В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

‚€ˆ€–ˆŽŽ… ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ… ˆŽDZ’ˆŒ€‹œŽ… “DZ€‚‹…ˆ…‚. Œ. ’¨å®¬¨à®¢(Šãàá «¥ªæ¨© 2004 £.)1DZŽƒ€ŒŒ€1.‡ ¤ ç¨ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©. ’¥®à¥¬ ”¥à¬ . ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ -â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 .2.DZà®á⥩è ï § ¤ ç ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï. “à ¢­¥­¨¥ ©«¥-à î3.‡ ¤ ç á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ à ¢¥­áâ¢. DZà ¢¨«® ¬­®¨â¥«¥©‹ £à ­ .4.‡ ¤ ç ‹ £à ­ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï. ”®à¬ã«¨à®¢ª ­¥-®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© ¨ ᢥ¤¥­¨¥ ª ª®­¥ç­®¬¥à­®© § ¤ ç¥.5.‡ ¤ ç ‹ £à ­ . ‡ ¢¥à襭¨¥ ¢ë¢®¤ ­¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨©.6.‡ ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï.

”®à¬ã«¨à®¢ª ¯à¨­æ¨¯ ¬ ª-ᨬ㬠DZ®­âà­ ¨ ᢥ¤¥­¨¥ ª ª®­¥ç­®¬¥à­®© § ¤ ç¥.7.∗‡ ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï. ‡ ¢¥à襭¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¨­æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ .8.“á«®¢¨ï ‹¥ ­¤à ¨ ‚¥©¥àèâà áá ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¯à®-á⥩襩 § ¤ ç¥.9.“á«®¢¨ï ‹¥ ­¤à ¨ Ÿª®¡¨ á« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¯à®á⥩襩§ ¤ ç¥.10.„®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï á« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥.11.DZ®áâ஥­¨¥ ¯®«ï ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥.12.“à ¢­¥­¨¥ ƒ ¬¨«ìâ®­ -Ÿª®¡¨.13.„®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ -14.¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢ § ¤ ç åç¥.á à ¢¥­á⢠¬¨.15..DZਭ樯 ‚¥©¥àèâà áá { ‹¥¡¥£ { íà ¨ ¥£® ®¡®¡é¥­¨¥16.DZà®áâà ­á⢠‘®¡®«¥¢ (®¯à¥¤¥«¥­¨¥, ¯®«­®â ¨ à¥ä«¥ªá¨¢-­®áâì).17.’¥®à¥¬ ’®­¥««¨.18.Š®­âà¯à¨¬¥àë.

’¥®à¥¬ ®£®«î¡®¢ .19. ç « ¢ë¯ãª«®£® ­ «¨§ (¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¥á⢠, ä㭪樨 ¨§ ¤ ç¨). ’¥®à¥¬ ”¥­å¥«ï { Œ®à®.20.„¢®©á⢥­­®áâì ¢ë¯ãª«ëå § ¤ ç.DZਫ®¥­¨¥ ª «¨­¥©­®¬ã¯à®£à ¬¬¨à®¢ ­¨î.21.”®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ Œ®à® { ®ª 䥫« à ¨ „ã¡®¢¨æª®£® {Œ¨«î⨭ . ’¥®à¥¬ Š àãè { Šã­ { ’ ªª¥à .22.€«£®à¨â¬ë ¢ë¯ãª«®© ®¯â¨¬¨§ 樨:á¥ç¥­¨© ¨ ¬¥â®¤ í««¨¯á®¨¤®¢.¬¥â®¤ 業âà¨à®¢ ­­ëå2.23.‡ ¤ ç o ¡à å¨áâ®åà®­¥24.‡ ¤ ç ìîâ®­ .25.DZà®á⥩è ï § ¤ ç ® ¡ëáâத¥©á⢨¨.3‚¢¥¤¥­¨¥‚ ¬¨p¥ ­¥ ¯p®¨á室¨â ­¨ç¥£®, ¢ çñ¬ ­¥ ¡ë« ¡ë ¢¨¤¥­á¬ëá« ª ª®£®-­¨¡ã¤ì ¬ ªá¨¬ã¬ ¨«¨ ¬¨­¨¬ã¬ .‹. ©«¥pŒ­®£¨¥ ¯à¨ç¨­ë ¯®¡ã¤ îâ áâ ¢¨âì ¨ à¥è âì íªáâ६ «ì­ë¥ § ¤ ç¨, â. ¥. § ¤ ç¨ ­ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨ ¬¨­¨¬ã¬.

