В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

ˆ á­®¢ ­ àã襭¨¥ à®áâ ­¥ ¬®¥â ¡ëâì ª ⥣®à¨ç¥áª®© ¯à¨ç¨­®© ¤«ï ­¥áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨©: ¥á«¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ ‚¥©¥àèâà áá § ¬¥­¨âì t2 ­ t2/3 ,à¥è¥­¨¥¬ ¡ã¤¥â ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï xb(t) = t1/3 . („à㣮©¢ëà §¨â¥«ì­¥©è¨© ¯à¨¬¥à | § ¤ ç ® ¬¨­¨¬ «ì­®© ¯®¢¥àå­®áâ¨.)ˆ á­®¢ ¢§£«ï­¥¬ ­ § ¤ çã á â®çª¨ §à¥­¨ï ¢â®à®© ®¡é¥© â¥®à¥¬ë® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¬¨­¨¬ã¬ . \…áâ¥á⢥­­ë¬" ¯à®áâà ­á⢮¬ §¤¥áì ¢ë£«ï¤¨â¯à®áâà ­á⢮ W (I ) ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 á ­®à¬®© kx(·)kW (I ) =R 2 2( I (t x_ + tx2 )dt)1/2 (¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ­®à¬¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä㭪樮­ «®¬, ¢â®à®© ç«¥­ ¢¢¥¤ñ­, çâ®¡ë ­®à¬ ­ äã­ªæ¨ïå, à ¢­ëå ª®­áâ ­â¥,­¥ ¡ë« ¡ë à ¢­ ­ã«î, ª®íää¨æ¨¥­â t ¯à¨ x2 ¢ë¡à ­ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë¢â®à®©ç«¥­R¡ë« \¯®¤ç¨­ñ­ ¯¥à¢®¬ã": ­¥âà㤭® ¤®ª § âì ­¥à ¢¥­á⢮R1 2txdt≤ 12 01 t2 x_ 2 dt).

‡¤¥áì ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®á⨠¨0ª®íàæ¨â¨¢­®áâ¨, à¥è¥­¨ï ­¥â. ‡­ ç¨â, §¤¥áì ­¥â § ¬ª­ãâ®á⨠®£à ­¨ç¥­¨ï.€ ®âáãâá⢨¥ à¥è¥­¨ï ¢ á ¬®¬ ¯à¨¬¥à¥ ‚¥©¥àèâà áá | ¢ ­¥ª®à४⭮© ¯®áâ ­®ª¥ á ¬®© § ¤ ç¨: ­¥ª®à४â­ë¬ ï¥âáï £à ­¨ç­®¥ãá«®¢¨¥ x(0) = 0.373. ‘“™…‘’‚Ž‚€ˆ… …˜…ˆ‰3.4.¥ª®â®àë¥ ¤®¯®«­¥­¨ïDZ®«ã­¥¯à¥à뢭®áâì. ¥« ªá 樨 ¨ à áè¨à¥­¨ï.‹¥¡¥£®¬ ¡ë«® § ¬¥ç¥­®, çâ® ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï ä㭪樮­ «( ( )) =J x ·¥á«¨ äã­ªæ¨ïZ t1t(z → L t, x, z0( ( ) _ ( )) )¯®«ã­¥¯à¥à뢥­ á­¨§ã,L t, x t , x t dt) ¢ë¯ãª« ¯à¨ «î¡ëå(t, x) (L : IR3 → IR).‚¯®á«¥¤á⢨¨ ¡ë«® ®á®§­ ­®, çâ® ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®áâì á­¨§ã ¯®¤®¡­ëå ä㭪樮­ «®¢¢ë¯ãª«®á⨠¨­â¥£à ­â ¯® ¯®á«¥¤­¥¬ã à£ã¬¥­âã.

