В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

’®£¤ ∈ D1 (x’¥®à¥¬ 1V → IR, fb) = 0.f ′ (xDZãáâìb, IRn ), fV ∈ O(x:(1)1. DZãáâì x | ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à ¨§ IRn . DZ®«®¨¬ g(α) = g(α; x) = f (xb + αx) ˆ§ â¥®à¥¬ë ® á㯥௮§¨æ¨¨ á«¥¤ã¥â, çâ®b) · x. 2. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1 á«¥¤ã¥â, çâ® g ¨¬¥g ∈ D1 (0) ¨ g′ (0) = f ′ (x¥â «®ª «ì­ë© íªáâ६㬠¢ ­ã«¥.

’®£¤ ¨§ â¥®à¥¬ë ”¥à¬ ¤«ï ®¤­®£®¯¥à¥¬¥­­®£® ¯®«ãç ¥¬, ç⮄®ª § ⥫ìá⢮.0 = g′ (0; x) = f ′(xb) · x.‚¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠x ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® f ′(xb) = 0.⊓⊔8DZਬ¥à 1.DZãáâì A = (aij )1≤i,j≤n | ᨬ¬¥âp¨ç­ ï (â. ¥. aij = aji¯®«®¨â¥«ì­® ®¯p¥¤¥«¥­­ ï (â. ¥. xT Ax > 0 ∀x 6= 0) ¬ âp¨æ , b ∈(IRn )′ , c ∈ IR. ‚ § ¤ ç¥ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨© f (x) = xT · Ax + 2b · x + c → mináâ 樮­ à­ ï â®çª ®¤­ : xb = −A−1 b. O­ ¤®áâ ¢«ï¥â ¡á®«îâ­ë©¬¨­¨¬ã¬, à ¢­ë© −A−1 b + c.1.2.©«¥à.

DZà®á⥩è ï § ¤ ç ¢ ਠ樮­­®£®¨áç¨á«¥­¨ïDZãáâìL⥣p ­â®¬.= L(t, x, u) | äã­ªæ¨ï âpñå ¯¥p¥¬¥­­ëå, ­ §ë¢ ¥¬ ï‡ ¤ ç J (x(·)) =Zt1t0L(t, x(t), x_ (t))dt → extr, x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .¨­-(P2 )­ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⥩襩 § ¤ 祩 ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï á § ªà¥¯«ñ­­ë¬¨ ª®­æ ¬¨. ‡¤¥áì ¬ë 㯮âॡ¨«¨ « £à ­¥¢ë ®¡®§­ 祭¨ï, ª®£¤ ­¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¯¥à¥¬¥­­®¥ ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§ t, ä §®¢®¥ ¯¥à¥¬¥­­®¥ |ç¥à¥§ x (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â í©«¥p®¢ëå, ª®£¤ ­¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¯¥p¥¬¥­­®¥ | x, § ¢¨á¨¬®¥ | y ; § ¤ ç ® ¡à å¨áâ®åà®­¥ ¢ëè¥ ¡ë« ä®à¬ «¨§®¢ ­ ¢í©«¥à®¢ëå ®¡®§­ 祭¨ïå).‡ ¤ ç ® ¡à å¨áâ®åà®­¥ ¤®áâ ¢«ï¥â ¯p¨¬¥p ¯p®á⥩襩 § ¤ ç¨ ¢ p¨ 樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï á § ªp¥¯«ñ­­ë¬¨ ª®­æ ¬¨.

