В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . ≤ τN < t1 , vi ∈ U ,b(·). DZ®«®¨¬τi ¡¥àãâáï ¢® ¬­®¥á⢥ T â®ç¥ª ­¥¯à¥à뢭®á⨠u„®ª § ⥫ìá⢮.uα (t; N ) =(SMb(t), t ∈ [t0 , t1 ℄ \uvi , t ∈ i ,=1 i ,i),£¤¥ ¥á«¨ τi−1 < τi < τi+1 , â® i = [τi − αi , τi ℄, ¥á«¨ τi−1 < τi = τi+1 =. . . = τi+k < τi+k+1 , â® i+j = [τi−1 + j τi −τki−1 − αi+j , τi−1 + j τi −τki−1 ℄, 1 ≤j ≤ k (¥ª®â®àë¥ â®çª¨ τi ¬®£ãâ ᮢ¯ ¤ âì, ®¤­ ª®, ¨­â¥à¢ «ë i ,P¤«¨­ë ª®â®àëå à ¢­ë αi ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï ¨ ¯à¨ ¬ «®¬ |α | = Ni−1alphai «¥ â ¢ T .)DZãáâì xα (·; N ) à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨: x_ = ϕ(t, x, uα (t; N )), x(t0 ) =x0 .2) „¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ g0 (·; N ) ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®©.ˆ§ ­ è¨å ¯p¥¤¯®«®¥­¨©, â¥®à¥¬ë ® á㯥௮§¨æ¨¨, «®ª «ì­®© ⥮६ë áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠¨ ⥮६ o ­¥¯à¥à뢭®© ¨¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥­¨© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© ®â ¯ à ¬¥â஢ ¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ¬ «ëå |α |à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¯p¨ í⮬ äã­ªæ¨ï g0 (α; N ) =J (xα (·; N ), uα (·; N )) ¨ ®â®¡p ¥­¨¥ G(α; N ) = xα (t1 ; N ) − x1 ¤¨ää¥p¥­æ¨pã¥¬ë ­ IRN+ .3) DZ®áâ ­®¢ª íªáâ६ «ì­®© § ¤ ç¨. áᬮâp¨¬ á«¥¤ãîéãî § ¤ çã á ®£p ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ p ¢¥­á⢠¨­¥p ¢¥­áâ¢:1Ng0 (α; N ) → min, G(α; N ) = 0, α ≥ 0, G = (g1 , .

. . , gn ).®â needle | ¨£®«ª (PN )20‡ ¢¥p襭¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¡ §¨pã¥âáï ­ ¤¢ãå ã⢥थ­¨ïå | ⥮६¥ 3′ ¨ «¥¬¬¥ ® 業âà¨à®¢ ­­®© á¨á⥬¥.’¥®à¥¬ 3′ (¯p ¢¨«® ¬­®¨â¥«¥© ‹ £p ­ ¤«ï ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ ­¥à ¢¥­áâ¢) DZãáâì ä㭪樨: IRn+ → IR, 0 ≤ i ≤ n ­¥¯p¥pë¢­ë ¢ ®ªp¥áâ­®á⨠­ã«ï ¨ ¤¨ää¥p¥­æ¨pã¥¬ë ¢ ­ã«¥ ¢ á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥: gi (α) = ai · α + ri (α) ∀α ∈ IRN+ ,£¤¥ ai ∈ (IRN )′ , a ri (α) = o(α) (¢¥ªâ®p ai ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì gi′ (+0)).’®£¤ , ¥á«¨ ­ã«ì ï¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ § ¤ ç¨ g0 (α) →min, gi (α) = 0, 1 ≤ i ≤ s, αPi ≥ 0, â® ­ ©¤¥âáï ®â«¨ç­ë© ®â ­ã«ï ¢¥ªâ®pλ = (λ0 , . . .

