Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский - Лекции по квантовой механике для студентов математиков (1156655), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Соответствующие векторам ф(1), ф, ф(1), ф волновые функции будут записываться как ф(х,1), ф(х), ф(х, 1), ф(х) в координатном представлении и ф(р,(), ф(р), ф(р,(), ф(р) в импульсном представлении. Наконец, собственные векторы оператора Н (если они существуют) будем обозначать через т,„, Ну, = Е„Х„. В $ 40 мы построили решение уравнения Шредингера ф (х,() = е-ннф (х), которое при 1- ~со асимптотически стремилось к некоторым решениям уравнения Шредингера для свободной частицы ф . (х, 1) = е 'н'ф (х), поэтому можно ожидать, что для такого решения ф(1) справедливы равенства 1пп )~е-гнсф е-гннф ))= 0 (1) Физическую картину рассеяния можно представлять следующим образом. Задолго до рассеяния частица свободно движется вдали от рассеивающего центра, затем она попадает в зону действия потенциала (происходит рассеяние) и, наконец, через достаточно большой промежуток времени движение частицы снова становится свободным.
Поэтому естественной представляется следующая постановка нестационарной задачи о рассеянии: 1. По произвольному вектору ф из пространства состояний М построить вектор ф такой„ что (1) справедливо при 1-ь — сю. 2. По построенному вектору ф найти вектор ф+~М такой, что (1) справедливо при 1-ь +со. Вектор ф(1) = е-'и'ф описывает такое состояние частицы, которое в далеком прошлом совпадает с ф (1)= е-'" 'ф и при 1- +со переходит вф,(1)=е 'н"ф Физика интересует связь между векторами ф и ф+.
Поэтому к пунктам 1 и 2 постановки задачи можно добавить следующее. Нвб* 3. Показать, что существует такой унитарный оператор Я, что р =Яр. Начнем с пункта 1. Поставим задачу несколько шире и посмотрим, возможно лн по произвольным векторам ~р е= Ж и ~р.ь ен М построить такие векторы зр, что (1) справедливо при Х-ь. †и т-з.
+со соответственно (разумеется, векторы ф, построенные по <р и по ~рч, не обязаны совпадать). Переписывая (1) с учетом унитарности оператора е-'"' е виде цщ (' ф е1'есе — !ногир !~ О мы видим, что поставленный вопрос сводится к существованию сильных пределов 1'пп е'"'е-'"'=У . (2) 1-? *м Операторы Уе, если они сушествуют, называются волновыми операторами.
Если построен оператор У, то вектор ~р = У у удовлетворяет пункту 1 постановки задачи. Найдем простое достаточное условие существования волновых операторов, Рассмотрим оператор У (1) = е'"'е вычислим его производную ' — (еснй (О ОО) е-ше — (ещ!)те-Мне Очевидна, что У(0) = т, поэтому у (т) = 1+ ( ~ е'л~уе-щптИ, о еОО ~,1"+1 ~ е~™ге-~лет(1 о (3) Вопрос о существовании операторов У мы свели к вопросу о сходимости интегралов (3) на верхнем пределе. Достаточным условием сходимости (3) является существование интегралов ем ~ а)те-~ни, У~ ~(1 о (4) для любого щ~йй (мы учли унитарность оператора е'"'). На.конец, интегралы (4) сходятся на верхних пределах, если для а Обратны внимание на запись производной, которая учитывает некоичаутативность Н и Н,. любого ф ен Ж 11*к'е 'нлф11=о( — ), е> О, 1)1-ьоо„(5) 1 ~ 111+э Посмотрим, для каких потенциалов выполняется (5).
В координатном представлении мы имеем оценку * для волновои функции ф(х, () =е '"'ф(х) 1ф(х Г)1С з с 111 равномерно относительно х. Тогда 11 Ре ьтнф)(т= ~1Р(х) ф(х, Г) Гг(х < — ', $1Ъ'(х) 1'г(х. аз я' Мы видим, что условие (5) выполняется, если потенциал квадратично интегрируемая функция. Разумеется, это условие не является необходимым. Класс потенциалов, для которых существуют ()ж, шире, но существуют потенциалы, для которых нельзя построить волновые операторы. Важнейшим примером такого потенциала является кулоновский потенциал Р(г) = = а)г. Причиной отсутствия волновых операторов для кулоновского потенциала является его слишком медленное убывание на бесконечности.
Решения уравнения Шредингера для кулоновского потенциала не стремятся к решениям для свободной частицы при (-э.~ос (частица «чувствует» потенциал даже на бесконечности). В связи с этим и нестационарная, и стацио. парная постановки задачи о рассеянии в кулоновском поле тре« буют серьезной модификации. Асимптотический вид кулоновских функций эр(х, й) отличен от (39.7). Вернемся к рассмотрению потенциалов, для которых существуют волновые операторы () и обсудим пункт 2. Можно поставить такой вопрос: для любого ли вектора эр~Я найдутся векторы ф+ и ф такие, что (1) справедливо при ( — э ~ос.
Оказывается, что если у оператора О существуют собственные векторы х„, 11)(„11 =1, то для них равенство (1) несправедливо ни при каких ф+ и ф . Действительно, в этом случае легко можно сосчитать для произвольного фяЗэ, 11ф11 =! е Этв оценка получается ав основе методе ствнионарной фазы для э есимптотического вычисления интеграла ф (х,т) =( — ) Зт ф(й)ег'"* еаза, г! эТГ ~.йц ! н' Метод стационерной фззы можно применять, если ф (к) удовлетворяет определенным условиям глздкости. Но множество гладких функций .Я> плотно в зо, е онерзторы У(т) и У ограничены, поэтому достаточно докезеть существование сильных пределов У(1) не множестве йй.