’ ª®£® த ã⢥थ­¨ï¤®ª §ë¢ îâáï ¯à¨ ®ç¥­ì è¨à®ª¨å ¤®¯ã饭¨ïå, ­® ¬ë ­ í⮬ ­¥ ®áâ ­®¢¨¬áï (á ¬ ¥ १ã«ìâ ⠋¥¡¥£ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢¥áì¬ ¯à®áâ® ¨ ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥âáï ç¨â ⥫î).DZ஡«¥¬ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®á⨠¨­â¥£à ­â ¯à®á⥩è¨å § ¤ ç ®ª §ë¢ ¥âáï ⥮à¥â¨ç¥áª¨à §à¥è¨¬®©. DZ®ª ¥¬ íâ® á­®¢ ­ ¯à¨¬¥à¥ § ¤ ç¨ (1) Ž¡®§­ 稬 L~ (t, x, ·) { ®¢ë¯ãª«¥­¨¥L ¯® x_ ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­ëå (t, x) (¨«¨, ¨­ ç¥ £®¢®àï, ¢â®àãî ᮯà省­ãî äã­ªæ¨î x_ 7→L∗∗ (t, x, x_ )). ˆ¬¥¥â ¬¥áâ®(®£®«î¡®¢ ® ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®¬ à áè¨à¥­¨¨).(t, x, x_ ) 7→ L :IR3 →IRL(t, x, x_ ) ≥α|x|_ p + β, α > 0, p > 1x(·){xn (·)}bx(·)Rlimn→∞ J (xn (·)) → J~(x(·)) = tt01 L~ (t, x(t), x_ (t))dt.ˆ¤¥ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ®£®«î¡®¢ ¯à®áâ . “áâந¢PNà §¡¨¥­¨¥ ®â१ª [t0 , t1 ℄ ­ N ®â१ª®¢ {i }N,=[τ,τ℄,§ ¬¥­¨¬J(x(·)­ á㬬ãL(ti , xi , x_ i )i , xi = x(τi ),iii+1i=1i=1x−xx_ i = +1).…᫨¯à¨í⮬ç¨á«®x_¯®¯ ¤ ¥â­ \­¥¢ë¯ãª«®áâì"ä㭪樨 x_ 7→ L(τi , xi , ·),i| |x +1 −xâ® L(τi , xi , )i § ¬¥­ï¥âáï ­ ᪮«ì§ï騩 २¬ { ¯¨«ã, ¯®¤®¡­ãî ¯®áâ஥­­®© ­ ¬¨¢ ¯à¨¬¥à¥ 1, á 㣫®¢ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨,à ¢­ë¬¨ ⥬ §­ 祭¨ï¬ ¯à®¨§¢®¤­®©, ¢ ª®â®àëåx−xL ᮢ¯ ¤ ¥â á L∗∗ , ç¨á«® +1) ­ 室¨âáï ¬¥¤ã ­¨¬¨.| |‚®§¬®¥­ ¡®«¥¥ ⥮à¥â¨ç¥áª¨© ¯®¤å®¤ ª ⮬㠥 ¢®¯à®áã.

 i-⮬ ®â१ª¥, § ¬¥­¨¢x(·) ­ xi , à áᬮâਬ «ï¯ã­®¢áªãî § ¤ çãà ¢­®á¨«ì­ ’¥®à¥¬ DZãáâì ¨­â¥£à ­â{ ­¥¯à¥à뢥­ ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬, ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î à®áâ :. ’®£¤ ¤«ï «î¡®© ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭®© äã­ªæ¨¨à ¢­®¬¥à­® á室ïé ïáï ª¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìiáãé¥áâ¢ã¥â¨ â ª ï, çâ®iiiiiiiiZ+1τiτi(( ))L τi , xi , u t dt →min,Z+1τiτi( ) = xi+1 − xi .u t dtDZਬ¥­¨¢ ⥮६㠤¢®©á⢥­­®á⨤«ï í⮩ «ï¯ã­®¢áª®© § ¤ ç¨, ¯®«ã稬, çâ® §­ 祭¨¥í⮩ § ¤ ç¨ à ¢­® L∗∗ (τi , xi , x +1−x )i . DZ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ (¯®¤à®¡­¥¥ íâ® ®¯¨á ­® ¢ ª­¨£¥ [ˆ’℄).‡ ¬¥ç ­¨¥.