, λs ) â ª®©, çâ® si=0 λi gi′ (+0) ≥ 0.âã ⥮६㠮áâ ¢¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠(®­ ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª¥,ª ª ¨ ⥮६ 3.)4) DZਬ¥­¥­¨¥ «¥¬¬ë ® 業âà¨à®¢ ­­®© á¨á⥬¥.‚Pᨫã ⥮६ë 3′ ¬­®¥á⢮¢¥ªâ®p®¢ (λ0N , λN ) ∈ (IRn+1 )′ â ª¨å,Pnn2çâ® i=0 λi (N ) = 1 ¨ ¯p¨ í⮬ i=0 λi (N )gi′ (+0; N ) ≥ 0 ®¡p §ã¥â ­¥¯ãá⮥ (¨ ®ç¥¢¨¤­® § ¬ª­ã⮥) ¯®¤¬­®¥á⢮ Sn .

ˆ íâ® ¥ ª á ¥âáï ¯¥p¥á¥ç¥­¨ï «î¡®£® ç¨á« ¯ ª¥â®¢ ¨£®«ìç âëå ¢ p¨ 権. ‚ ᨫ㠫¥¬¬ë ®æ¥­âp¨p®¢ ­­®© á¨á⥬¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­ë© ®â«¨ç­ë©®â ­ã«ï ¢¥ªâ®pPn b ′bbb¬­®¨â¥«¥© ‹ £p ­ λ = (λ0 , . . . , λn ) â ª®©, çâ® i=1 λi gi (+0; τ, v)) ≥dgi (·, N (τ, v )) |α=0 | ¯à®¨§¢®¤0 ∀τ ∈ T, v ∈ U (v) (£¤¥ gi′ (+0; τ, v)) = dα­ ï ¯® α ®¤­®© ¨£®«ª¨ (τ, v).â® ®§­ ç ¥â, çâ®gib 0 (τ v fλ+Zτt1fbx (t) · y (t; τ, v )dt) +nX=1ib i · yi (t1 ; τ, v ) ≥ 0,λ(vi)£¤¥ y (t1 ; τ, v) | à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ¢ ¢ ਠæ¨ïå, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¨£®«ª¥ (τ, v) (â. ¥. à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ y_ = ϕbv (t)y, y (τ ) = τ v ϕ), yi (t1 ; τ, v ) = gi′ (+0, τ.v ).5) ‡ ¢¥à襭¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠. DZãáâì pb(·) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®¬ã ãà ¢­¥­¨îb 0 fbx (t)bx (t) + λp_ = −pϕ(vii)á ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬ p(t1 ) = λb (¨­ ç¥ £®¢®àï, ¯ãáâì p(·) 㤮¢«¥â¢®àï¥âãà ¢­¥­¨î (1)).

‚ á«ãç ¥, ª®£¤ λb0 = 1, ¯®¤áâ ¢¨¢ ¢ (vi) ¢ëp ¥­¨¥¤«ï fbx(t) ¨§ (vii), ¨ ¯p®¨­â¥£p¨p®¢ ¢ ¯® ç áâï¬,¯®«ã稬, çâ® τ v f −R t1 dbp(τ ) · τ v ϕ ≥ 0. DZp¨ λ0 = 0 ¨§ p ¢¥­á⢠τ dt (py ) = 0 ¢ á®ç¥â ­¨¨ á(vi) ¯®«ãç ¥¬, çâ® −p(τ ) · τ v ϕ ≥ 0. ’¥®à¥¬ 5 ¤®ª § ­ .⊓⊔212. “‘‹Ž‚ˆŸ ‚’ŽŽƒŽ DZŽŸ„Š€’¥®à¥¬ 5 ¡ë« ¤®ª § ­ ã祭¨ª®¬DZ®­âà­ ‚. ƒ.

®«âï­áª¨¬ ¢ 1960 £®¤ã.DZp¨¬¥pã 5 | £ p¬®­¨ç¥áª®¬ã ®á樫«ïâ®pã á ®£p ­¨ç¥­¨¥¬ ­ ¯p®¨§¢®¤­ãî | ¬ë 㤥«¨¬ ®â¤¥«ì­®¥ ¬¥áâ®.ˆáâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¬¥­â ਩.2.“á«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 2.1.‡ ¤ ç¨ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©‘­®¢ à áᬮâਬ § ¤ çã ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©:f (x) → min(IRn ).(P1 )DZãáâì V ∈ O(xb, IRn ) ¨ f : V → IR. Œë ᪠¥¬, çâ® f ∈ D2 (xb),¥á«¨ f ∈ D1 (xb) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï ¬ âà¨æ A à §¬¥à®¢ n × nâ ª ï, çâ® f (xb + x) = f (xb) + f ′ (xb) · x + 12 xT · Ax + o(|x|2 ). âã ¬ âp¨æã¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ᨬ¢®«®¬ f ′′ (xb).…᫨ xT · Ax ≥ 0 ∀x ∈ IRn (> 0 ∀x ∈ IRn \ {0}) ¬ë ¯¨è¥¬ A ≥ 0 (A >0).