‹î¤ï¬ ᢮©á⢥­­® ­ ¨«ãç訬 ®¡à §®¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì à¥áãàáë, ­ 室ï騥áï ¢ ¨å à ᯮà省¨¨, ¨¯®â®¬ã ¬­®¥á⢮ § ¤ ç ®¯â¨¬¨§ 樨 ¢®§­¨ª ¥â ¢ íª®­®¬¨ª¥, ¨­¥­¥à¨¨, ¯à¨ ã¯à ¢«¥­¨¨ à §«¨ç­ë¬¨ ¯à®æ¥áá ¬¨. ‚ 18 ¢¥ª¥ ¡ë«® ®¡­ à㥭®, çâ® ¡®«ì設á⢮ § ª®­®¢ ¯à¨à®¤ë ¢ë¢®¤ïâáï ¨§ ¢ ਠ樮­­ëå¯à¨­æ¨¯®¢ (®¡ í⮬ £®¢®à¨â ©«¥à ¢ ¯à¨¢¥¤ñ­­®¬ í¯¨£à ä¥). ‚ ਠ樮­­ë¥ ¯à¨­æ¨¯ë ¢ ¥áâ¥á⢮§­ ­¨¨ á⨬㫨஢ «¨ à §¢¨â¨¥ ¢ ­®© £« ¢ë ⥮ਨ íªáâ६㬠| ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï. Šà®¬¥ ⮣®, ¥« ­¨¥ à §®¡à âìáï ¤® ª®­æ ¢ ª ª®©-â® ¯à®¡«¥¬¥ ¯à¨¢®¤¨â, ª ª ¯à ¢¨«®,ª ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠à¥è âì âã ¨«¨ ¨­ãî § ¤ çã ­ íªáâ६ã¬.

‘«¥¤ã¥ââ ª¥ ᪠§ âì, çâ® ­¥à¥¤ª® ¯®¡ã¤¨â¥«ì­ë¬¨ ¯à¨ç¨­ ¬¨ ¤«ï à¥è¥­¨ïíªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç ïîâáï á®®¡à ¥­¨ï íáâ¥â¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à .DZਢ¥¤¥¬ ¯à¨¬¥àë, ¯®¤â¢¥à¤ î騥 ᪠§ ­­®¥.‚ \ ç « å" …¢ª«¨¤ (III ¢ ¤® ­. í.) à¥è¥­ ®¤­ § ¤ ç ­ ¬ ªá¨¬ã¬: ¢¯¨á âì ¢ âà¥ã£®«ì­¨ª ABC ¯ à ««¥«®£à ¬¬ ADEF, (D ∈AB, E ∈ BC, F ∈ AC ) ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¯«®é ¤¨.DZ®á«¥¤­¨© ¨§ ¢¥«¨ç ©è¨å ¬ ⥬ ⨪®¢ ¤à¥¢­®á⨠| €¯®««®­¨© (II¢ ¤® ­. í.) | ®¯à¥¤¥«ï« ªà âç ©è¨¥ à ááâ®ï­¨ï ®â â®çª¨ ¯«®áª®á⨤® í««¨¯á .‚ 1696 £®¤ã ˆ®£ ­­ ¥à­ã««¨ ¯®áâ ¢¨« ¯¥à¥¤ ᢮¨¬¨ ᮢ६¥­­¨ª ¬¨ § ¤ çã ® ¡à å¨áâ®åà®­¥ | ªà¨¢®© ­ ¨áª®à¥©è¥£® á¯ã᪠.‚ ᢮¥¬ ¢¥«¨ª®¬ âà㤥 \Œ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ­ ç « ­ âãà «ì­®© 䨫®á®ä¨¨" (1687 £.) ˆ. ìîâ®­ ¯®áâ ¢¨« ¨ à §à¥è¨« á«¥¤ãîéãî § ¤ ç㨭¥­¥à­®£® ᮤ¥à ­¨ï: ®¯¨á âì ¢¨¤ â ª®© ªà¨¢®©, ç⮠⥫® ¢à 饭¨ï, ®¡à §®¢ ­­®¥ í⮩ ªà¨¢®©, ¨á¯ëâë¢ «® ¡ë ­ ¨¬¥­ì襥 ᮯà®â¨¢«¥­¨¥ ¢ ­¥ª®â®à®© á।¥.Š ª ¬ë ¢¨¤¨¬ ¨§ ¯à¨¢¥¤¥­­ëå ¯à¨¬¥à®¢, ¨§­ ç «ì­® § ¤ ç¨ áâ ¢ïâáï, ª ª ¯à ¢¨«®, ¢ â¥à¬¨­ å ⮩ ®¡« á⨠§­ ­¨©, ¨§ ª®â®à®© ®­¨ ¯à®¨á室ïâ (¢ ­ 襬 á«ãç ¥ íâ® £¥®¬¥âà¨ï, 䨧¨ª ¨ ¨­¥­¥à¨ï).„«ï ⮣®,çâ®¡ë ¨¬¥âì ¢®§¬®­®áâì ¨áá«¥¤®¢ âì ¯®¤®¡­ë¥ § ¤ ç¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¬¨ á।á⢠¬¨, ­¥®¡å®¤¨¬® ¯¥à¥¢¥á⨠¨å ­ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ï§ëª, â.