DZ®¤®¡­ë© ¯®¤å®¤ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥­ñ­ ª ®ç¥­ì è¨à®ª®¬ã ª« ááã § ¤ ç ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï ¨ ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì § ¤ çãiiiZ t1t0( ( ) ( ))f t, x t , u t dt →min, x_ = ϕ(t, x, u(t)), x(ti ) = xi , i = 0, 1, u(t) ∈ U ¯¢,â® à áè¨à¥­­ ï § ¤ ç ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®© ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ á ¢ë¯ãª«ë¬¨®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ ¢ª«î祭¨©:L(t, x(t), x_ (t))dt → min, x_ (t) ∈ Q(t, x(t)), x(ti ) = xi , i = 0, 1.38’ ª çâ® á ⥮à¥â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¤®áâ â®ç­® ¨áá«¥¤®¢ âì ⮫쪮 â ª¨¥ íªáâ६ «ì­ë¥§ ¤ ç¨.

„«ï ­¨å ãá«®¢¨ï ‹¥ ­¤à ¨ ‚¥©¥àèâà áá ¢ë¯®«­¥­ë. ’ ª çâ® âॡã¥âáï ⮫쪮ãáâ ­®¢¨âì ­ «®£ ãá«®¢¨ï Ÿª®¡¨ { ­¥¯¥à¥á¥ç¥­¨ï ¯ãçª íªáâ६ «¥© 業âà «ì­®£® ¯®«ï.Ž¯â¨¬ «ì­®¥ ã¯à¢«¥­¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ­®¢ë¥ ¢®§¬®­®á⨠¤«ï ¯®¤å®¤ ª ¯à®¡«¥¬ ¬áãé¥á⢮¢ ­¨ï. ˆ¬¥¥â ¬¥áâ® â ª®© १ã«ìâ â:|x|_ ≤N„®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ¢¥áì¬ ¯à®áâ® ¨ ¡«¨§ª® ¯® áã⨠¤¥« á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬â¥®à¥¬ë ’®­¥««¨, ® ª®â®à®© ¬ë à á᪠¥¬ ¢ á«¥¤ãî饩 «¥ªæ¨¨.‘ ¬ ¯® ᥡ¥ ¯®¤å®¤, á¢ï§ ­­ë© á \¯à¨­ã¤¨â¥«ì­ë¬" ®£à ­¨ç¥­¨¥¬, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï 楫¥á®®¡à §­ë¬: ¥á«¨ ¢ë å®â¨â¥ 㧭 âì, ¨¬¥¥âáï «¨ à¥è¥­¨¥ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨, ¢¢¥¤¨â¥¯à¨­ã¤¨â¥«ì­®¥ ®£à ­¨ç¥­¨¥ |x_ | ≤ N .

‡¤¥áì à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ § ¢¨á¨â ®â N . ˆ ¤ «¥¥,á«¥¤ã¥â á«¥¤¨âì § í¢®«î樥© xN (·). ’à㤭® ᪠§ âì, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ â ª®© ¯®¤å®¤ ¢¥áì¬ ¯à®¤ãªâ¨¢¥­, ¨¡® áãé¥áâ¢ã¥â § ¬¥ç ⥫ì­ë© ¯à¨¬¥à ‹ ¢à¥­â쥢 . ‚®â ®¤­ ¨§ ॠ«¨§ 権¥£® ¨¤¥¨.RDZp¨¬¥p 4 (‹ ¢à¥­â쥢). J4 (x(·)) =(t − x2 )x_ 6 dt → min, x(0) = 0, x(1) = 1. ”ã­ªæ¨ïI√t 7→ bx(t) = t ¤®¯ãá⨬ , ®­ ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭 (â. ¥. ¯à¨­ ¤«¥¨â W11 (I )) ¨ ¢ í⮬¯à®áâà ­á⢥ ¤®á⨣ ¥â £«®¡ «ì­®£® ¬¨­¨¬ã¬ .