ˆ¬¥¥â ¬¥á⮒¥®à¥¬ 1′(­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¢ § ¤ ç¥ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©). a) DZãáâì V ∈ O(xb, IRn ), f : V → IR,b) ¨ xb ∈ locmin(P1 ), ⮣¤ f ∈ D2 (xb)…᫨b) = 0f ′ (xb), f ′ (xb) = 0f ∈ D2 (x¨¨b) ≥ 0.f (x(1a)′′b) > 0,f (x′′⮣¤ b ∈ locmin(P1 ).xa)  ¢¥­á⢮ f ′(xb) =′′ 0 á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 1. …᫨áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x 6= 0 â ª®©, çâ® xT ·f (xb)x < 0 ⮣¤ (¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï⮣®, çâ®f ∈ D2 (xb)) á«¥¤ã¥â, çâ® äã­ªæ¨ï α 7→ g(α) = f (xb + αx) ­¥ ¨¬¥¥â«®ª «ì­®£® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ­ã«¥, ¨ §­ ç¨â, â®çª xb ­¥ ï¥âáï «®ª «ì­ë¬¬¨­¨¬ã¬®¬ (P1 ).⊓⊔′′b) > 0, ⮣¤ ­ ©¤ñâáï ç¨á«® ε > 0 â ª®¥, çâ® xT ·b)…᫨f (x′′ 2 ∀x ∈ IRn .

® ⮣¤ ¤«ï ç¨á« δ > 0 â ª®£®, çâ® o(|x|2 ) ≤b)≥ε|x|f (xεε222 |x| ¯®«ã稬, çâ® f (xb + x) ≥ f (xb) + 2 |x| ¤«ï |x| ≤ δ. ‡­ ç¨â, xb |«®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬.⊓⊔„®ª § ⥫ìá⢮.222.2.¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï.DZà®á⥩è ï § ¤ ç ¡ë« ¯®áâ ¢«¥­ ¢ ¯¥à¢®¬ ¯ à £à ä¥, ¨ â ¬ ¥ ¡ë«® ¢ë¢¥¤¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ á« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ ¤«ï ­¥ñ | ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à . “à ¢­¥­¨¥ ©«¥à ­ §ë¢ îâ \ãá«®¢¨¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ", ¨¡® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì «¨èì ¯¥à¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ä㭪樮­ « . DZਢ¥¤ñ¬ ⥯¥àì ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 .2′ (­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥; ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï á« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ ). a) DZãáâì ¯à®á⥩襩’¥®à¥¬ § ¤ ç¥J (x(·)) =¨­â¥£à ­âLZt1t0L(t, x(t), x_ (t))dt → min, x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1: IR3→IR| ¤¢ ¤ë ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ïäã­ªæ¨ï ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠£à 䨪 ä㭪樨b(t), ux=¢ § ¤ ç¥(P2 )C 2 ([t0 , t1 ℄)b_ (t))}.xb(·) ∈…᫨ x(P2 ), â® ¢ë¯®«­ïîâáï:{(t, x, u) | t ∈ [t0 , t1 ℄, x=¤®áâ ¢«ï¥â á« ¡ë© ¬¨­¨¬ã¬(1) ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à :−(2) ãá«®¢¨¥ ‹¥ ­¤à :d bb x (t) = 0;Lx_ (t) + Ldtb x_ x_ (t) ≥ 0 ∀t ∈ [t0 , t1 ℄;A(t) = L(3) ãá«®¢¨¥ Ÿª®¡¨: ¥á«¨­®¥ ãá«®¢¨¥ ‹¥ ­¤à A(t) ∈ C 1 ([t0 ; t1 ℄) ¨ ¯à¨ í⮬ ¢ë¯®«­¥­® ãᨫ¥­A(t) > 0, â® ­ (t0 ; t1 ) ­¥ ¤®«­® ¡ëâì â®ç¥ª,t0 (â.

¥. ­ã«¥© à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ãà ¢­¥­¨ï Ÿª®d− dt(A(t)h_ ) + B (t)h = 0, £¤¥ B (t) = Lb xx(t) − dtd Lb xx_ (t)) á £à ­¨ç­ë¬¨_¤ ­­ë¬¨ h(t0 ) = 0, h(t0 ) = 1).…᫨ x(·) ¤®áâ ¢«ï¥â ᨫì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ¢ § ¤ ç¥ (P2 ), ⮣¤ ¯®¬¨á®¯p省­ëå ᡨ¬® ãá«®¢¨© ©«¥à , ‹¥ ­¤à ¨ Ÿª®¡¨ ¤®«­® ¢ë¯®«­ïâìáï ¥éñ(4)) ãá«®¢¨¥ ‚¥©¥àèâà áá :£¤¥b(t), xb_ (t), u ≥ 0,E t, x∀u ∈ IR, t ∈ [t0 ; t1 ℄,E (t, x, x,_ u) = L(t, x, u) − L(t, x, x_ ) − Lx_ (t)(u − x_ ).232. “‘‹Ž‚ˆŸ ‚’ŽŽƒŽ DZŽŸ„Š€b(·) 㤮¢«¥â¢®pï¥âb) …᫨ äã­ªæ¨ï xãp ¢­¥­¨î ©«¥p , ãᨫ¥­­®¬ããá«®¢¨î ‹¥ ­¤p ¨ ãᨫ¥­­®¬ã ãá«®¢¨î Ÿª®¡¨ (á®áâ®ï饬㠢 ⮬,ç⮠ᮯp省­ëå át0â®ç¥ª ­¥â ­ ¯®«ã¨­â¥p¢ «¥áâ ¢«ï¥â á« ¡ë© ¬¨­¨¬ã¬ § ¤ ç¥(P2 ).(t0 , t1 ℄, â® ®­ ¤®-„®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ¯à¨¢®¤¨âáï ¤ «¥¥. ç­ñ¬ á ãá«®¢¨© ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ . DZ®ª ¥¬, çâ® ®­¨ ïîâáï ¯àï¬ë¬¨ á«¥¤á⢨ﬨ ¯à¨­æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ .¥¤ãæ¨à㥬 ¯à®á⥩èãî § ¤ çã ª § ¤ ç¥ ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï:„®ª § ⥫ìá⢮.

a)Zt1t0L(t, x, u) dt → min,x_ = u (∈ IR),x(t0 ) = x0 ,x(t1 ) = x1 .(P2′ )Ž¯â¨¬ «ì­ë© ¯à®æ¥áá ¢ í⮩ § ¤ ç¥ | íâ® â® ¥ á ¬®¥, ç⮠ᨫì­ë©¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ (P2 ). DZਬ¥­ï¥¬ ª í⮩ § ¤ ç¥ ¯à¨­æ¨¯¬ ªá¨¬ã¬ DZ®­âà­ . ”ã­ªæ¨ï ‹ £à ­ §¤¥áì ¨¬¥¥â ¢¨¤:L(x(·), u(·), p(·))=Zt1t0(L (t, x(t), u(t)) + p(t)(x_ (t) − u(t)) dt.’®£¤ , ¥á«¨ (xb(·), xb_ (·)) | ®¯â¨¬ «ì­ë© ¯à®æ¥áá ¢ (P2′ ), â® ¤®«­ë 㤮¢«¥â¢®àïâìáï ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à ¨ ãá«®¢¨¥ ¬¨­¨¬ã¬ :b x (t) = 0, (i)−p_ (t) + Lb (t) − p(t)xb(t), u) − p(t)u ≥ Lb_ (t) (ii).L(t, x“á«®¢¨¥ (ii) ®§­ ç ¥â, çâ® äã­ªæ¨ï u → l(u) = L(t, x_ (t), u) − p(t)u ¤®á⨣ ¥â ¬¨­¨¬ã¬ ¯p¨ u = xb_ (t).

