furs (1156153)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Ëåêöèÿ 3.11.2004Ïóñòü ìíîæåñòâî K ⊂ Rn çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî òî åñòü K êîìïàêòíî.Ïóñòü f : K → R ≡ {R ∪ {+∞} ∪ {−∞}} ñîáñòâåííàÿ óíêöèÿ, òî åñòüäëÿ ëþáîãî x èç Kf (x) > −∞ è Dom f = {x ∈ K : f (x) < ∞} =6 ∅Ôóíêöèÿ f : X → R ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó óíêöèÿ, åñëèÎïðåäåëåíèå 1. ∀λ Lλ f ≡ {x ∈ X : f (x) ≤ λ} çàìêíóòî.Îïðåäåëåíèå 2. ∀x̂ ∈ K ∀xn → x̂, f (x) ≤ limn→∞ f (xn ).Îïðåäåëåíèå 3.

epi f = {(α, x) ∈ R×Dom f : α ≥ f (x)} çàìêíóòî â R×K .Çàäà÷à 1. Äîêàçàòü ÷òî îïðåäåëåíèå (1)-(3) ýêâèâàëåíòíû.àññìîòðèì çàäà÷ó(f (x) → inf,x ∈ K.Òåîðåìà 1 (Âåéåðøòðàññà). Ïðåäïîëîæèì, K êîíå÷íîìåðíûé êîì-ïàêò, f : K → R ñîáñòâåííàÿ ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó óíêöèÿ. Òîãäàf (x) îãðàíè÷åíà ñíèçó íà K è ñóùåñòâóåò x̂ : f (x̂) = minx∈K f (x).Òåîðåìà äîêàçàíà íà ïðîøëîé ëåêöèè. àññìîòðèì çàäà÷ó âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿZ t1J(x) =L(t, x, ẋ)dxt0x ∈ C 1 [t0 , t1 ],x(t0 ) = 0,x(t1 ) = 0. äàííîì ñëó÷àå K = {x ∈ C 1 : x(t0 ) = x(t1 ) = 0} íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ïîýòîìó òåîðåìà Âåéåðøòðàññà íå ïðèìåíèìà äàæå äëÿïîëóíåïðåðûâíûõ J(x).1.1Ïðàâèëüíîå îáîáùåíèå òåîðåìà ÂåéåðøòðàññàÎïðåäåëåíèå 4. X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî.

Áóäåì ãîâîðèòü ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñëàáî ñõîäèòñÿ ê x̂ (xn ⇁ x̂), åñëè äëÿ ëþáîãîx∗ ∈ X ∗ hx∗ , xn i → hx∗ , x̂i.Îïðåäåëåíèå 5. Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ðåëåêñèâ-íûì, åñëè (X ∗ )∗ = X .Òåîðåìà 2 (Ýìáåðëåéíà-Øìóëüÿíà). Ïðîñòðàíñòâî X ðåëåêñèâíîòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èç ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{xn } ∈ X (kxn k ≤ C ) ìîæíî âûáðàòü ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Òåîðåìà 3. åëåêñèâíîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíî.1Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. ÌíîæåñòâîA ⊂ X ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü{xn } èç A ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó x̂ ∈ A.Îïðåäåëåíèå 7.

Ôóíêöèÿ f : A → R̄ ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñè-òåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, åñëè:1. äëÿ ëþáîãî λ Lλ f ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî;2. äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ⇁ x̂, ãäå x̂ ∈ A, ñëåäóåò f (x) ≤limn→∞ f (xn );3. epi f = {(α, x) ∈ R × Dom f : α ≥ f (x)} ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî.Çàäà÷à 2. Äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëåíèÿ 1, 2 è 3 ýêâèâàëåíòíû.àññìîòðèì çàäà÷ó(f (x) → inf,x ∈ K, K ⊂ X.(1)Îïðåäåëåíèå 8. Çàäà÷à (1) êîýðöèòèâíà, åñëè ñóùåñòâóåò λ ∈ R ÷òîìíîæåñòâî Lλ f = {x ∈ A : f (x) ≤ λ} 6= ∅ è îãðàíè÷åíî â X .Òåîðåìà 4. Ïóñòü X ðåëåêñèâíîå áàíàõîâîå ïðîñòðàíñòâî, ìíîæå-ñòâî A ⊂ X ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî, óíêöèÿ f : A → R ñîáñòâåííàÿ è ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, çàäà÷à (1) êîýðöèòèâíà.