® ¢ ¯à®áâà ­á⢥ W∞1 (I ) ä㭪権, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ , ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樮­ « ¯®«®¨â¥«¥­. „®ª § ⥫ìá⢮®¯¨à ¥âáï ­ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã.0<α<β<11 ([α, β ℄) | t1/2 /4 ≤ x(t) ≤ t1/2 /2 ∀t ∈ [α, β ℄, x(α) = α1/2 /4, x(β ) = β 1/2 /2}.W = {x(·) ∈ W∞¥á«¨ ¨­â¥£à ­â ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ ­¥¯à¥-à뢥­ ¨ ª¢ §¨à¥£ã«ï७ ¨ § ¤ ç à áᬠâਢ ¥âáï ¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¬ ®£à ­¨ç¥­¨¨ ­ ¯à®¨§¢®¤­ãî, â® ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¤®¯ãá⨬ ï ªà¨¢ ï, áãé¥áâ¢ã¥â¨ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨.‹¥¬¬ .DZãáâ쨒®£¤ ( ( )) =I x ·Zβα(t − x2 (t))2 x_ 6 (t)dt > c0 > 0.„¥©á⢨⥫쭮, ¢ ᨫã ⮣®, çâ® x2 (t)/t ≤ 1/4(i), ¯®«ãç ¥¬:( ()I x · , α, β‡ ¤ ç Rβα) :=Zβα(t − x2 (t))2 x_ 6 (t)dt =t2 x6 t dt →_ ()Zβαt2(i)(1 − x2 (t)/t)x_ (t)dt ≥ 9/16Zβt2 x6 t dt._ ()(ii)αmin, x(α) = α1/2 /4, x(β) = β1/2 /2 «¥£ª® à¥è ­âáï, ¨ ®â¢¥â ¢ ­¥©3α/β )1/2 )635(3/5)5 (1/2)6 β β(13 (1−−1/(2(α/β>53/5) )5 5 212 .‹¥¬¬ ¤®ª § ­ .Žáâ «ì­®¥ ¯à®áâ®.

…᫨x(·) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ , ⮣¤ , ¥á«¨ t ¬¥­ì襭¥ª®â®à®£®δ1 , â® x(t) < t1/2 /4, o < t < δ1 , ¥á«¨ 1 − δ2 < t ≤ 1 (¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ δ2 ), ⮣¤ x(t) > t1/2 /2. ‡­ ç¨â, áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ α ¨ β , ª ª ¢ «¥¬¬¥, ¨ ⮣¤ J4 (x(·)) ≥ I (x(·), α, β ) >c0 , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Œ¥â®¤ ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï §¤¥áì ª 楫¨ ­¥ ¯à¨¢®¤¨â. ¥ ¨áª«î祭®, çâ® á¨âã æ¨ï ¯à¨¬¥à ‹ ¢à¥­â쥢 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ ­¥ª®¥¬ \®¡é¥¬ ¯®«®¥­¨¨". ® ¬®¥â «¨ ®­ ¢áâà¥â¨âìáï ¢ ॠ«ì­® ¨­â¥à¥á­ëå § ¤ ç å? ˆ çâ® ¤¥« âì, ¥á«¨ ®â¢¥â ®ª ¥âáï ã⢥न⥫ì­ë¬?  í⨠¢®¯à®áë ¯®ª ­¥â ¢à §ã¬¨â¥«ì­®£® ®â¢¥â .3. ‘“™…‘’‚Ž‚€ˆ… …˜…ˆ‰39DZ®¤¢¥¤ñ¬ ­¥ª®â®àë¥ ¨â®£¨. –¥«ìî ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢ ਠ樮­­®© § ¤ ç¨ ï¢«ï¥âáï ¥ñ à¥è¥­¨¥.

