Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 25
Текст из файла (страница 25)
да При втором способе приближенная собственная функция Н для сложной системы (например, для атома), зависящая от многих переменных ф(хи хм...,х~г), строится при помощи неизвестных функций от меньшего числа переменных (чаще всего представляется в виде произведения ф~(х~)фз(хз) ... фз(хя) нли линейной комбинации таких произведений). Из вариационного принципа находятся уравнения для функций фь ..., ф„. 135 так как ń— Ез. О.
Знак равенства в (4) достигается, если С„= О при и = 1, 2, ... В этом случае ф = Сзфь Аналогично проверяется, что Е:= Еь если (Ф, Ф0) =О Е ) Е„если (ф, Фз) = О, (т', ф~) = О, (б) С этим способом мы познакомимся, когда будем изучать сложные атомы. Пример. Применим вариационный принцип для приближенного расчета основного состояния атома гелия. Оператор Шре. дингера для гелия в атомных единицах имеет вид 1 1 2 2 1 Н = — — Л! — — Л вЂ” — — — + —. 2 2 г~ га гы В качестве пробной функции возьмем" ф(хь х„а) =е "е "*, Вычисления, которые мы не приводим, дают простое выражение для функционала 27 Е(ц) = аа — — а. 8 Минимум этого выражения достигается при а = 27/!6, и приближенное теоретическое значение энергии основного состояния Ео = Е (27/16) = — (27/16)з»м — 2,35. Экспериментальное значение Ео.„, — — — 2„90, Мы видим, что такой простой расчет приводит к весьма хорошему согласию с экспериментом.
Как и следовало ожидать, теоретическое значение Ео больше экспериментального. Заметим, что е "является собственной функцией основного состояния частицы в кулоновском пале — а/». Поэтому прибли— ю+ге женная собственная функция е 'а является точной собственной функцией для оператора 1 1 27 27 Н' = — — Л вЂ” — Ь вЂ” — — —. 2 ! 2 а !б»1 !бгз ' Взаимодействие между электронами в приближенном операторе Шредингера Н' учтено заменой заряда ядра 2=2 на Е' = 27/16, тем самым учтена экранировка ядра зарядом электрона. В заключение отметим, что при расчетах атома гелия ис. пользовались пробные функции с огромным числом параметров и была достигнута такая точность, что имеющиеся расхождения с экспериментом могут быть объяснены релятивистскими поправками. Столь точное решение задачи об основном состоянии атома гелия имеет принципиальное значение для квантовой механики и подтверждает справедливость ее уравнений для за.
дачи трех тел. * Выбор пробной фуакцни можно объяснить тем, что функция е является точной собстненпой функцией оператора Н вЂ” 1/гы. Лейстаительно, если и Н отбросить член 1/гм, то разделением переменных такая задача саодится к задаче о нодородоподобном ионе, а, как было показано, собстнен. ьая функция оспонного состояния такого иона есть а-", где У вЂ” заряд ядра. 188 й 35. Теория рассеяния.
Физическая постановка задачи Мы начнем с описания физической постановки задачи о рассеянии, Пусть пучок частиц сорта а, получаемый от ускорителя, падает на мишень, состоящую из частиц сорта Ь. Схема такого опыта изображена на рис. 11. Частицы а и Ь могут быть как элементарными, например, электроны, протоны, нейтроны, так и составными, например, атомы, молекулы, атомные ядра. Экспериментатор изучает физические характеристики частиц, вылетающих из мишени.
Если они отличаются от соответствующих характеристик падающих частиц, то змачои можно говорить, что частица а испытала рассеяние. Обычно стремятся вы- 6 брать такую толщину мишени, чтобы достаточно большое число частиц а рассеялось на частицах Ь и в то же время, чтобы доля частиц а, испытавших многократное столкновение, была пренебрежимо мала, В этом случае для объяснения результатов экспериментов достаточно изучить задачу о рассеянии частицгя а на частице Ь. Такая задача является задачей двух тел, если частицы а и Ь элементарные, и задачей многих тел, если частицы а и Ь составные, Напомним, что задача двух тел отделением движения центра инерции сводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного силового центра. Эта задача является простейшей задачей тео ии рассеяния. ри рассеяния на силовом центре вследствие закона сохранения энергии частица может изменить лишь направление своего движения. В этом случае говорят об упругом рассеянии.
Прн столкновении составных частиц возможны более сложные процессы. Например, при столкновении электрона с атомом водорода возможно упругое рассеяние (состояние атома не меняется), рассеяние с возбуждением (электрон передает часть своей энергии атому, который переходит в новое состояние) и, накояец, ионизация атома электроном. Каждый такой процесс называется каналом рассеяния. Рассеяние частицы на силовом центре является одноканальным, а рассеяние составных частиц обычно многоканальным.
Если, однако, сталкивающиеся частицы а и Ь находятся в основном состоянии и энергия их относительного движения меньше энергии возбуждения, то рассеяние будет одноканальным. Основной характеристикой различных процессов рассеяния, которая измеряется в экспериментах, является нх се яенне, которое мы определим ниже. Процессом рассеяния мы называем некоторое множество возможных результатов рассеяния. В этом смысле процессами являются: 1) упругое рассеяние в элемент телесного угла Ип, построенный около направления и; 2) упругое рассеяние на произвольный угол; 3) рассеяние в телесный угол Ып с возбуждением мишени с Ьго уровня на Ь-й; 4) рассеяние с ионизацией мишени; 5) процесс, состоящий в том, что рассеяние вообще имело место, и т. д.
Вероятность У какого-либо процесса рассеяния а на Ь зависит от некоторой величины, которая характеризует точность «стрельбы» частицами а по частице Ь. Чтобы ввести такую характеристику состояния налетающей частицы а, построим плоскость, проходящую через точку, в которой находится рассеиватель Ь, и перпендикулярную импульсу налетающей частицы а.
Вероятность 0%' пересечь плошадку «15 этой плоскости для частицы а пропорциональна с15, т. е, с)%' = ИЯ. Ясно, что вероятность М будет пропорциональна величине 1, вычисленной в точке, где помещен рассеиватель '. Теперь естественным представляется определение сечения сп У и= —.
у Сечения перечисленных выше пяти процессов носят названия: 1) дифференциальное сечение упругого рассеяния, 2) пол« ное сечение упругого рассеяния, 3) дифференциальное сечение возбуждения, 4) сечение ионизации, 5) полное сечение. Понятие сечения становится особенно наглядным, если предположить, что имеет место полный детерминизм результатов рассеяния.
При таком детерминизме результат рассеяния определялся бы той точкой поперечного сечения пучка, через которую прошла бы частица при отсутствии рассеивателя. Процессу рассеяния соответствовала бы тогда некоторая область в плоскости поперечного сечения, и сечение равнялось бы площади этой области. Перед теорией рассеяния стоят две задачи: по известным потенциалам взаимодействия между частицами найти сечения различных процессов 1прямая задача) и по известным сечениям получить информацию о взаимодействии частиц (обратная задача). В лекциях мы ограничимся изучением прямой задачи рассеяния частицы на потенциальном центре н начнем с простейшего одномерного случая. «Рассеиватель Ь при этом считается удаленным, так как! характеризует состояние свободно движущейся частицы а, 3 36.
Рассеяние одномерной частицы на потенциальном барьере Изложение этого вопроса мы построим по следующему плану. Сначала мы сформулируем так называемую стационарную задачу о рассеянии. Для этого мы изучим решения уравнения Нф = Еф некоторого специального вида. Физический смысл таких решений мы выясним позже, построив при их помощи решения нестационарного уравнения Шредингера . де 1 — =Нф. Для простоты записи мы используем систему едиш иицы, в которой Ь = 1, т = 1/2. Оператор Шредингера в координатном представлении имеет вид ле Н= — —,„. + Р(х). (1) Функцию )т(х) мы будем считать финитной ()т(х) = О, (х~ ~ а) и кусочно-непрерывной. Условимся называть области х < — а, х > а и — а < х < а вещественной оси областями 1, Н и !Н соответственно, Задача о рассеянии является задачей об инфиннтном движении частицы.
Такое движение возможно при Е ) О, и мы знаем, что при Е» О спектр оператора Шредингера непрерывен. С математической точки зрения задачи о рассеянии являются задачами о непрерывном спектре оператора Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера, которое на всей вещественной оси имеет вид — трн+ У(х) ф=/гтф Е=яе й > О упрощается в областях 1 и Н ф" + )тяф =О. (3) Уравнение (3) имеет два линейно-независимых решения е'"и и е-'ь". Решения уравнения (2) на всей оси могут быть построены сшиванием решений в областях т' — /П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