…ñ ä®à¬ «¨§ æ¨ï ¢« £à ­¥¢ëå ®¡®§­ 祭¨ïå ¢ë£«ï¤¨â â ª:Z t1 √1 + x_ 2√dt → min, x(0) = 0, x(t1 ) = x1 .x0‡ ¤ çã (P2 ) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C 1 ([t0 , t1 ℄) ­¥¯à¥à뢭o-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 ­ [t0 , t1 ℄ á ­®à¬®©kx(·)kC 1 ([t0 ,t1 ℄)= max |x_ (t)| + max |x(t)|.t∈[t0 ,t1 ℄t∈[t0 ,t1 ℄”ã­ªæ¨ï x(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ℄) ¤®¯ãá⨬ ¢ (P2 ), ¥á«¨ ®­ 㤮¢«¥â¢®àï¥â£à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬.‹®ª «ì­ë© íªáâ६㬠¢ ¯à®áâà ­á⢥ C 1 ([t0 , t1 ℄) ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡ë¬«®ª «ì­ë¬ íªáâ६㬮¬, ¨«¨ ¯®¤à®¡­¥¥:b(·) ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡ë¬Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. „®¯ãá⨬ ï ¢ (P2 ) äã­ªæ¨ï xíªáâ६㬮¬, ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ε > 0 ¨ «î¡®© ¤®¯ãá⨬®© ä㭪樨x(·) â ª®©, çâ®b(·)kC 1 ([t0 ,t1 ℄) < ε,kx(·) − x91.

…Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮: J (x(·)) ≥b(·)) ¢ á«ãç ¥ ¬ ªá¨¬ã¬ .J (x(·)) ≤ J (xb(·))J (x¢ á«ãç ¥ ¬¨­¨¬ã¬ ¨ ¯®¬¨­ ­¨¥. ‚ ­ «¨§¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª®© १ã«ìâ â ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¨ ¨­â¥£à « , § ¢¨áï饣® ®â ¯ à ¬¥âà : ¯ãáâì xb(·) ∈b(t), a ≤C ([a, b℄), V | ®ªà¥áâ­®áâì ¬­®¥á⢠{(t, x, α)|a ≤ t ≤ b, x = xt ≤ b}, α ∈ [−δ, δ℄ ⊂ IR3 ¨ F : V → IR, ¯à¨çñ¬ RF ­¥¯à¥à뢭®bb(t), α)dt¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ¢ V .

’®£¤ äã­ªæ¨ï α 7→ a F (t, xRb′b(t), 0)dt.¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ ­ã«¥ ¨ g (0) = a Fx (t, x(ãp ¢­¥­¨¥ ©«¥p ). DZãáâì äã­ªæ¨ï xb(·) ¤®¯ãá⨬ ¢ § b(t), xb_ (t)) |¤ ç¥ (P2 ), L, Lx , Lx_ , ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠ªà¨¢®© {(t, xb(·) ï¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ ¢ § ¤ t ∈ [t0 , t1 ℄}. ’®£¤ , ¥á«¨ xbç¥ (P2 ), â® äã­ªæ¨ï Lx_ (·) ­¥¯p¥p뢭®-¤¨ää¥p¥­æ¨p㥬 ¨ ¢ë¯®«­¥­®’¥®à¥¬ 2ãp ¢­¥­¨¥ ©«¥p −d bb x (t) = 0.Lx_ (t) + Ldt(2)‚ëè¥ ã¯®âp¥¡«¥­ë ᮪p éñ­­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï: Lb x_ (t) = Lx_ (t, xb(t), xb_ (t)),b x (t) = Lx (t, xb(t), xb_ (t)). €­ «®£¨ç­ë¥ ᮪p 饭¨ï ¯p¨¬¥­ïîâáï ¨ ¤ L«¥¥.¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ©«¥à ­ §ë¢ îâáï íªáâ६ «ï¬¨. ç «ì­ ï ç áâì ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à®å®¤¨â ¯® á奬¥¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1.1. DZãáâì x(·) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­ªæ¨ï ¨§ C 1 ([t0 , t1 ℄), ¨ u(·) | ¯à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 x(·).Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ xα (·) = xb(·) + αx(·R). ”ã­ªæ¨ï xα (·) ¤®¯ãá⨬ ¢§ ¤ ç¥ (P2 ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ tt01 u(t)dt = 0.DZ®«®¨¬„®ª § ⥫ìá⢮.g(α) = g(α; x(·))= J (xb(·) + αx(·)) =Zt1t0b_ (t) + αx_ (t))dt.b(t) + αx(t), xL(t, xˆ§ ⥮६ ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¨ ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « ¨ ¯à®¨§¢®¤­®©á㯥௮§¨æ¨¨ á«¥¤ã¥â, çâ® g ∈ D1 (0) ¨g (0) =′Zt1t0(Lb x (t)x(t) + Lb x_ (t)u(t))dt.2.

ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 2 á«¥¤ã¥â, çâ® g ¨¬¥¥â «®ª «ì­ë© íªáâ६㬠¢­ã«¥. ’®£¤ ¨§ â¥®à¥¬ë ”¥à¬ ¤«ï ®¤­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® ¯®«ãç ¥¬, çâ®100 = g′ (0) = tt01 (Lb x (t)x(t) + Lb x_ (t)u(t))dt, ¥á«¨ tt01 u(t)dt = 0 (i).3. ‡ ¬¥­ïï ⥯¥pì ¢ (i) äã­ªæ¨î Lb x (t) ä㭪樥© p0 (·),R®¯p¥¤¥«ï¥¬®©á®®â­®è¥­¨ï¬¨ p_0 (t) = Lb x (t), p0 (t1 ) = 0 (â. ¥. p0 (t) = tt1 Lb x (τ )dτ ), ¨¨­â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬:RZt1t0R(Lb x_ (t) − p0 (t))u(t)dt=0∀u(·) ∈ C ([t0 , t1 ℄),Zt1t0u(t)dt = 0.(ii)4. DZãáâì c | ç¨á«®, ¢ë¡à ­­®¥ â ª, ç⮡ë tt01 (Lb x_ (t) −p0 (t) −c)dt = 0.DZ®¤áâ ¢«ïï ⥯¥pì ¢ (ii) ¢¬¥áâ® u(·) äã­ªæ¨î Lb x_ (·) − p0 (·) − c, ¯à¨å®¤¨¬ ª à ¢¥­áâ¢ã p0 (t) + c = Lb x_ (·), ¨ íâ® ¯p¨¢®¤¨â ª ᮮ⭮襭¨ï¬ (2),⊓⊔çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Rˆáâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¬¥­â ਩.

‚®¯à®á ® ⮬, ª ª à¥è âì § ¤ ç¨, á室­ë¥ á ¡à å¨áâ®åà®­¨©, ˆ®£ ­­ ¥à­ã««¨ ¯®áâ ¢¨« ᢮¥¬ã ã祭¨ªã ‹¥®­ à¤ã ©«¥àã. DZ¥à¢ë¥ ¢ ਠ­âë ⥮६ë 2 ©«¥à ¯®«ã稫 ¢ 1728 £®¤ã.DZਬ¥à 2.à¥): ©¤ñ¬ íªáâ६ «¨ ¢ § ¤ ç¥ (® £ ମ­¨ç¥áª®¬ ®á樫«ïâ®ZT(x_ 2 (t) − x2 (t))dt → min, x(0) = x(T ) = 0.0“à ¢­¥­¨¥ ©«¥à §¤¥áì x + x = 0.

„®¯ãá⨬묨 íªáâ६ «ï¬¨ ¢ ¤ ­­®© § ¤ ç¥ ï¢«ïîâáï: ⮤¥á⢥­­ë© ­ã«ì, ¥á«¨ T 6= kπ, k ∈ IN ¨t 7→ C sin t, C ∈ IR, ¥á«¨ T = kπ, k ∈ IN. „ «¥¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ­¥®¤­®ªà â­®¢®§¢à é âìáï ª í⮬㠯ਬ¥àã; ¢ ç áâ­®áâ¨, ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ñ­ å à ªâà¥àíªáâ६㬠¢ ­ñ¬.1.3.‹ £à ­. ‡ ¤ ç¨ á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ à ¢¥­áâ¢.Œ®­® ¢ë᪠§ âì á«¥¤ãî騩 ®¡é¨© ¯à¨­æ¨¯. …᫨ ¨é¥âáï ¬ ªá¨¬ã¬ ¨«¨ ¬¨­¨¬ã¬ ­¥ª®â®à®© ä㭪樨 ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬¥¤ã í⨬¨ ¯¥à¥¬¥­­ë¬¨ ¨¬¥¥âáï á¢ï§ì, § ¤ ¢ ¥¬ ï ®¤­¨¬ ¨«¨ ­¥áª®«ìª¨¬¨ ãà ¢­¥­¨ï¬¨, ­ã­® ¯à¨¡ ¢¨âì ª ä㭪樨, ® ª®â®à®© £®¢®à¨«®áì,ä㭪樨, § ¤ î騥 ãà ¢­¥­¨ï á¢ï§¨, 㬭®¥­­ë¥ ­ ­¥®¯à¥¤¥«ñ­­ë¥ ¬­®¨â¥«¨, ¨ ¨áª âì § ⥬ ¬ ªá¨¬ã¬ ¨ ¬¨­¨¬ã¬ ¯®áâ஥­­®© á㬬ë, ª ª ¥á«¨ ¡ë ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ¡ë«¨ ­¥§ ¢¨á¨¬ë.