‚ ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ª ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ ¤®¯ãá⨬ á«¥¤ãîé ï ¯à®æ¥¤ãà . …᫨ ä㭪樮­ « ­¥ ª¢ §¨à¥£ã«ï७, ¥£®¢®§¬®­® à áè¨à¨âì ¤® ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®£®. …᫨ ¯à¨ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®á⨠¨¬¥¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®áâì á­¨§ã ¨ ãá«®¢¨¥ à®áâ , â® ¯® ⥮६¥ ’®­¥««¨ à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â. …᫨ ¥ ãá«®¢¨ï à®áâ ¨«¨ ®£à ­¨ç¥­­®áâ¨á­¨§ã ®âáãâáâ¢ãîâ ¨«¨ § âà㤭¨â¥«ì­ë ¤«ï ¯à®¢¥àª¨, ¢®§¬®­® ¯à¨¬¥­¨âì ¬¥â®¤ë ¯à¨­ã¤¨â¥«ì­®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï. —¨â â¥«î ¯à¥¤®áâ ¢«ï¥âá§¬®­®áâì ¯à¨¬¥­¨âì íâã ¨¤¥®«®£¨î ª® ¢á¥¬ à áᬮâ७­ë¬ ¯à¨¬¥à ¬ ¨ ª £ ମ­¨ç¥áª®¬ã ®á樫«ïâ®àã á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ­ ¯à®¨§¢®¤­ãî.404.‚ë¯ãª« ï ¤¢®©á⢥­­®áâì, ¢ë¯ãª«®¥¨áç¨á«¥­¨¥ ¨ ¨å ¯p¨«®¥­¨ï4.1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ë¯ãª«ëå ®¡ê¥ªâ®¢DZãáâì X | ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

‚ë¯ãª«ë¥ ¬­®¥á⢠¢ X | íâ®â ª¨¥ ¬­®¥á⢠, ª®â®àë¥ ¢¬¥áâ¥ á «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ ᮤ¥p ⢥áì ®âp¥§®ª, ᮥ¤¨­ïî騩 í⨠â®çª¨. ‘®¢®ªã¯­®áâì ¢á¥å ¢ë¯ãª«ë嬭®¥á⢠®¡®§­ 稬 Co(X ).‚ë¯ãª«ë¥ ä㭪樨 | íâ® ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ä㭪樨 f ­ X á® §­ 祭¨ï¬¨ ¢ p áè¨p¥­­®© ¢¥é¥á⢥­­®© ¯pאַ© IR = IR ∪ {±∞}, ®¡« ¤ î騥⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¨x ­ ¤£p 䨪 epif = {(x, α) | α ≥ f (x)} ï¥âáï¢ë¯ãª«ë¬ ¬­®¥á⢮¬ (â.

¥. ¯p¨­ ¤«¥¨â Co(X × IR)). ‘®¢®ªã¯­®áâì¢ë¯ãª«ëå ä㭪権 ®¡®§­ 稬 Cof (X ).’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ ¤¢ ®á­®¢­ëå ª« áá ¢ë¯ãª«ëå ®¡ê¥ªâ®¢ | ¬­®¥á⢠¨ ä㭪樨.‚ë¯ãª«ë¥ § ¤ ç¨ | íâ® § ¤ ç¨ ­ ¬¨­¨¬ã¬ ¢ë¯ãª«®© ä㭪樨 ­ ¢ë¯ãª«®¬ ¬­®¥á⢥.DZãáâì ⥯¥àì X | «®ª «ì­® ¢ë¯ãª«®¥ ¢¥ªâ®p­®¥ ¯p®áâp ­á⢮(«¢¯), X ∗ | ᮯàïñ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. —¥à¥§ hx∗ , xi ®¡®§­ 稬 ¤¥©á⢨¥ «¨­¥©­®£® ä㭪樮­ « x∗ ∈ X ∗ ­ í«¥¬¥­â x ∈ X .

‘®¢®ªã¯­®áâì¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå § ¬ª­ãâëå ¬­®¥á⢠(ä㭪権) ¢ X ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âìClCo(X ) (ClCof (X )). (”ã­ªæ¨ï f ­ §ë¢ ¥âáï § ¬ª­ã⮩, ¥á«¨ ¥ñ ­ ¤£à 䨪 § ¬ª­ãâ.) ‡ ¬ª­ãâ®áâì ¢ X ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ ⮯®«®£¨¨ σ(X, X ∗ )| á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ ¢ X , ¯®à®¤ñ­­®© ®âªàëâ묨 ¯®«ã¯à®áâà ­á⢠¬¨ {x ∈ X | hx∗ , xi > 0, x∗ ∈ X ∗ }, § ¬ª­ãâ®áâì ¢ X ∗ | ¢ ⮯®«®£¨¨σ (X ∗ , X ) (¨«¨ ¢ «î¡®© ⮯®«®£¨¨, ᮣ« ᮢ ­­®© á ¤¢®©á⢥­­®áâìî ¬¥¤ã X ¨ X ∗ ).Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢ ®¯¥à â®à , ¤¥©áâ¢ãîé¨å ­ ᮢ®ªã¯­®á⨠¢ë¯ãªª«ëå ä㭪権.DZãáâì f | ­¥ª®â®à ï äã­ªæ¨ï ­ X .