¥.4. „«ï í⮣® ­ ¤® ®¯¨á âì ¬¨­¨¬¨§¨àã¥¬ë© ¨«¨ ¬ ªá¨¬¨§¨àã¥¬ë© ä㭪樮­ « f : X → IR ∪ {±∞} (¢¬¥áâ¥ á ®¡« áâìî ¥£®®¯à¥¤¥«¥­¨ï X ) ¨ ¬­®¥á⢮ ®£à ­¨ç¥­¨© C ⊂ X . ”®à¬ «¨§®¢ ­­ ï§ ¤ ç § ¯¨áë¢ ¥âáï â ªä®à¬ «¨§®¢ âìf (x) → extr (⇔ f (x) → min(max)),x∈C(P )¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ­ 室¥­¨¨ â ª¨å â®ç¥ª x ∈ C , ¢ ª®â®àëå f ¤®á⨣ ¥â᢮¥£® ¬¨­¨¬ã¬ (¬ ªá¨¬ã¬ ) ­ C . ’®çª¨ ¨§ C ­ §ë¢ îâáï ¤®¯ãáâ¨b â ª¨¥, çâ® f (x) ≥ f (xb) (f (x) ≤ f (xb) ∀x ∈ C¬ë¬¨.

„®¯ãáâ¨¬ë¥ â®çª¨ x­ §ë¢ îâáï à¥è¥­¨ï¬¨ ¨«¨ ¡á®«îâ­ë¬¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¬¨ (¬ ªá¨¬ã¬ ¬¨) § ¤ ç¨ (P ).DZ®¬¨¬® ¡á®«îâ­ëå ¬¨­¨¬ã¬®¢ ¨ ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ­ á ¡ã¤¥â ¨­â¥à¥á®¢ âì «®ª «ì­ë¥ íªáâ६ã¬ë (â. ¥. ¬¨­¨¬ã¬ë ¨ ¬ ªá¨¬ã¬ë). „«ï í⮣®­¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¢ X ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥­® ¯®­ï⨥ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨.…᫨ íâ® â ª, â® â®çª xb ∈ C ­ §ë¢ ¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ (¬ ªbᨬ㬮¬) ¢ § ¤ ç¥ (P ), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ­®áâì V â®çª¨ x(⮣¤ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì V ∈ O(xb, X )), çâ® f (x) ≥ f (xb) (f (x) ≤ f (xb)) ¤«ï¢á¥å x ∈ C ∩ V .DZਢ¥¤ñ¬ ä®à¬ «¨§ 樨 ¯à¨¢¥¤ñ­­ëå ¢ëè¥ § ¤ ç.• ‡ ¤ ç …¢ª«¨¤ : 12 x(a − x) → max, 0 ≤ x ≤ a (a = |AC|, x =|AF |).p• ‡ ¤ ç €¯®««®­¨ï:(ξ1 − x1 )2 + (ξ2 − x2 )2 → min, (x1 /a1 )2 +(x2 /a2 )2 = 1 ¨«¨ ≤ 1.••R x1‡ ¤ ç ˆ.