DZ®«ã祭­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï, ¯à¨á®¥¤¨­ñ­­ë¥ ª ãà ¢­¥­¨ï¬ á¢ï§¨, ¯®á«ã â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢á¥å ­¥¨§¢¥áâ­ëå.†. ‹ £p ­ (1797)111. …Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸDZãáâì‡ ¤ ç V| ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨b ∈xIRn ¨f0 (x) → extr, fi (x) = 0,fi:V →1≤i≤mIR, 0≤ i ≤ m.(P3 )­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨ ⨯ à ¢¥­á⢠(¢ IRn ).‚¥ªâ®à x ¤«ï ª®â®à®£® fi(x) = 0, 1 ≤ i ≤ m ­ §ë¢ ¥âáï ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¢ (P3 ). „®¯ãáâ¨¬ë© ¢¥ªâ®à xb â ª®©, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® ε > 0, ¤«ï ª®â®à®£® f0 (x) ≥ f0 (xb) (f0 (x) ≤ f0 (xb)) ¤«ï ¢á¥å¤®¯ãá⨬ëå ¢¥ªâ®à®¢ x ᮠ᢮©á⢮¬ |x − xb| < ε, ­ §ë¢ ¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ (¬ ªá¨¬ã¬®¬) ¢ § ¤ ç¥ (P3 ).

DZਠí⮬ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âìlomin(P3 ) (lomax(P3 )).Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.P”ã­ªæ¨î L(x, λ) = mi=0 λi fi (x), £¤¥ λ = (λ0 , . . . , λm ) ­ §ë¢ îâ ä㭪樥© ‹ £à ­ (P3 ), ç¨á« λi , 0 ≤ i ≤ m ­ §ë¢ îâáï ¬­®¨â¥«ï¬¨m+1 ′) (λ = (λ0 , . . . , λm )) ¡ã¤¥¬‹ £à ­ § ¤ ç¨ (P3 ). ‚¥ªâ®à λ ∈ (IR­ §ë¢ âì ¢¥ªâ®à®¬ ¬­®¨â¥«¥© ‹ £à ­ .DZp¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ­¥®¡å®¤¨¬®£® ãá«®¢¨ï íªáâp¥¬ã¬ ¢ § ¤ ç¥ (P3 )¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ § ¬¥ç ⥫ì­ãî ⥮p¥¬ã ‹. p ãíp ® ­¥¯®¤¢¨­®© â®çª¥: ¯p¨ ­¥¯p¥p뢭®¬ ®â®¡p ¥­¨¨ n-¬¥p­®£® è p ¢ ᥡï áãé¥áâ¢ã¥â­¥¯®¤¢¨­ ï â®çª .(DZà ¢¨«® ¬­®¨â¥«¥© ‹ £à ­ ).

DZãáâìIR, 0 ≤ i ≤ m ¯à¨­ ¤«¥ â D1 (xb). …᫨’¥®à¥¬ 3fi:V →⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ­ ¡®à ¬­®¨â¥«¥©çâ®b, λ) = 0Lx (xmXb, IRn ),V ∈ O(xb ∈ loextr(P3 ),x‹ £à ­ λ â ª®©,(3)=0‘ãâì í⮣® १ã«ìâ â § ¬¥ç ⥫쭮 ¢ëà §¨« ‹ £à ­ ¢ ¯à¨¢¥¤ñ­­®¬¢ëè¥ í¯¨£à ä¥.„®ª § ⥫ìá⢮.0 ¨ f0 (0) = 0.⇔ib) = 0.λi fi′ (x¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®­® áç¨â âì, çâ® xb =f0 (x)..

n. . ˆ¬¥¥âáï «ìâ¥à­ ⨢ : a) F ′ (0)IR 6=fm (x)IRm+1 ¨ b) F ′ (0)IRn = IRm+1 . ‚ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®àë fi′ (0), 0 ≤ i ≤ n«¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë ¨ §­ ç¨â á¯à ¢¥¤«¨¢® (3).DZ®ª ¥¬, çâ® b) ¢¥¤ñâ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.1. DZãáâì F (x) = 12′2.  ©¤ñ¬ ¢¥ªâ®àë {fi }mi=0 â ª¨¥, çâ® F (0)fi = ei , 0 ≤ i ≤ m (£¤¥m+1{ei }m) ¨ ¯®áâந¬P\¯à ¢®¥ ®¡à â­®¥"P®â®¡à i=0 ­¥ª®â®àë© ¡ §¨á ¢ IRmm+1n¥­¨¥ R : IR→ IR , ¯®«®¨¢ (¤«ï y = mi=0 yi ei )) R(y ) =i=0 yi fi .′’ਢ¨ «ì­® ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® F (0)R(y ) = y ¨ |R(y )| ≤ C|y| ∀y ∈IRm+1 . Žâªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® G(y ) = F (R(y )) = y + ρ(y ), ρ(y ) =o(y ). −δ/2 0 |y|3.

DZãáâì δ > 0 â ª®¢®, çâ® |y −G(y )| ≤ 2 . DZ® ¢¥ªâ®àã η =  .. . 0¯®áâந¬ ®â®¡à ¥­¨¥ η : B (0, δ) → IRm+1 , £¤¥ B (0, δ) = {y ∈ IRm ||y| ≤ δ : η (y ) = η +y−G(y )}. ˆ¬¥¥¬: |η (y )| ≤ |η|+|y−G(y )| ≤ δ, â. ¥. η| ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¥­¨¥ è à B (0, δ) ¢ ᥡï. ˆ§ â¥®à¥¬ë à ãíà ® ­¥¯®¤¢¨­®© â®çª¥ á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y, ¤«ï ª®â®à®£®y = η (y ) ⇒ F (R(y )) = G(y ) = η .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®áâ஥­ â®çª R(η ) (¢¡«¨§¨ 0 ∈ IRn ) â ª ï, çâ® f0 (R(y )) < 0, fi (R(y )) = 0, 1 ≤ i ≤ m,â. e. 0 ∈/ lomin(P3 ). DZà®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ î饥 ⥮६ã.⊓⊔ˆáâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¥­â ਩. DZਭ樯 à¥è¥­¨ï § ¤ ç á ®£à ­¨ç¥­¨ï¬¨, ¢ëà ¥­ë© ¢ ¯à¨¢¥¤ñ­­®¬ ­ ¬¨ í¯¨£à ä¥, ¡ë« ®¯ã¡«¨ª®¢ ­ ¢ ¬®­®£à 䨨 ‹ £à ­ , ¢ë襤襩 ¢ ᢥ⠢ 1797 £®¤ã. p ãíp ¤®ª § «á¢®î ⥮p¥¬ã ¢ 1913 £®¤ã.‘®®â­®è¥­¨¥ (3) ¬ë ­ §ë¢ ¥¬ ãá«®¢¨¥¬ áâ 樮­ à­®áâ¨. “⢥थ­¨¥ ⥮६ë 3 ¬®­® ¢ëà §¨âì â ª¨¬¨ á«®¢ ¬¨: ¥á«¨ (¯à¨ áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ëå ¢ ⥮६¥ ãá«®¢¨ïå)§ ¤ ç¥bx¤®áâ ¢«ï¥â «®ª «ì­ë© íªáâ६ã¬(P3 ), â® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ áâ 樮­ à­®áâ¨, á®áâ®ï襥 ¢ ⮬,b) ∈ (IRn )′ , 0 ≤ i ≤ m} «¨­¥©­® § ¢¨á¨¬ë.{fi′ (xçâ® ¢¥ªâ®àëDZਬ¥à 3.f0 (x1 , .

