Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Казалось бы, следовало написать фп) =(А — Л(о)7)-'(Л вЂ” С) ф( (10) Однако эта формула нуждается в уточнении. Чтобы понять, по- чему это так, рассмотрим подробнее оператор (А — Л1)-), кото- рый называется резольвентой оператора А. Оператор А можно записать в виде А=2 л Р " В дальнейшем следовало бы снабжать индексом л собственные векторы ф„собственные зиаченнн Ло н Л( ), )р( ). й)ы этого не делаем длн со. нращенин записи.
)зо Из первого уравнения (6) следует, что (р(0) является собственным вектором оператора А; из предположения о простоте спектра следует ", что Л(0) = Л„, т))(0) = )р„. Прежде чем обращаться к следующим уравнениям (6), выберем условие нормировки вектора тр,. Оказывается, что наиболее удобным является условие (т() ф(о)) (7) Мъ) считаем, что )р(0) нормирован обычным образом !! ())(0) !! = 1, поэтому условие (7) эквивалентно условиям (ф('), ф('))=О, ..., ((р("), тр(')) =О, ....
(8) Таким образом, поправки тр((), ..., т()(л), ... мы можем искать в подпространстве, ортогональном к вектору тр(0) = (р„. Обратимся теперь ко второму уравнению (6). Эта уравнение является уравнением второго рода с самоеепряженным оператором А, и Л(0) является собственным значением оператора А.
Необходимым и достаточным условием существования решения этого уравнения является ортогональность правей части этого уравнения вектору ())(0). Из условия (тр(0), (Ло) — С) )()(о)) = 0 где Р— проектор на собственный вектор >)>„, т. е. Р <р = = (<р,>р )>р . Тогда для оператора (А — Л<)-> имеем (А — и) '=,'Г, ~",. поэтому >Ро> = — (А — Л„l) РС>)>„.
Используя (12), получим <> х (ср„, )1 ° = Х Л„-'Х„ (14) (!6) Рассмотрим поправки следующих порядков. Из условия ортогональностн правой части третьего уравнения (6) вектору ф<з> сразу получаем Л<з> = (Сфо>, 1<0>) „ (16) Используя вид <р<», находим явную формулу для второй поправки к собственному значению Х, Х<з> ~" !(СФ,4> )1' (17) с Л,-Х„ тра Мы не будем приводить подробных вычислений для >р<'> и последующих поправок ф">, Л<">, Заметим только, что они могут быть найдены с помощью формул Л<"> =(С>р<"-»,>р<'>), <р<"> =(А — Л<0>!)Р (правая часть уравнения (6)). 131 Из формулы (11) видно, что резольвента теряет смысл при Х = Х„, т. е.
как раз прн тех значениях параметра Х, которые нас интересуют. Вспомним, однако, что правая часть второго уравнения (6) ортогональна к ф«» = ф „н (>р <'>, <р<0>) = <>. Поэтому на самом деле нам нужен не оператор (А — ЛУ)->, а оператор (А — Л!)->Р, действующий в подпространстве, ортогональном к <Р,. Здесь через Р обозначен проектор ! — Р„, проектирующий на подпространство, ортогональное к вектору >р . Оператор (А — Л<)->Р может быть представлен в виде (1 Л" Р ХЛ -Х' тФп он сохраняет смысл при Х = Х„. Вместо формулы (10) мы должны написать ф<п = (А — ' Л<0Ч) ' Р (Лп> — С) >Р«».
(13) Это выражение можно преобразовать следующим образом: (А — Л„!) > Р[(Сф„, ф„) >Є— С<1>„] = = (А — ЛЯ ' Р(Є— !) С>р„= — (А — Л„!) 'РС>)>„, Обсудим теперь особенности теории возмущений кратного собственного значения.
Мы ограничимся построением поправки первого приближения Л<». Пусть Л„= Л (индекс п мы опускаем) является собственным значением оператора А кратности >1 А>Р>=Л>)>>, >'=1, 2, ..., д. Обозначим через Убх собственное подпространство оператора А, соответствующее собственному значению Л, через Я вЂ” проектор на это подпространство. Обратимся снова к системе уравнений (6). Из первого уравнения, как и раньше, следует, что Л>а> = Л. Что касается векторов ф'>, то мы можем лишь утверждать, что >р<'>вне„.
Мы покажем сейчас, что на векторы >рм> накладываются дополнительные ограничения, поэтому онн в общем случае не совпадают с собственными векторами ф. Действительно, второе уравнение (6) имеет решения, если его правая часть ортоганальна подпространству ййм т. е. Я (Л>в С) фО> — (> учитывая, что >,"орш> = >)>ш>, последнее уравнение можно переписать в виде ЯСЖи» = Л>п>Р»», (18) Мы видим, что >рм> являются собственными векторами д-мерного оператора >',>СЯ, а Лп> — его собственные значения. Практически задача сводится к диагонализации матрицы д-го поч рядка. Действительно, подставляя в (18) >р»»= Х„>а>>р> и учитывая, что ЯЧ>=~„, >(>р, >р>)>г>, получим ~ Х а> (С>р„>(>>) >р> — — Лп> ~„а>>р> ! или К С»а> = Ло>ап > где С» =(С>р>,>(»).
Матрица !! Си!! является самосопряженной, поэтому всегда может быть приведена к диагональному виду. Обозначим собственные значения этой матрицы через ~ф 1= 1, 2, ..., д. Кратному собственному значению Л невозмущенного оператора А соответствует д собственных значений оператора В = А+ С, которые в первом приближении теории возмущений имеют вид Л+ Л>>", 1 = 1, 2, ..., д.