¥à­ã««¨ ® ¡à å¨áâ®åà®­¥: 0y (xi ) = yi , i = 0, 1.√1+√y′ 2 (x)dx → min,y (x)€íத¨­ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç ìîâ®­ : 0x1 1+xdx′y 2 (x )y ′ (x) ≥ 0, y (xi ) = yi , i = 0, 1.R→ min,”®à¬ «¨§ 樨 § ¤ ç …¢ª«¨¤ ¨ €¯®««®­¨ï âਢ¨ «ì­ë, § ¤ 稈. ¥à­ã««¨ ¨ ìîâ®­ ¡ã¤ãâ ¯®¤à®¡­¥¥ ®¡á㤠âìáï ¤ «¥¥, ⮣¤ ¥®­¨ ¡ã¤ãâ ä®à¬ «¨§®¢ ­ë.DZਢ¥¤ñ­­ë¥ § ¤ ç¨ ¤®áâ ¢«ïî⠯ਬ¥àë ®á­®¢­ëå ª« áᮢ § ¤ ç,ª®â®àë¥ ­ ¬ ¯à¥¤á⮨⠨§ãç âì. ‡ ¤ ç …¢ª«¨¤ (¥á«¨ ­¥ ãç¨âë¢ âì­¥p ¢¥­á⢠­ x ¨ ®â¡à®á¨âì ¬­®¨â¥«ì 12): x(a − x) → max ®â­®á¨âáïª ç¨á«ã § ¤ ç ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©, § ¤ ç €¯®««®­¨ï | ª ª« ááã § ¤ ç á51. …Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ à ¢¥­á⢠¨ ­¥à ¢¥­áâ¢, § ¤ ç ˆ.

¥à­ã««¨ ®â­®á¨âáï ª ¢ ਠ樮­­®¬ã ¨áç¨á«¥­¨î, § ¤ ç ìîâ®­ | ª ®¯â¨¬ «ì­®¬ã ã¯à ¢«¥­¨î.DZਢ¥¤ñ¬ ¯® ¯p¨¬¥pã ¤«ï ª ¤®£® ¨§ ¯¥à¥ç¨á«¥­­ëå ª« áᮢ (¨¬¨¬ë ¡ã¤¥¬ ¨««îáâà¨à®¢ âì ⥮à¨î):1. fR (x) = ax2 + 2bx + c → min, (a > 0);2. 0T (x_ 2 (t) − x2 (t))dtP→ min, x(0) = x(T ) = 0;P3. f0 (x1 , . . . , xn ) = ni,j =1 aij xi xj → max, f1 (x1 , . . . , xn ) = ni=1 x2i −1 = 0 (Raij = aji);R4.

R0π x2 (t)dt → max, 0π x_ 2 (t)dt = 1, x(0) = x(π) = 0;5. 0T (x_ 2 (t) − x2 (t))dt → min, x(0) = x(T ) = 0, |x_ (t)| ≤ 1.1.¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï íªáâ६㬠®â”¥à¬ ¤® DZ®­âà­ •1.1.‚ í⮩ £« ¢¥ ¬ë ¤®ª ¥¬ ¯ïâì १ã«ìâ ⮢, á¢ï§ ­­ëå á ¨¬¥­ ¬¨”¥à¬ , ©«¥à , ‹ £à ­ ¨ DZ®­âà­ .”¥à¬ . ‡ ¤ ç¨ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©Š®£¤ ¢¥«¨ç¨­ ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¨«¨ ¬¨­¨¬ «ì­®©, ¢ íâ®â ¬®¬¥­â ®­ ­¥ â¥çñâ ­¨ ¢¯¥àñ¤, ­¨ ­ § ¤.ˆ.ìîâ®­ ç­ñ¬ á ®¤­®¬¥à­ëå § ¤ ç. DZãáâì ℄xb −ε, xb + ε[ | ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨b ¨ f :℄xb − ε, xb + ε[→ IR | äã­ªæ¨ï ®¤­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£®. ‡ ¤ ç xf (x) → extr­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨© (¢ IR).ƒ®¢®àïâ, çâ® â®çª xb ï¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ (¬ ªá¨¬ãb ¢ë¯®«¬®¬) ä㭪樨 f , ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠V â®çª¨ x­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮: f (x) ≥ f (xb) (f (x) ≤ f (xb)).

