Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Для широкого класса потенциалов доказана полнота си. стемы функций Цаь1ит) для каждого 1= О, 1, 2, ... Это зна. чит, что для произвольной функции * 1(г)еи Еа(О,со) справед. лино представление: Вернемся к трехмерной задаче. Функции дискретного спектра имеют внд ф„с„(х) = —, у, (и) Еы (г) и кратность собственного значения Еы равна 21+ 1 (при отсутствии случайных вырождений). Для собственных функций непрерывного спектра имеем с а! (г) — Ус (и). Кратность иепрерывнога спектра бесконечная, так как для произвольного Е > 0 есть решения радиальных уравнений при всех 1 и, кроме того, лс = — 1, — 1+ 1, ..., й Параметры сс, 1 и лс, которые определяют собственные функции точечного спектра, называются радиальным, орбитальным и магнитным квантовыми числами соответственно.
Эти названия появились в старой квантовой теории Бора — Зоммерфельда, в которой каждому допустимому значению энергии соответствовала определенная классическая орбита (или несколько таких орбит). Числа А и 1 определяли размеры и форму орбиты, а число и — ориентацию плоскости орбиты в пространстве. Число пс играет существенную роль в магнитных явлениях, этим объясняется его название. Из полноты системы функций (!ос,!ос) в Ео(0, оо) следует полнота системы (сгос (х),суэс (х)) в Ео(йо). ДлЯ кРаткости записи рассмотрим случай, когда точечный спектр у оператора Н отсутствует.
В этом случае произвольная функция с) (х) ен ен с,о(йо) может быть представлена в виде с ф (х) = ~~~ ~~' ~ Спо (Е) фа!со (х) ссЕ, с-о — со Ясно, что ср определяется последовательностью функций (Сс (Е)), поэтому мы получаем представление (Сс (Е)) в пространстве последовательностей функций. Скалярное произведение в этом проетранстве задается формулой Ф (фс, фо) = ~ Х~ ~ Сйс(Е)Сс" (Е) с1Е. с-о --с о Из того факта, что фж (х) есть собственная функция операторов Н, Р и Е„ легко понять, что в построенном представлении !!9 операторы Н, Ее и Ее действуют следующим образом: НС, (Е) = ЕС (Е),, Е'Сье(Е) =1(1+ 1) С! (Е) т эСют (Е) = гпСсм (Е). (5) 2 32.
Атом водорода. Атомы щелочных металлов Атом водорода представляет собой связанное состояние по. ложительно заряженного ядра с зарядом е и электрона с зарядом — е (е ) Π— абсолютная величина заряда электрона). Поэтому потенциал )г(г) имеет вид е' )г(г) = — —. Г Мы рассмотрим задачу о движении в поле Хее )г(г) = - —.
г Такой потенциал соответствует атому водорода прн 2 = 1 и водородоподобным ионам Не+, 1.!++, ... прн 2 = 2, 3, ... Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид ! атее Н =- — — Л вЂ” —, 2н где )е= лтМ/(гп+М) — приведенная масса, а т и М вЂ” массы электрона н ядра соответственно. Задачу будем решать в так называемой атомной системе единиц, в которой Ь = 1, р = 1, ез = 1.
Тогда радиальное уравнение Шредингера принимает внд 2 )! ()+ 2г' ~! г ! е Е()+!) Я Мы будем интересоваться дискретным спектром, поэтому рассмотрим случай Е ( О. Удобно обозначить — 2Е = хй Тогда 1';+ — )! — 2 ), — хеба, =О. 2К )Ц+!) (1) ге Приведенные в предыдущем параграфе соображения о поведении решения при г- О и г-е оо подсказывают, что решение удобно искать в виде 1! (г) = г'+ 'е "'А! (г), (2) Поэтому построенное представление является собственным для трех коммутирующих операторов Н, 1Р и Ее, (Уравнения (5) не следует путать с уравнениями для собственных векторов.) Если мы сумеем найти Лс(г), представимую сходящимся степенным рядом Л,(г)= ~ асг', (3) ю-о с по чь О, такую, что )с(г) удовлетворяет (1), то будет обеспечено и правильное поведение !с(г) при г — ь0.
Поведение (с(г) при г- оо, конечно, будет зависеть от асимптотики функции Лс(г) при г- оо. Подстановку (2) в уравнение (1) удобно сделать в два приема. Вводя функцисо д е-ссгпо )о -ог ( ойс 2кй~ 1 й~~) имеем И 2ссй +, ь" с 2г !(с+ 1) Далее, полагая д= гс+сЛ, и =г+ „с(Л(!+В + сос С'С(С+1) Л + 2(С+!) Л' Л,) г получим ц+ ~ 2(С+ 1) 2 ) Л(+ (2о 2сс((+ 1) ) Ищем решение этого уравнения в виде ряда (3) Сделаем замену значка суммирования с-ьс+ 1 в первых двух слагаемых в квадратной скобке, тогда ~ г' ' (а!+ ! Нс + 1) (+ 2 (ю + 1) (1+ 1)] — ас 12сс (с + Х+ 1) — 2г]) = О.