Обычно говорят, что возмущение снимает вырождение. Разумеется, снятие вырождения может оказаться неполным, если среди чисел Л>' окажутся >!> одинаковые, т, е. оператор ЯСЯ имеет кратные собственные значения. Пример. Рассмотрим систему с оператором Шредингера Н = — — Л вЂ” — — аВТ.э. 1 1 (19) 2 г Такой оператор П1редингера описывает атом водорода, помещенный в постоянное однородное магнитное поле, вектор индукции которого направлен по третьей оси *.
В качестве невозмущенного оператора разумно взять опе- ратор 1 ! Н = — — Л вЂ”вЂ” о— т, е. оператор Шредингера для атома водорода, а ЛН = — аВЕз Матрица возмущения ЛН сразу оказывается диагональной, и ее диагональные элементы равны — атВ Поэтому для энергии атома водорода в магнитном поле имеет место формула з* 1 Е = — — — аВлг. пт 2з (20) Мы видим, что магнитное поле снимает вырождение по магнит- ному квантовому числу т, однако остается характерное для кулоновского поля вырождение по 1. ч В электродинзмике магнитным моментом чзстнпы с зарядом е называется вектор е е е !И = — к Х» = — х Х р 2с 2ср 2ср Здесь И вЂ” масса частицы, ч — скорость частицы, с — скорость света, 1 — момент импульсе частицы. Функция Гамильтона чзстнцы я однороляом постояяиом магнитном поле В содержит дополнительное слагаемое — МВ.
Для зтомз водорода, помещенного з магнитном поле, нзирзвлеиное по третьей оси, функция Гамильтона имеет вид р' е' е н(з, р) = — — — — — в! . 2р г 2ср Соответствуюпгий оператор Шредингера в атомных единипвх совпадает с !19) прн и 112с. зь Приведенный пример является не совсем удачным, тзк кзк функции фы являются точными собственными функциями оператора И с собствеи. «ымн значениями (20). 133 рассматривать как возмущение. С физической точки зрения ЛН мало, так как магнитная сила, действующая на электрон атома в достижимых магнитных полях, на несколько порядков меньше кулоновской силы притяжения к ядру.
Напомним, что собственные функции оператора Нс фю (х) являются и собственными функциями оператора (.з Азф.о„— — гпф„!„. Явление, состоящее в расщеплении уровней энергии атомов в магнитном поле и в соответствующем расщеплении их спектральных линий, носит название эффекта Зеемана. Интересно взглянуть на это явление с точки зрения теории групп. Вырождение по т объясняется сферической симметрией оператора Шредингера. Магнитное поле, направленное по оси х,, нарушает такую симметрию.
Группой симметрии оператора Шредингера атома в магнитном поле является группа вращений вокруг третьей оси. Эта группа абелева и все ее неприводимые представления одномерны. Поэтому наличие такой группы симметрии не вызывает вырождения, любое вырождение будет случайным. $ 34. Вариациоиный принцип Рассмотрим функционал щ, э) (Ф Ф) (1) Этот функционал имеет простой физический смысл: Е есть среднее значение энергии системы в состоянии, задаваемом вектором фЛ) ф )). Если ф = ф„, где ф, — собственный .вектор оператора Н, соответствующий собственному значению Е„, то Е = Е„.
Вычислим вариацию функционала (1) (Н 64ь ~~) + (Нч~, Ьч) (Нт, Э) 1(бт, ч) + Щ, аЭ)1 (ч ч) (Ф $)' =2йе ( (ч Ф Легко видеть, что условие стационарности функционала Е 6Е= О (2) эквивалентно уравнению Шредингера Нф =Еф. (3) Действительно, из (3) сразу следует (2). Чтобы проверить обратное утверждение, достаточно наряду с вариацией бф рассмотреть бф ~ —— (бф. Тогда из условия (2) следует, что ((и — л) Ф аФ) (4ь Ф и из произвольности бф следует (3).
Отметим еще одно важное свойство функционала Е, Для любого вектора фен 33 Е) Е„где Еа — наименьшее собственное значение, причем знак равенства имеет место только при ф = Сф,. Это утверждение почти очевидно, так как среднее значение энергии не меньше минимально возможного. Проверим его формально для оператора Н с простым чисто точечным спектром. Будем считать, что собственные значения занумеро- 134 Е~ ( Ез ~.... Подставляя ваны в порядке возрастания: Ез ( в (1) ф= ~,„0С„ф„, получим ~, е~ | С~ Р л Š— Ео = — Ео = ~1с„Р ~'(и„— л,) 1с„г л (4) Свойство Е = Е0 делает вариационный принцип особенно эффективным для расчета основного состояния системы.
Подставляя в (1) произвольный вектор фена, мы получаем оценку сверху для Ео', нз двух значений функционала (1) Е' и Е" более близким к Еа является меньшее. Использование свойств (5) для оценки Е„наталкивается на трудности, так как нам неизвестны собственные векторы фм ..., ф, и Существует вторая формулировка вариацнонного принципа, которая утверждает, что уравнение Шредингера (3) эквивалентно условию стационарности функционала (Нф,ф) при (фф) = 1.
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, последнее условие можно записать в виде б((Нф, Ф) — Е(ф, ф)) = О, (6) где Š— множитель Лагранжа. Эквивалентность (6) и (3) проверяется так же, как эквивалентность (2) и (3). Варнационные принципы могут использоваться двумя способами для получения приближенных решений уравнения (3). Первый способ состоит в том, что приближенная волновая функция ищется в классе функций определенного аналитического вида, зависящих от нескольких параметров аь ..., а», Тогда Е = Е (аь..., аз), и параметры находятся из условий = О, 1 = 1, 2, ..., й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