. . , xn ) =nXaij xi xj → max, f1 (x1 , . . . , xn ) =nXx2i − 1 = 0.i=1=1DZ¥à¥¯¨è¥¬ íâ®â ¯à¨¬¥à, ¨á¯®«ì§ãï ­ è¨ á®ªà éñ­­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï:xT Ax → max, xT · x = 1, x ∈ IRn .‡¤¥áì A | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à ¨§ IRn ¢ IRn , § ¤ ¢ ¥¬ë© ᨬ¬¥âà¨ç¥áª®©¬ âà¨æ¥© (aij )ni,j =1, aij = aji.a©¤ñ¬ ¢¥ªâ®àë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î áâ 樮­ à­®áâ¨. ”ã­ªæ¨ï ‹ £à ­ §¤¥áì L(x, λ0 , λ1 ) = λ0 xT · Ax + λ1 xT · x. “á«®¢¨ï áâ 樮­ à­®áâ¨: Lx(x, λ0 , λ1 ) = 0 ⇔ λ0 Ax + λ1 x = 0. Žç¥¢¨¤­®, çâ® λ0 6= 0.i,j131.

…Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸŒë ¯®«ã稫¨, çâ® ãá«®¢¨î áâ 樮­ à­®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à A.1.4.•‡ ¤ ç ‹ £à ­ . “à ¢­¥­¨ï ©«¥à -‹ £à ­ .‹ £à ­ áâ « ¯à¨¬¥­ïâì ª § ¤ ç ¬ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ïâ®â ¥ ¯à¨ñ¬, çâ® ¡ë« ®¯¨á ­ ¢ ¯à¨¢¥¤ñ­­®¬ ¢ ¯. 1.3 í¯¨£à ä¥.Š®à®âª® ¢ëà §¨¬ ¥£® â ª: ¤«ï à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ­ íªáâ६㬠áà ¢¥­á⢠¬¨ ­ ¤® á®áâ ¢¨âì äã­ªæ¨î ‹ £à ­ ¨ ¢ë¯¨á âì ¤«ï­¥ñ ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ íªáâ६㬠, ª ª ¡ã¤â® ¯¥à¥¬¥­­ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë.Ž¯¨áë¢ ¥¬ë© ¢ í⮬ ¯ã­ªâ¥ ª« áá § ¤ ç ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï ®å¢ âë¢ ¥â ¤®áâ â®ç­® è¨à®ª¨© ªp㣠§ ¤ ç ¬¥å ­¨ª¨, 䨧¨ª¨, £¥®¬¥âਨ ¨ ¤àã£¨å ®¡« á⥩, £¤¥ ¢®§­¨ª îâ íªáâ६ «ì­ë¥§ ¤ ç¨.DZãáâì f : [t0 , t1 ℄ × IRn × IRr → IR (f = f (t, x, u)) | äã­ªæ¨ï n + r + 1¯¥à¥¬¥­­®£®, (ϕ = ϕ(t, x, u)) | ®â®¡à ¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠IRn+r+1 ¢ IRn(¯¥à¥¬¥­­ë¥ (t, x, u) â ª®¢ë: t ∈ [t0 , t1 ℄, x ∈ IRn , u ∈ IRr ).‡ ¤ ç J (x(·), u(·))=Zt1t0f (t, x(t), u(t))dt → extr,x_ = ϕ(t, x, u),x(ti ) = xi , i = 0, 1(P4 )­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ‹ £à ­ (áR § ªà¥¯«ñ­­ë¬¨ ª®­æ ¬¨).”ã­ªæ¨î L((x(·), u(·)), λ) = tt01 L(t, x(t), x_ (t), u(t))dt, £¤¥ ¨­â¥£à ­â¨¬¥¥â ¢¨¤:L(t, x, x,_ u) = λ0 f (t, x, u) + p(t) · (x_ − ϕ(t, x, u))­ §®¢ñ¬ ä㭪樥© ‹ £p ­ § ¤ ç¨ (P4 ).

Характеристики

Список файлов лекций