с-о Приравнивая коэффициенты прн степенях г, получим сс (С + ! + 1) — Х ( + !)( +2(+2) (4) По признаку Даламбера видно, что ряд сходится при всех г. Оценим поведение ряда с коэффициентами, определяемыми (4) при больших г. Асимптотика при г-ь оо, конечно, определяется !21 ~ ас(с(с' — 1)г' о+2(1+1)(г' о — 2скг' с+(22 — 2и( — 2сс)гс ']=О. с о коэффициентами при больших степенях, по тогда 2х а +1СМ вЂ”,а а — ° 1 1 о и Л1 см Сезхг. т. е Таким образом, для решения ~~ при г-+ со получим ), см Сг'~'е"', (Разумеется, приведенное рассуждение можно было бы сделать более точным.) Мы видим, что решение радиального уравнения, имеющее правильное поведение прн г-ь О, экспопеицнально возрастает при г -~- оо. Из формулы (4) видно, однако, что существуют такие значения х, что ряд будет обрываться на некотором члене.
В этом случае функция Л~ окажется многочленом, а решение ~~(г) будет квадратичио интегрируемым. Обозначим через й номер старшего коэффициента, отличного от нуля, т, е. аь ~ О, аье1 = О, й = О, 1, 2, ... Из (1) видно, что это возможно, если 2 х=хм= „+ + Из формулы — 2Е = хз получаем 2~ 2 (Ь + 1 + 1) ~ ' (6) Параметр й является введенным ранее радиальным квантовым числом. Мы видим, что собственные значения Ем зависят только от и = й+1+ 1.
Это число называется главным квантовым числом. Вспоминая, что й = О, 1, 2, ... и 1= О, 1, 2, ..., получаем: и = 1, 2, 3, ... Далее при заданном и квантовое число 1 может принимать значения 0,1,2, ..., и†1. Итак, мы получили следующие результаты. Для собствен. иых значений Е справедлива формула 22 (6) а собственные функции имеют вид фшм = г е-~„пЛ 1 (г) Уь„(О, ~Р), (7) где Л„~ — многочлен степени п — 1 — 1, коэффициенты которого находятся по формуле (4), аз — из условия нормировки.
Мы видим, что число собственных значений бесконечно и имеет точку сгущения Е = О. Нетрудно определить кратность собственного значения Е,. Каждому Е„ соответствуют собственные функции ф.~, различающиеся квантовыми числами 1 и гп, при- 1 "2 чем ! = О, 1, 2, ..., и — 1, а т = — 1, — !+ 1, ..., !.
Для крат- ности д получим и-1 д= Х (2! — 1) =па. э-е Кратность собственных значений для кулоновского поля оказывается большей, чем в общем случае центрального поля, имеет место дополнительное вырождение по !. Мы уже упоминали, что это еслучайное» вырождение объясняется наличием более богатой, чем 50(3) группы симметрии у оператора Шредингера для атома водорода.
Посмотрим теперь, какую физическую информацию дает нам решение уравнения Шредингера для атома водорода. Прежде всего мы нашли допустимые значения энергии, которые разумно привести в обычных единицах. Для этого достаточно умножить выражение (6) для Е„на атомную единицу энергии, равную ~, =4,36 ° 1О " эрг=27,21 эВ. йэ Будем считать, что Я = 1, т. е.
рассмотрим атом водорода, тогда реэ Е = — —. 2пайэ ' Для энергии основного состояния атома водорода (и = 1) имеем (8) причем имеет место поглощение светового кванта, если атом переходит нз состояния с меньшей энергией в состояние с боль- шей энергией и излучение прн обратном переходее. Е| — — — †, — — — !3,6 зВ. ре' 2йэ Абсолютная величина этой энергии называется потенциалом ионизации или энергией связи электрона в атоме и равна работе, которую нужно совершить, чтобы вырвать электрон нз атома.
Формула (8) позволяет вычислить частоты спектральных линий атома водорода. Квантовая электродинамнка подтверждает гипотезу Бора о том, что частота спектральной линии определяется по формуле Ьв „=ń— Е,„, Е„)Е, " Спектр поглощения (темные линии на ярком фоне) воэникает, если световой поток непрерывного спектра проходит череэ,среду, содержащую атомарный водород. Линни поглощения наблюдаются в эвеэдных спектрах. Лннейчатый спектр излучения будет наблюдаться, например, если в среде с атомарным водородом происходит электрический разряд. тогда атомы водорода под действием электронных ударов будут переходить а возбужденные состояния. Переходы на уровни с меньщей энергией приведут к Появленаю ярких линий, 123 Для частот спектральных линий имеет место формула пе'г ! ! в = — ( — — — ~, а(т.
тл Яаз ( па щг 7' (9) Эта формула называется формулой Бальмера и была открыта нм чисто эмпирически задолго до создания квантовой механики. Обратим внимание на зависимость частот ь „от приведенной массы р. В природе существует две разновидности водорода: обычный водород Н, ядром которого является протон а !в ч Серия Лааяаза ри. а. !24 с массой М = 1836гп (т — масса электрона) и в небольшом количестве тяжелый водород — дейтерий О, ядро которого вдвое тяжелее протона. Используя формулу р = гпМ/(и!+ М), легко сосчитать, что 1!о/1!и = 1,000272, т, е, приведенные массы очень близки, Тем не менее точность спектроскопических измерений (длины волн измеряют с точностью в 7 — 8 значащих цифр) позволяет надежно измерить отношение во7ын для соответствующих линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