DZਠí⮬ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âìb ∈ lominfx(lomaxf ).b −ε, xb + ε[→ IR ¤¨ää¥à¥­ ¯®¬¨­ ­¨e. ƒ®¢®àïâ, çâ® äã­ªæ¨ï f :℄xf (bx+x)−f (bx)b, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«: limx→0æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ x(Š®è¨x(1823)). â®â ¯à¥¤¥« ­ §ë¢ î⠯ந§¢®¤­®© f ¢ â®çª¥ xb ¨ ®¡®§­ ç îâb). DZਠí⮬ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì f ∈ D 1 (xb).f ′ (x6ˆ¬¥¥â ¬¥áâ®(”¥à¬ ). DZãáâìloextrf , â® f ′(xb) = 0.’¥®à¥¬ f:℄xb − ε, xb + ε[→ IR.…᫨b)f ∈ D1 (x¨b∈x‡ ¬¥ç ­¨¥.

’®çª¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨, ¢ ª®â®àëå ¯à®¨§¢®¤­ ï à ¢­ ­ã«î, ­ §ë¢ îâ áâ 樮­ à­ë¬¨. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨­¨¬ã¬ë ¨ ¬ ªá¨¬ã¬ë ä㭪樨 (¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ®­¨ áãé¥áâ¢ãîâ), á«¥¤ã¥â¨áª âì á।¨ áâ 樮­ à­ëå â®ç¥ª.„®ª ¥¬ ⥮६㠤«ï ¬¨­¨¬ã¬ . ˆ§ ãá«®¢¨ï ⥮६ë á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì V â®çª¨ xb, ¤«ï ª®â®à®©x+x)−f (bx)b) ∀x ∈ V . ® ⮣¤ f ′ (xb) = limx→0, x≥0 f (bf (x) ≥ f (x≥ 0. €­ «®xf (bx+x)−f (bx)′′b) = 0.£¨ç­® f (xb) = limx→0, x≤0≤ 0.

‡­ ç¨â, f (x⊓⊔xDZਬ¥à. ‚ § ¤ ç¥ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨© f (x) = ax2 + 2bx + c → min, (a > 0)áâ 樮­ à­ ï â®çª ®¤­ : xb = − ab . ‹¥£ª® ¯®­ïâì, çâ® ®­ ¤®áâ ¢«ï¥â2 ¡á®«îâ­ë© ¬¨­¨¬ã¬, à ¢­ë© ac−ba .„®ª § ⥫ìá⢮.Ž¡é¨© ¯à¨ñ¬ à¥è¥­¨ï § ¤ ç ­ íªáâ६ã¬, á®áâ®ï騩 (¢ ­ë­¥è­¨å â¥à¬¨­ å) ¢ ⮬, çâ® ¢ â®çª¥ íªáâ६㬠£« ¢­ ï «¨­¥©­ ï ç áâì ¯à¨à 饭¨ï ­ã«¥¢ ï, ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« áä®à¬ã«¨à®¢ ­ DZì¥à®¬ ”¥à¬ (1601 { 1665) ¢ ¯¨á쬥 ª Œ¥àᥭ­ã ¨ ®¡¥à¢ «î ¢1638 £®¤ã.DZ¥à¥å®¤¨¬ ª ¬­®£®¬¥à­ë¬ § ¤ ç ¬.DZãáâì V | ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ xb ∈ IRn ¨ f : V → IR | äã­ªæ¨ï n¯¥à¥¬¥­­ëå.