„¨ää¥à¥­æ¨àãï l ¯® u, ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¢à ¢¥­á⢮ l′ (u) = 0 §­ 祭¨¥ u = xb_ (t), ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ p(t) = Lb x_ (t),¨§ ª®â®à®£® ᮢ¬¥áâ­® á (i), ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢­¥­¨î ©«¥à (®­®, ¢¯p®ç¥¬, 㥠¡ë«® ¯®«ã祭® ­ ¬¨). „¨ää¥à¥­æ¨àãï l ¢â®à®© à §, ¯®«ãç ¥¬­¥à ¢¥­á⢮ Lb x_ (t) = A(t) ≥ 0 (íâ® ãá«®¢¨¥ ¬¨­¨¬ã¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 ¢ â®çª¥ xb_ (t) ä㭪樨 u 7→ l(u)). Œë ¢ë¢¥«¨ ãá«®¢¨¥ ‹¥ ­¤à , ª ªãá«®¢¨¥ ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ . ‘ ¬® ¥ ­¥à ¢¥­á⢮ (ii) à ¢­®á¨«ì­® ­¥à ¢¥­áâ¢ã E (t, xb(t), xb(t), u) ≥ 0, u ∈ IRn , ¨ íâ® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤®ª § ­ ­¥®¡å®¤¨¬®áâì ¤«ï ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ãá«®¢¨ï ‚¥©¥àèâà áá . ¬ ®áâ «®áì ¤®ª § âì ãá«®¢¨ï ‹¥ ­¤à ¨ Ÿª®¡¨, ª ª ãá«®¢¨ïá« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ .

‚믨襬 ¢ëà ¥­¨¥ ¤«ï ¢â®à®© ¢ ਠ樨.DZãáâì x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ℄), x(t0 ) = x(t1 ) = 0. Ž¡®§­ ç ï g(α) =b(·) + αx(·)), ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ¤¢ ¤ë ¯® α, ¯®« £ ï α = 0gx(·) (α) = J (x24¨ ¯®«ì§ãïáì ⥬, çâ® gx′ (·) (0) = 0, ¯®«ãç ¥¬t122( ) (0) =: K(x(·)) = t0 (Lb x_ x_ (t)x_ (t)+2Lb xx_ (t)x_ (t)x(t)+ Lb xx (t)x (t)) dt ≥ 0,(iii)¨¡® xb(·) { «®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 α 7→ gx(·) (α) (çâ® á«¥¤ã¥â ¨§â®£®, çâ® xb(·) | á« ¡ë© «®ª «ì­ë© ¬¨­¨¬ã¬ (P2 )). (”㭪樮­ « x(·) 7→K ­ §ë¢ îâ ¢â®p®© ¢ p¨ 樥© ä㭪樮­ « J .)ˆâ ª, ¤®ª § ­®, çâ® ¥á«¨ xb(·) | á« ¡ë© ¬¨­¨¬ã¬ ¢ § ¤ ç¥ (P2 ), â®â®¤¥á⢥­­ë© ­ã«ì ï¥âáï ¡á®«îâ­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ ¢ § ¤ ç¥K(x(·)) → min, x(t0 ) = x(t1 ) = 0 (x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ℄).(iii′ )Zgx′′ ·ˆ­â¥£à¨àãï á।­¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (iii) ¯® ç áâï¬, ¯®«ãç ¥¬ (ä㭪樨¨ B (·) ®¯à¥¤¥«¥­ë ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ⥮६ë), çâ® ¢ § ¤ ç¥A(·)K(x(·))=Zt1t0A(t)x_ 2 (t) + B (t)x2 (t) dt → min,x(t0 ) = x(t1 ) = 0(iv)¤®á⨣ ¥âáï ¡á®«îâ­ë© ¬¨­¨¬ã¬ ¢ â®çª¥ x(t) ≡ 0.DZਬ¥­ïï ¯à¨­æ¨¯ ¬ ªá¨¬ã¬ ª í⮩ § ¤ ç¥ ª ª ª § ¤ ç¥ ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï á x_ = u ¨ ®£à ­¨ç¥­¨¥¬ u(t) ∈ IR, ¯à¨å®¤¨¬ ª­¥à ¢¥­áâ¢ã A(t)u2 ≥ 0 ∀u ∈ IR, â.

¥. A(t) ≥ 0. Š § «®áì ¡ë, ¬ë­¥ ¯®«ã稫¨ ­¨ç¥£® ­®¢®£®, ¨¡® ¯à¨¬¥­ï«¨ ãá«®¢¨¥ ᨫ쭮£® ¬¨­¨¬ã¬ ¤«ï ä㭪樮­ « K. ® ­ á ¬®¬ ¤¥«¥ íâ® ­¥ â ª. Œë ¤®ª § «¨, çâ® ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ªãá®ç­® ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨ª¢ ¤à â¨ç­ë© ä㭪樮­ « ­¥®âà¨æ ⥫¥­, â® A(t) ≥ 0. ® ªãá®ç­®­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ãî äã­ªæ¨î ¬®­® çãâì ᣫ ¤¨âì, ç⮡뮭 áâ « ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ᮠ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «ë¬ ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ä㭪樮­ « K (íâ®â ä ªâ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­® ¯à®áâ®;® ­ñ¬ ¬®­® ¯à®ç¨â âì ¢ ª­¨£¥ €«¥ªá¥¥¢, ’¨å®¬¨à®¢, ”®¬¨­).

‡­ ç¨âãá«®¢¨¥ ‹¥ ­¤à ¤®«­® ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­®, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ­¥®âà¨æ ⥫쭮áâì «¨èì ­ äã­ªæ¨ïå ¨§ C 1 ([t0 , t1 ℄). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë¤®ª § «¨ ãá«®¢¨¥ ‹¥ ­¤à , ª ª ãá«®¢¨¥ á« ¡®£® ¬¨­¨¬ã¬ .‘室­ë¬ ®¡à §®¬ ¯®áâ㯨¬ á ãá«®¢¨¥¬ Ÿª®¡¨. Œë ¤®ª ¥¬, ç⮥᫨ ®­® ­ àãè eâáï, â® ª¢ ¤à â¨ç­ë© ä㭪樮­ « ­ ­¥ª®â®à®© ªãá®ç­®-­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ®âà¨æ ⥫¥­. ˆ ­ ¬ ®áâ ­¥âáï «¨èì ᣫ ¤¨âì íâã äã­ªæ¨î.…᫨ ãá«®¢¨¥ Ÿª®¡¨ ­ àãè ¥âáï, íâ® §­ ç¨â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª b (·) | à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï Ÿª®¡¨.τ , t0 < τ < t1 , â ª ï çâ® bh(τ ) = 0, £¤¥ h252. “‘‹Ž‚ˆŸ ‚’ŽŽƒŽ DZŽŸ„Š€’®£¤ , ¨­â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¯®«ãç ¥¬Z τZ τ2___22bbbbbA(t)h (t) + B (t)h (t) dt =A(t)h(t)h(t) + B (t)h (t) dt =t0Zτt0DZ®«®¨¬h(t) =(t0d_bbbh(t) − A(t)h(t) + B (t)h(t) dtdt= 0.b (t), t ∈ [t0 ; τ ℄,h0, t ∈ [τ ; t1 ℄.”ã­ªæ¨ï h(·) | ªãá®ç­®-­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¨ ¤®áâ ¢«ï¥â ¡á®«îâ­ë©, §­ ç¨â, ¨ ᨫì­ë© íªáâ६㬠§ ¤ ç¥ ® ¬¨­¨¬ã¬¥ ª¢ ¤à â¨ç­®£® ä㭪樮­ « .DZਬ¥­¨¬ ª í⮩ § ¤ ç¥ (á ¨­â¥£à ­â®¬ ä㭪樨 ‹ £à ­ L =A(t)u2 + B (t)h2 − p(t)(h_ − u)) ¯à¨­æ¨¯ ‹ £à ­ ¢ ¯à¨«®¥­¨¨ ª ¯ _ॠh(·), h(·) .

Характеристики

Список файлов лекций