Òîãäà f îãðàíè÷åíà ñíèçó íà ìíîæåñòâå A è ñóùåñòâóåò x̂ ∈ A : f (x̂) = min f (x).x∈AÄîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò λ ∈ R ÷òî ìíîæåñòâî Lλ f = {x ∈ A : f (x) ≤λ} 6= ∅ è îãðàíè÷åíî íà A ⊂ X . Äîñòàòî÷íî èñêàòü òî÷êó â A ∩ Lλ f . Ïóñòüxn ∈ A ∩ Lλ f ìèíèìèçèðóÿùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, òî åñòü f (xn ) →inf f (x) ïðè n → ∞. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } îãðàíè÷åíà â X . Ïåðåõîäÿx∈Aê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü xn ⇁ x̂, x̂ ∈ A ∩ Lλ f , òàê êàê A ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî. Ôóíêöèÿ f (ˆ(x) > −∞, òàê êàê óíêöèÿ f ñîáñòâåííàÿ è f (x̂) ≤ limxn →x f (xn ) = inf f (x). Ïîýòîìó f (x̂) = inf f (x).x∈Ax∈AÇàìå÷àíèå 1.

Ïðèìåðû óíêöèè f ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó îòíîñèòåëüíîñëàáîé ñõîäèìîñòè áàçèðóþòñÿ íà ïîíÿòèè âûïóêëóñòè.Îïðåäåëåíèå 9. Âûïóêëûì ìíîæåñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî êîòî-ðîå äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê x, y èç A ñîäåðæèò îòðåçîê [x, y] = {αx + (1 −α)y, α ∈ [0, 1]}.Îïðåäåëåíèå 10. Ïóñòü x1 , . . . , xn ∈ X Pëèíåéíîå ïðîñòàðíñòâî è α1 ≥n0, . . . , αn ≥ 0, α1 + . . . + αn = 1. Òîãäà x =êîìáèíàöèåé.j=1αj xj íàçûâàåòñÿ âûïóêëîéÇàäà÷à 3. Ïóñòü A âûïóêëîå, xi ∈ A, i = 1, . . . , n è x =âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ.

Äîêàçàòü, ÷òî x ∈ A.2Pnj=1αj xj Îïðåäåëåíèå 11. Ïóñòü B ⊂ X . Îâûïóêëåíèå B (îáîçí. Conv B ) ýòîìíîæåñòâî âñåõ âûïóêëûõ êîìáèíàöèé ëþáûõ êîíå÷íûõ íàáîðîâ òî÷åêx1 , . . . , xn ∈ B .Çàäà÷à 4. Äîêàçàòü, ÷òî Conv B âûïóêëîå ìíîæåñòâî.Çàäà÷à 5. Ïóñòü B âûïóêëîå ìíîæåñòâî â íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàí-ñòâî X . Äàêàçàòü, ÷òî çàìûêàíèå B âûïóêëîå.Òåîðåìà 5 (Ìàçóðà). Ïóñòü X íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, xn ∈ Xè xn P⇁ x̂. Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûïóêëûõ êîìáèíàöèényn = j=1 αnj xj òàêèõ ÷òî yn → x̂ ñèëüíî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Îò ïðîòèâíîãî, ïóñòü x̂ ∈/ Conv{xn } (ïî âòîðîé òåîðåìå îòäåëèìîñòè). Ñóùåñòâóåò 0 6= x∗ ∈ X ∗ òàêîé ÷òîsuphx∗ , xi <hx∗ , x̂i − ε, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñëàáîé ñõîäèìîñòè.x∈Conv{xn }Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü A ⊂ X . Åñëè A âûïóêëîå è çàìêíóòîå, òî A ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî.Ñëåäñòâèå 2. Åñëè óíêöèÿ f (x) âûïóêëàÿ è ïîëóíåïððûâíàÿ ñíèçó, òîf (x) ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü óíêöèÿ f (x) âûïóêëàÿ è ïîëóíåïððûâíàÿ ñíèçó. Òîãäà epi f = {(α, x) ∈ R × Dom f : α ≥ f (x)} âûïóêëîå è çàìêíóòî âR × Dom f . Ñëåäîâàòåëüíî, epi f ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî è f ïîëóíåïðåðûâíà ñíèçó îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè.Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü X ðåëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, ìíîæå-ñòâî A ⊂ X âûïóêëîå è çàìêíóòîå, f : A → R âûïóêëàÿ, íåïðåðûâíàÿè êîýðöèòèâíàÿ óíêöèÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå çàäà÷è (1).1.2Ïðîñòðàíñòâà ÑîáîëåâàÏóñòü Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rd ñ ãðàíèöåé ∂Ω ∈ C ∞ . Ïðîñòðàíñòâî∂yÑîáîëåâà Wp1 (Ω) = {y(x) ∈ Lp (Ω) : ∂x∈ Lp (Ω) îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ },j1 ≤ p < ∞.

Íîðìà â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìpZd X∂y(x)pkykpW 1 (Ω) =(2)dx < ∞ ∂xj + ky(x)kpΩf =1Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) ýòî ïðîñòðàíñòâî êëàññîâ óíêöèé ñîâïàäàþùèõ ïî÷òè âñþäó. Ñëåäîâàòåëüíî, (2) îïðåäåëÿåò íîðìó. Îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿâ (2) îçíà÷àåò, ÷òî y(x) óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóZ∂y∂ϕ, ϕ = − y(x)dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω).∂xj∂xjΩÒåîðåìà 6. Wp1 (Ω) ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.3Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì óíäàìåíòàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn }â Wp1 (Ω), òî åñòü äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî N ÷òî äëÿ ëþáûõm, n > N âûïîëíåíî kyn − ym kWp1 < ε.

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn },no∂yn óíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â Lp (Ω). Èç ïîëíîòû ïðî∂xiñòðàíñòâà Lp (Ω) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ŷ , ŷi - ïðåäåëîâ â Lp (Ω). Îñòàëîñü∂ ŷ= ŷi , äåéñòâèòåëüíî,äîêàçàòü òîëüêî, ÷òî ∂xiZŷi ϕ(x) = limΩ2n→∞ZΩ∂yndx == − limn→∞∂xiZyn (x)Ω∂ϕdx = −∂xiZŷΩ∂ϕdx.∂xiËåêöèÿ 10.11.2004Òåîðåìà 7.

Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) (1 ≤ p < ∞) ðåëåêñèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì îïåðàòîð A : Wp1 (Ω) → (Lp (Ω))d+1 , êîòîðûé∂y∂yäåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì Ay = y, ∂x,...,∂xd . Ñëåäîâàòåëüíî, W =1AWp1 (Ω) çàìêíóòî â (Lp (Ω))d+1 , êàê áûëî äîêàçàíî ðàíåå. Òàê êàê W ëèíåéíîå âûïóêëîå, òî W ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî â (Lp )d+1 .àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {yn } ∈ Wp1 (Ω) è kyn kWp1 (Ω) ≤ c. Õîòèìïîêàçàòü, ÷òî ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ⇁ ŷ ∈ Wp1 . Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Ayn } îãðàíè÷åíà â (Lp )d+1 è ïåðåõîäÿ ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ayn ⇁ z (òàê êàê (Lp )d+1 ðåëåêñèâíî). Íî W ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî è Ayn ∈ W .