‡ ¤ ç f (x) → extr(P1 )­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨© (¢ IRn ).‡¤¥áì âॡãîâáï ­¥ª®â®àë¥ ¯®ïá­¥­¨ï.DZà®áâà ­á⢮IRn n ¯¥à¥¬¥­­ëå á®á⮨⠨§ ¢¥ªâ®à®¢-á⮫¡æ®¢ x =x1 ..  . .  àï¤ã á ¢¥ªâ®à ¬¨ á⮫¡æ ¬¨ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢¥ªâ®àë-ˆáâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¬¥­â ਩.xnáâப¨ y = (y1 , . . . , yn ). ‚ ç áâ­®áâ¨, âp ­á¯®­¨p®¢ ­­ë© ¢¥ªâ®pá⮫¡¥æ x, ®¡®§­ ç ¥¬ë© xT , | ¢¥ªâ®p-áâp®ª (x1 , . . .

, xn ). Œ­®¥á⢮ ¢¥ªâ®à®¢-áâp®ª ®¡®§­ 稬 (IRn )′ . …᫨ y = (Py1 , . . . , yn ) ∈ (IRn )′ ,n x =(x1 , . . . ,qxn ) ∈ IR , ⮣¤ y · x ®§­ ç ¥â nk=1 yk xk . —¨á«®√Pn2|x| = xT · x =k =1 xk ­ §ë¢ ¥âáï ¬®¤ã«¥¬ x.71. …Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸŒ­®¥á⢮ V ⊂ IRn ­ §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬ (⇔ V ∈ O(IRn )), ¥á«¨b ∈ V ãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«® ε > 0, çâ® ¬­®¥á⢮ {x ∈ IRn | |x −∀xb| < ε} (®âªàëâë© è à á 業â஬ ¢ ­ã«¥ xb à ¤¨ãá ε) ¯à¨­ ¤«¥¨â V .xbŽâªàë⮥ ¬­®¥á⢮, ᮤ¥à 饥 x ­ §ë¢ ¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî xb.

DZà¨í⮬ ¬ë ¯¨è¥¬ V ∈ O(xb, IRn ).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.ƒ®¢®àïâ, çâ® â®çª xb ï¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ (¬ ªá¨¬ã¬®¬) § ¤ ç¨ (P1 ), ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠V â®çª¨ xb ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮: f (x) ≥ f (xb) (f (x) ≤ f (xb)). DZਠí⮬ ¡ã¤¥¬¯¨á âì xb ∈ lomin(P1 ) (lomax(P1 )).1. ƒ®¢®àïâ, çâ® äã­ªæ¨ï f : V → IR (V ∈ O(xb, IRn ))¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ xb, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¢¥ªâ®à a ∈ (IRn )′ ,çâ® f (xb + x) = f (xb)+ a·x + r(x), r(x) = o(x) (‚¥©¥àèâà áá (1880-¥ £®¤ë)).DZਠí⮬ r(x) = o(x) ®§­ ç ¥â, çâ® limx→0 |r(x)|/|x| = 0).

‚¥ªâ®à a (®­®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬) ­ §ë¢ î⠯ந§¢®¤­®© f ¢ â®çª¥b ¨ ®¡®§­ ç îâ f ′ (xb). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì, ª ª ¨ à ­¥¥: f ∈xb). (Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ‚¥©¥àèâà áá ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥, à §ã¬¥¥âáï,D 1 (x®¡®¡é ¥â ¯p¨¢¥¤¥­­®¥ ¢ëè¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ Š®è¨.)2. ’¥®à¥¬ ® ¯à®¨§¢®¤­®© á㯥௮§¨æ¨¨ ä㭪権 (¤«ï á㯥p¯®§¨æ¨¨ ¢¥ªâ®p-ä㭪樨 ®¤­®£® ¯¥p¥¬¥­­®£® ¨ ç¨á«®¢®© ä㭪樨 ¬­®£¨å¯¥p¥¬¥­­ëå) ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª: ¥á«¨ f : IRn → IR ∈ D1 (xb), h :IR → IRn (h = h(α)) ∈ D1 (αb ), ¨ xb = h(αb ), â® (f (h)) ∈ D1 (αb ) ¨((f (h)))′ (αb ) = (f ′ (xb) · h′ (αb ).ˆ¬¥¥â ¬¥á⮍ ¯®¬¨­ ­¨ï.(”¥à¬ ¤«ï ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå).b) ¨ xb ∈ loextr(P1 ).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций