез(К') также может быть разложено (прнчем многими способами) на подпространства, в которых действуют неприводимые представления группы вращений порядка (2!+1), и каждое представление Р, встречается бесконечное число раз. Любое из инвариантных подпространств, в которых действует неприводимое представление О!, есть множество функций вида 1(г) ~., С У, (О, !р), где !(г) енЕ'(11+).
--! $ 31. Радиальное уравнение Шредингера Вернемся к изучению задачи о движении частицы в центральном поле. Будем искать решения уравнения — — Лф+ У(г) ф=Еф ! 2~$ или, используя формулу (23,5), — зд (Г ! )+З зф+Г(Г)т"=Е"т. 1 д з д (1) Мы видели, что собственные подпростраиства оператора Шредингера Н в случае отсутствия случайных вырождений должны совпадать с подпространствамн неприводимых представлений О!, а при наличии случайных вырождений являться прямой суммой таких подпространств.
Ясно, что все независимые собственные функции оператора! Н можно построить, если мы будем искать нх в виде !р(г, и) !х!(г)У! (п), (2) Эти функции уже являются собственными функциями операторов Е' н Ез ьхф = ! (!+!) Ф, Езф = тф, 115 я потому описывают состояния частицы с определенными значениями квадрата момента импульса и его третьей проекции. Подстановка (2) в (1) дает нам уравнение для Я~(г) Введем новую неизвестную функцию /1~ (г) = В (г) и уравнение для /~(г) примет вид (3) Это уравнение носит название радиального уравнения Шредингера. Обратим внимание на некоторые особенности уравнения (3). Прежде всего параметр гп не входит в уравнение, физически это означает, что энергия частицы не зависит от проекции момента на ось хз. Для каждого 1 получается свое радиальное уравнение. Спектр радиального уравнения всегда простой (это можно доказать), поэтому случайные вырождения возможны, если уравнения (3) с разными 1 имеют одинаковые собственные значения.
Радиальное уравнение по виду совпадает с уравнением Шредингера для одномерной частицы если ввести так называемый эффективный потенциал (г,ф(г) = $'(г)+ ~ ~, . (4) Есть, однако, одно существенное отличие. Функция ф(х) определена на Й, а /~(г) на К~, поэтому радиальное уравнение эквивалентно одномерному уравнению Шредингера для задачи с потенциалом )Г(х) при условии, что К"(х) = оо при х ~ О. На рис. 7 изображены графики функций )г(г), 1(1+1)/(2ргз) и )г,э(г). В качестве г'(г) взят кулоновский потенциал притяжения — а/г (сс ~ О). Выражение 1(1+ 1)/(2ргз) может быть истолковано как потенциал отталкивания, возникающий за счет центробежной силы.
Поэтому это выражение обычно называют центробежным потенциалом. ыв В квантовой механике приходится решать задачи с самыми различными потенциалами )7(г). Наиболее важными из них, по-видимому, являются кулоновский потенциал )7(г) = и/г, описывающий взаимодействие заряженных частиц, и потенциал е -«~ Юкавы К(г)=д — ° который часто используется в ядерной г физике.
Обычно рассматриваются потенциалы, которые при г- 0 менее сингулярны, чем 1/г'-' (з ) 0). В зависимости от поведения при г-«оо убывающие (У(г)-«0) потенциалы делятся на короткодействующне Р(г) = о (1/г'~'), з ) 0 и дальнодействующие, которые этому условию яе удовлетворяют. Потенциал Юкавы является короткодейетвующнм потенциалом, а кулоновский потенциал — дальнодействующнм.
Спектр радиального оператора Шредингера хорошо изучен для весьма широкого класса потенциалов. В случае растущего потенциала У(г)-« оо при г-« оо спектр чисто точечный простой. В случае убывающего потенциала интервал 0 ( Е ( оо заполнен непрерывным спектром, отрицательный спектр дискретный. Для короткодействующего потенциала положительный спектр простой, непрерывный, а отрицательный состоит из конечного числа собственных значений. Приведем простые соображения, позволяющие понять основные особенности спектра //ь Для этого посмотрим„как ведут себя решения радиального уравнения при г- 0 и г-«оо. Если при г -« со пренебречь членом Р,э в радиальном уравнении, то оно сведется к — — /~ +Е/~ =О, 2н При Е ) 0 это уравнение имеет два линейно-независимых решения е-'"' и ем', йз = 2цЕ ) О, А =» О. При Е «= 0 линейно- независимые решения имеют вид е "' и е ', из= — 2рЕ) О, и) О.
В случае г-«О можно надеяться, что мы получим правиль. ное поведение решений радиального уравнения, если в этом уравнении из членов линейных по /~ оставим наиболее сингу- 1(Е+ 1) лярный, /ь тогда 70+ 0 — / =о. Это уравнение имеет два линейно-независимых решения г-' и г'+'. Теперь посмотрим, какие условия разумно наложить на решения радиального уравнения. Нас интересуют решения уравнения 1!7 ~ (г) = Я Салаг (г) + ~ С (Е) ~а,(г) НЕ, и о О Са —— $ ( (г) (и (г) йг, С (Е) = $ У (и) Уи (г) г(г.
о о где " Через ст(0, ае) мы обозначили пространство квалратичио ннтегрируе. мых функпнй (без веса гт) на ц+. Если 7 я У(0, ее), то Гт = — а 1,~ (ц+). Г 118 Шредингера ф(х) = й г) У~,„(п). Функции тр(х) должны быть непрерывными в (са и либо квадратично интегрируемыми, либо ограниченными во всем пространстве. В первом случае они являются собственными функциями и обычном смысле слова, а во втором — с их помощью может быть описан непрерывный спектр. Из непрерывности ф(х) следует условие (~(О) = О.
Поэтому интерес представляет только такое решение радиального уравнения, которое при г -+ О ведет себя, как Сгы'. Это условие определяет )~(г) с точностью до численного множителя. Далее при Е «О мы должны найти решение )~(г), которое при г-+ со ведет себя, как Са-н" (в противном случае решение будет неограниченным). При произвольном отрицательном Е эти условия оказываются несовместными. Те значения Е, для которых удается построить решение, имеющее правильное поведение в нуле и на бесконечности, и есть собственные значения.
При любом Е ) О решение ~~(г) является ограниченным, поэтому достаточно, чтобы оно имело правильное поведение в нуле. Спектр при Е ) Π— непрерывный. Собственные функции дискретного спектра описывают частицу, локализованную в окрестности силового центра, т. е. со. ответствуют финитному движению. При помощи собственных функций непрерывного спектра могут быть описаны состояния, в которых движение частицы является инфинитным. Собственные функции дискретного спектра радиального уравнения мы будем обозначать через (и(г), где индексом А нумеруются собственные значения Еы уравнения при данном 1, УУ!айаг = ЕаЛаь Собственные функции непрерывного спектра, соответствующие энергии Е, будем обозначать через га НЛс = Е7ш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