!66 пределы 1пп ~~е ьньх„— е ьн"ф1= 1пп (~е ' "'Х вЂ” е ьн"ф~ ь.+~со 1пп 'Ъ~1!Х,~1 +1!ьр11' — 2йее ' "'(х„, е 'ф) ="Ъ/2. ь.+е Мы учли, чта !пп (у„, е-'"'ьр) =О, ь-+ (6) Следующее свойство мы приведем без доказательства. Оказывается, что Я+ = Я = Я, Я Я Я = М.
(7) Доказательство этого утверждения является наиболее сложным в абстрактной теории рассеяния. Подпространство Я, совпадающее с областями значений операторов У, часто называют подпространством состояний рассеяния. Покажем далее, что операторы У являются изометрическими.
Действительно, из сильной сходимости оператора У(1)ь' при 1- ~со и унитарности этого оператора следует, что (У ьр, У ьр)= 1пп (У(1)ьр, У(ь)ф)=(ф, ф), так как вектор е 'н'ф слабо стремится к нулю при 1-ь таа. Из физических соображений также легко понять, почему состояние е-ьньу„не стремится асимптотически к некоторому состоянию свободного движения при е-'н'ф. Вектор е-ьньу описывает состояние частицы, локализованной около рассеивающего центра, а вектор е-ьн'фпри любом ф~Яе — состояние частицы, уходящей при 1- ~со на бесконечность.
Ясно, что (1) несправедливо и для любога вектора дев Я, где Я вЂ” падпрострапство, натянутое иа собствеиныс векторы Х„, оператора Н. Будем называть надпространство Я подпространствам связанных состояний. Итак, мы видим, чта по произвольному вектору ф, вообще говоря, нельзя построить вектор фч, удовлетворякнций (1) при 1- + са. Для того чтобы выяснить, возможно ли по построенному вектору ьр = У ф найти ф+, нам потребуется изучить свойства волновых операторов. Обозначим через Я области значений операторов У . Покажем, что Я 1 Я. Достаточно проверить, что векторы У ф ортогональны к собственным векторам у„для любого фенМ. Из (6) получим (У ф )ь ) 11ьп (еьнье-ьньф ч ) ь->~ — !Пп е ьь" (е ~оф 11 ) — О т. е.
операторы и сохраняют норму вектора ф, и поэтому и~и = у. (8) Операторы и являются унитарными только при отсутствии собственных векторов дискретного спектра у оператора О. В этом случае операторы ие отображают ЗВ на М взаимно однозначно, и тогда наряду с (8) имеет место равенство и и'„=1. (9) Если О имеет дискретный спектр и фенЯ, тогда найдутся такие векторы ф+ и ф, что ~>=и ф Домножая это равенство на и' и учитывая (8), получим иеи~ф=$. $енЯ. (10) (11) С другой стороны, для Х ~ Я и любого ф ~ М (и*,х, р)=(х,и р)=9, цоэтому и;х=б, и и;х=б, х =-Я. Любой вектор рея За можно представить в виде ф=х+Ф, хеБЯ, Ф~Я и и.
и~ф= ф=(г' — Р)ф, где Р— проектор на подпространстве связанных состояний Я. Таким образом, в общем случае вместо (9) имеет место равенство и~и~ = 1 — Р, (12) (13) Переходя к пределу при 1-.,а ~со в равенстве ещиаснсе-инаф вснп+па-пап+Язв;ф ф ~ Як т ~ 11 получим витти — и ~~им откуда сразу следует (13). поэтому прн наличии дискретного спектра операторы и ие являются унитарными. Наконец, покажем, что для любой ограниченной функции 1(з), з ы К справедливо равенство 1 ((() ие = и~1 (Оо). Вернемся к нестационарной задаче о рассеянии, постановка которой была сформулирована в начале параграфа. Если для некоторого потенциала К существуют волновые операторы У и справедливо (7), то нестационарная задача о рассеянии имеет единственное решение. Вектор Ф находится для произвольного Ф еи М по формуле Вектор Ф ~ Я, поэтому согласно (10) Ф„=У ф или Ф,=и'О р, что можно переписать в виде Ф.~.=оФ ю где В=и*,и .
(14) Унитарность оператора рассеяния 5 следует из (8), (12) и очевидных равенств РБ = О. Действительно„ 3'З=О'О.О*,и =0" (( — Р)И =1 и аналогично Далее нз (13) следует„ что З1 (На) = ) (На) 3. Запишем (15) в импульсном представлении при 1(з) = з (15) я($с, $с') й' = йзяПс, й'). Мы видим, что ядро оператора 5 может быть записано в виде З(й, й')="(а," "" б(й — й"), й=йы, (16) н соотношение (14) принимает вид !ба яз(я щ ~') а(а — и) + ' 1 3 а 2а = ~ З(й, гв, ет') Ф (й, га') ~йе'. зз Сравнивая эту формулу с (40.9), получаем, что функция Я(в, ы,м'), введенная соотношением (16), совпадает с функцией 5(я,е,в') из я 39.
Эта связь между 3-оператором нестационарной теории рассеяния и асимптотикой волновых функций стационарной задачи о рассеянии может быть установлена, конечно, и в рамках строгой теории. Сушествует простая связь между волновыми операторами $7 и введенными в й 39 решениями уравнения Шредингера «р(х,й). Напомним, что решение нестационарного уравнения Шредингера ф(х, $), построенное по функции «р(х, 1«), имеет вид ф (х, г) = ( — ) ' ~ «р (й) ф (х, 1«) г-'"'«$$«. аа Здесь мы обозначили функци«о С(й) через «р (й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