”ã­ªæ¨ïf ∗ (x∗ ) =sup {hx∗ , xi − f (x)}x∈X­ §ë¢ ¥âáï ᮯàïñ­­®© ä㭪樥© ª f (íâ äã­ªæ¨ï ï¥âáï § ¬ª­ã⮩); äã­ªæ¨ï f ∗∗ (x∗ ) = supx∈X {hx∗ , xi − f ∗(x∗ )} ­a§ë¢ ¥âáï ¢â®à®©b ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¥á®¯àïñ­­®© ª f ; 㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ f ¢ â®çª¥ x∗∗∗á⢮ ∂f (xb) = {x ∈ X | f (x) − f (xb) ≥ hx , x − xbi} (á㡤¨ää¥à¥­æ¨ « |§ ¬ª­ã⮥ ¬­®¥á⢮ ¢ X ∗ ).414. ‚›DZ“Š‹€Ÿ „‚Ž‰‘’‚…Ž‘’œ ˆ ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ…4.2.„¢®©á⢥­­®áâì ¢ë¯ãª«ëå ä㭪権‚¥à¥­ á«¥¤ãî騩 ®¡é¨© ¯à¨­æ¨¯ ¤¢®©á⢥­­®á⨠¢ ¢ë¯ãª«®¬ ­ «¨§¥: ¢ë¯ãª«ë¥ (§ ¬ª­ãâë¥) ®¡ê¥ªâë ¨¬¥îâ ¤¢®©­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¢ ®á­®¢­®¬ ¨ ¤¢®©á⢥­­®¬ ¯à®áâà ­á⢠å.  ¯à¨¬¥à, ¢ë¯ãª« ï § ¬ª­ãâ ïäã­ªæ¨ï, ¯®¬¨¬® ⮯®«®£®-£¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® ®¯¨á ­¨ï (íâ® äã­ªæ¨ï ᧠¬ª­ãâë¬ ­ ¤£à 䨪®¬ «î¡ ï å®à¤ £à 䨪 ª ª®â®à®© «¥¨â ¢ëè¥í⮣® £à 䨪 ) ¨¬¥¥â ¤¢®©á⢥­­®¥ ®¯¨á ­¨¥ | íâ® ¢¥àå­ïï £à ­ì ä䨭­ëå ä㭪権 ¥ñ ­¥ ¯à¥¢®á室ïé¨å. â® ã⢥थ­¨¥ à ¢­®á¨«ì­®á«¥¤ãî饩 ⥮६¥:(”¥­å¥«ï { Œ®à®).∈ ClCof (X ).’¥®à¥¬ f ⇔ fDZãáâìf:X →IR ∪ {+∞}.’®£¤ f ∗∗=„¢®©á⢥­­®áâì ¢ë¯ãª«ëå ®¡ê¥ªâ®¢ ®á­®¢ë¢ ¥âáï ­ á«¥¤ãî饬 १ã«ìâ â¥:’¥®à¥¬ ® áâண®© ®â¤¥«¨¬®áâ¨.DZãáâìA.

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « x∗∗∗x∈A hx , xi ( sA x ).sup=( )X «¢¯, A ∈ ClCo(X ) ¨ a ∈/∗∗∈ X â ª®©, çâ® hx , ai >ƒ¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ­ ©¤ñâáï â ª ï £¨¯¥à¯«®áª®áâì H (â. e.¬­®¥á⢮ ã஢­ï «¨­¥©­®£® ä㭪樮­ « ), çâ® A ᮤ¥à¨âáï ¢ ®¤­®¬¨§ ¯®«ã¯à®áâà ­áâ¢, ¯®à®¤ñ­­ëå í⮩ £¨¯¥à¯«®áª®áâìî, a ï¥âáãâ७­¥© â®çª®© ¤à㣮£® ¯®«ã¯à®áâà ­á⢠.

Характеристики

Список файлов лекций