Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При сшивании мы должны использовать условия непрерывности решений и их первых производных в точках — а и а. Это накладывает четыре условия на шесть произвольных постоянных, входящих в выражения для общих решений в областях 7 — Ш. Пятым условием для этих постоянных является условие нормировки.
Поэтому могут быть построены линейно-независимые решения уравнения (2), которые в областях 1 и Н имеют внд е 1 11 тр1()с, х), е'а" + А (й) е 'а", В (й) е'ел, тР (й х) 0Яе-ил е-мл+СЯе~ьл (4) * Если потенциал не является финитным, но достаточно быстро убывает при ~х~-есо, то приведенные выражения для ф1 и фа а областях ! и П следует рассматривать как асимптотики функций ф и фа при х-ь ~со, Иаучать этот случай мы не будем. 139 Умножая первое из равенств иа ~рь второе на ~, и вычитая одно из другого, получим — „„~<~,<р', — Ч р,) = О.
Используя это свойство, мы можем приравнивать врон- скианы для любой пары решений в областях 1 и П. Выбирая в качестве таких пар решений последовательно фь фз, фь ф,; фм яь, и ф„~ и используя равенства: йт(е "", е"") = 2!л, Ям(г~м*, е-'ь') = О, мы придем к следующим соотношениям между коэффициентами А, В, С и В: В=В, ~ А г+|В 1=1, ! В(з+(С!'=1, АВ+ ВС= О. (6) (6) (у) (8) (НапРимеР, в области 1 )Р(фь ф) = — 2Й(1 — АЛ), а в области 11 (Р(фь ф) = — 2ЙВВ. ПРиРавниваЯ эти выРажениЯ, полУ- чим соотношение (6).) Соотношения (5) — (8) показывают, что матрица Я, составленная из коэффициентов А, В = Р и С -(.":) является симметричной и унитарной.
Эта матрица называется матрицей рассеяния или просто Я-матрицей. Мы увидим в дальнейшем, что все физически интересные результаты могут 140 Например, при построении решения ф мы, используя произвольность одной из констант, полагаем равным нулю коэффициент при е-м' в области П. Далее мы выбираем равным единице коэффициент при е"" в области 7, тем самым определяя нормировку функции фь Коэффициенты А и В находятся из условий сшивания вместе с постояннымн т и а, где лпр~+гирз— общее решение (2) в области П. Нетрудно убедиться, что условия сшивания приводят к линейной неоднородной системе уравнений для А, В, и и л с определителем, отличным от нуля, если у~ и уз линейно-независимы.
Аналогично строится решение ~гь Линейная независимость решений ф, и ф~ следует из того, что вронскиан этих решений не равен нулю. Выясним свойства коэффициентов А, В, С и 11. Для этого заметим, что вронскиан (р' (я~и р,) = ~р,м', — ~р',~рз решений р, и Чв уравнения (2) не зависит от х. Действительно, пусть чь и <рз удовлетворяют (2), тогда р",— (У вЂ” й') г,=О, р,— (У вЂ” й'),р,=о.
быть получены, если известна Б-матрица, поэтому вычисление ее элементов является основной задачей одномерной теории рассеяния. Рассмотрим вопрос о нормировке функций ф»(й, х) и »)»з(й, х). Имеют место формулы ~ »)»»(й», х)»!»з(йь х)дх=О, й» > О, йз) О, ~ ф»э(й»х)ф»э(й»ь х)Ых=2пб(й» вЂ” йз), (10) (9) [(А(й») А(й~)+ В(й») ВЯ,))еым «вм — е»!"' «'»х»)— [А(йз)е ы«'+»ь»~+ А(й )е'и+'*»и! «, + «, » т.
е. справедливы те же соотношения, что и для функций е"" и е-»»'", н нормировка не зависит,от вида потенциала У(х). Интегралы в формулах (9) и (!О) понимаются в смысле главного значения. Мы проверим (10) для функции ф». Остальные два соотношения проверяются так же. Подстановка функций »[»»(йьх) и ф»(ймх) в уравнение (2) приводит к равенствам »)» (йр х) + йз»ф (й» х) У (х)»(» (йр х) (1 1) »)»" (й, х)+йззф(й, х)=)г(х)»р~й, х). (12) (Мы не пишем индекс 1 в обозначении решения»!»» для сокращения записи.) Домножая (11) на ф(йз,х), а (12) на»[»(й»,х) и вычитая первое из второго, получим их (ф(~» )»(»(~м ))=~~з ~й)""(~» х)ф ~~э х) Интегрируя зто равенство, будем иметь -х» ф(й», х)ф(й»ь х)»»х= з,» Ф (ф(й», х), »р(йм Х)) ° (13) «з «э 1-»»» Нас интересует предел в смысле обобщенных функций интеграла, стоящего в левой части (13), при Ж- оо, Уже из формулы (13) видно, что этот предел зависит только от вида решений в областях 1 и 11 (для случая инфинитных потенциалов только от асимптотики решений при х- ~-оо).
После простых вычислений получим ~ ф(й„х)ф(й»ь х) их= Второе слагаемое по теореме Римана — Лебега стремится к нулю (в смысле обобщенных функций). Подобное утвержде. нне несправедливо по отношению к первому слагаемому„так как оно сингулярно при й~ = йз. Сингулярная часть этого слагаемого не изменится, если заменить А(йз) и В(йз) на А(А~) и В(К~) соответственно*.
Используя (6), имеем ~ тр1 (йь х) Ф (йз, х) дх = — з 1п (/г~ — йе) У + и (й1, йи, тч), 1!гп Р(йь йе, У) =О. где Наконец, используя известную формулу 1пп — = пб (х), и, х получим 1пп ~ ф~ (йь х) ф~ (йе, х) с(х = 2пб (й~ — йи), лью что совпадает с (10). й 87. Физический смысл решений ф, и трз Для того чтобы выяснить физический смысл решений и фя, построим с их помощью решения нестационарного уравнения Шредингера 1 —,= Нф . тьр ш Рассмотрим решение уравнения Шредингера, построенное по функции ф ~ (Й, х) р3(х, 1)= 1— 1С(й)ф1(й, х)е 'чИ.
(1) арузи О Относительно функции С(й) мы предположим, что она отлична от нуля в малой окрестности точки йе. В этом случае ср~(х,г) имеет наиболее простой физический смысл. Кроме того, будем считать, что 'Ю $ ) С (й) и цтй = 1, о * Для итого достаточно, чтобы А(е) н В(й) были дифференцнруемымн функциями от л, что может быть доназано. 142 тогда из (36.10) следует, что ~ (пь (х, () ~здх=!, т.
е. решение у1(х, () имеет правильную нормировку, Используя сосредоточенность функции С(й) в окрестности точки йв и непрерывность функций А(я) и В(й), можно записать приближенные выражения "' для функции ~р1(х, () в областях! и П: ф~ (х () нк фе (х ()+ Ахйз)'р-(х и:,(., () =в(й.) ф,(. ), ф (х, () = ~ С(й)е+'аз 'амМ. З/2п ~ о (2) где Функции й) (х,г) являются нормированными решениями уравнения Шредингера для свободной частицы и изучались "*' в $ 15, Там же были построены асимптотические выражения для этих решений при г- +-оо (х, () = С(~ — ") е'х + О ( — ), т': р, (х, () = ф~ (х, (), П: ср~(х, () =О, * Эти выражения можно считать сколько угодно точными, если интервал Ь(г, внутри которого С(й) с-лична от нуля, сколь угодно мал.
Однако перейти к пределу, заменив С(й) нз б.функпию, мы не можем, так как не получим квадратично интегрируемого решения уравнения Шредингера, " Имеется несущественное различие в записи. Нам удобнее здесь считать й ~ О, и знак импульса в знспоненте ееия выписывается явно. Кроме того, интегрирование в (2) монсно распространить нз вс о вещественную ось, так как С(й) = О при й ( О. "* Более точно: со скоростью 24, перемешается область, в которой отлична от нуля вероятность найти частипу. 143 где 2 — вещественная функция, вид которой для нас несуществен.
Из этого выражения видно, что функции сря(х,() при оо отличны от нуля только в окрестности точек х = ~2дет'. Поэтому сре описывает состояние свободной частицы, движу- щейсЯ слева напРаво со скоРостью **е о = 2йо, а ф — частицУ, имеющую противоположное направление скорости (напомним, что т = 1/2). Теперь легко понять, какими свойствами обладает рещение ср1(х,)) при (- -~ос.
Пусть (-ь — со. Тогда в областях ! и П имеем так ка'к при 1-з- — оо ср (х,1) = О при х ( — а и ~р+(х, 1) = О при х ~ а. Аналогично при 1- +со 1: <р,(х, 1)=А(1го)<р (х, 1), 11: Ф$ (х, 1) = В (усе) 4р „(х, 1). Мы видим, что задолго до рассеяния (1-' — оо) частица с вероятностью, равной единице, находится слева от барьера и движется по направлению к барьеру со скоростью 2ло. Вычислим вероятности (Рз и Пты обнаружить частицу при +оо в областях 1 и 11 соответственно. Имеем Я а (в',= ~ 1~р,(х, 1) 1вс(х=~ А(ло) 1в ~ )<р (х, 1)~вд1х= =!А(м)! ~ !ж (х, 1)! а1х=)А(л)1~, Замена области интегрирования 1 на всю вещественную ось возможна, так как при 1-в+ос ~р (х,г) Ф О только в области 1. Точно так же проверяется, что йтп=! В()се) ~ Графики функции 1тр1(х, 1)1в как функции от х при 1-в ~со изображены на рис. 12, -а а х Рис.
ВЬ Таким образом, решение уравнения Шредингера ф1(х,1) описывает частицу, которая до рассеяния приближается к потенциальному барьеру со скоростью 2йо и с вероятностью 1А(ле)1в отражается от барьера или с вероятностью 1В(ло) ~в проходит через потенциальный барьер *. Обратим внимание на то„что результат не зависит от вида функции С(л), важно только, чтобы интервал Лл, в котором С(й) отлична от нуля, был мал. Физически это требование понятно, если мы хотим зкспернментально найти зависимость, ° В одномерной задаче понятие сечения теряет смысл.
Всвз информапнвз о рассеянии содержат вероятности 141з н )В1в. 144 ~А!о+(В!о= — 1, !В!о+)С!о=! выражают закон сохранения вероятности. Действительно, нормировка решений ф1(х, !) и фо(х, !) от времени не зависит, а при 1- оо имеем ! 1т ~ ! ф, (х, !) ! ' о(х = ! А (йо) ! о + ~ В (йо) ! = 1 й 38.
Рассеяние иа прямоугольном барьере Рассмотрим конкретный пример задачи о рассеянии одномерной частицы на прямоугольном потенциальном барьере. Пусть 1о, !х(~~а, Ро>О, О, !х() а. Уравнение Оф = (ооф в этом случае в областях ! — !!! имеет вид ! и !1: оР" + яоф = О, 111: оР" + а' оР = О, (1) где а = ~/(оо — Ф'о (для определенности считаем, что а ) О при яо — Ко ) О и — !а ) О при яо — ро ( О) . Построим решение ор~(й,х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