Ïîýòîìó z ∈ W è ñóùåñòâóåòŷ ∈ Wp1 òàêîé ÷òî z = Aŷ.àññìîòðèì îïåðàòîð A∗ : (Lq (Ω))d+1 → (Wp1 (Ω))∗ , ãäå 1q + p1 = 1. ÒîãäàImA∗ = (KerA)⊥ = (Wp1 (Ω))∗ èhf, yn iWp1 = hA∗ g, yn iWp1 = hg, Ayn i(Lp )d+1 → hg, Aŷi(Lp )d+1 = . . .= hA∗ g, ŷiWp1 = hf, yiWp1 .òî åñòü äëÿ ëþáîãî f ∈ (Wp1 (Ω))∗ ñóùåñòâóåò g ∈ (Lq (Ω))d+1 òàêîé ÷òîf = A∗ g .2.1Ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâàWp1 (Ω)Òåîðåìà 8. Ïðîñòðàíñòâî C 1 (Ω) ïëîòíî â Wp1 (Ω).Òåîðåìà 9 (î ñëåäå). Ñëåä γ : Wp1 (Ω) → Lp (Ω) íåïðåðûâåí, ãäå γy =y|∂Ω .Äëÿ ëþáîãî y ∈ C 1 (Ω) âåðíà îöåíêà kγykLp(∂Ω) ≤ ckykWp1 (Ω) Äàëåå ïåðåõîäèì ê çàìûêàíèþ.0Îïðåäåëåíèå 12.

Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) = {y ∈ Wp1 (Ω) :çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â Wp1 (Ω).4γy = 0} 0Íîðìà â ïðîñòðàíñòâå Wp1 (Ω) kyk0Wp1 (Ω)= k∇ykLp(Ω)Òåîðåìà 10. Ïðîñòðàíñòâî Wp1 (Ω) êîìïàêòíî âêëàäûâàåòñÿ â Lp (Ω), åñ-ëè Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü. Òàêæå âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî ÏóàíêàðåÑòåêëîâà-Ôðèäðèõñà:kykpLp(Ω)pZ Xd 0∂y≤cdx ∀y ∈Wp1 (Ω).∂xjj=1Ω2.2Òåîðåìà Òîííåëè î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ âàðèàöèîííîé çàäà÷èàññìîòðèì çàäà÷óRJ(y) = L(x, y(x), ∇y(x))dx → inf, Ω ⊂ Rd(3)Ωy ∈ A0ãäå A =Wq1 (Ω), J(y) : Wq1 (Ω) → R.Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ1. (íåïðåðûâíîñòè)L(x, y, p) ∈ C(Ω̄ × R × Rd ), ∂L(x,y,p)∈ C(Ω̄ × R × Rd )∂pjÓñëîâèå êâàçèðåãóëÿðíîñòè.

Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R óíêöèÿ p− >L(x, y, p) âûïóêëà2. (ðîñòà) Ïóñòü ñóùåñòâóåò q : 1 < q < ∞ è C > 0, β > 0, òàêèå ÷òî äëÿëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R L(x, y, p) ≥ C|p|q − β .3. (êâàçèðåãóëÿðíîñòè) Ïóñòü äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Ω̄ × R óíêöèÿ p →L(x, y, p) âûïóêëà.0Ëåììà 1. A =Wp1 (Ω) ñåêâåíöèàëüíî ñëàáî çàìêíóòî â Wq1 (Ω).0Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü Wq1 (Ω) çàìêíóòî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ïðè0íàäëåæèò Wq1 è yn → ŷ â Wq1 . Òîãäàkγyn − γ ŷkLp (Ω) ≤ Ckyn − ŷkWq1 −−−−→ 0.n→∞0Ó÷èòûâàÿ, ÷òî γyn = 0 ïîëó÷àåì ŷ = 0, ñëåäîâàòåëüíî ŷ ∈W1q . Òàêèì îá0ðàçîì W1q - ëèíåéíîå âûïóêëîå è çàìêíóòîå, ñëåäîâàòåëüíî ñåêâåíöèëüíîñëàáî çàìêíóòî.Ëåììà 2. J(y) : Wq1 (Ω) → R ñîáñòâåííîå è çàäà÷à 3 êîýðöèòèâíà.Äîêàçàòåëüñòâî.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций