furs (1156153), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Äëÿ ëþáîãî y èç C 1 (Ω) J(y) < ∞.  ñèëó óñëîâèÿ ðîñòàäëÿ ëþáîãî y ∈ Wq1 (Ω)ZZZ2J(y) =L(x, y, ∇y)dx ≥ C|∇y| dx − βdx ≥ C1 îãðàíè÷åíà ñíèçó.ΩΩΩ5Ñëåäîâàòåëüíî, J(y) ñîáñòâåííûé óíêöèîíàë. Ïðîâåðèì êîýðöèòèâíîñòü,0ïóñòü y0 ∈ C01 (Ω̄) ⊂Wq1 (Ω), òîãäà λ = J(y0 ), ñëåäîâàòåëüíî Lλ J 6= ∅.()Z0y ∈Wq1 (Ω) : J(y) =Lλ J =L(x, y, ∇y)dx ≤ λ⊂ΩZ01q2⊂ y ∈W1 (Ω) :|∇y| dx ≤ (λ + β|Ω|) ⊂CΩZ10122⊂ y ∈W q :|∇y| + |y| dx ≤ (λ + β|Ω|)(1 + Cq ) .CΩÑëåäîâàòåëüíî, Lλ J îãðàíè÷åíî â Wq1 (Ω).Òåîðåìà 11.

Ïóñòü L óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì íåïðåðûâíîñòè, ðîñòà è0êâàçèðåãóëÿðíîñòè. Òîãäà J(y) : Wq1 → R ïîëóíåïðåðûâíàÿ ñíèçó óíêöèÿ îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè â W1q (Ω).0Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn èç Wq1 ñõîäèòñÿ ñëàáî âWq1 (Ω) ê ŷ . Íàì íóæíî ïîêàçàòü, ÷òîJˆ = J(ŷ) ≤ lim J(yn ).n→∞Òàê êàê Wq1 (Ω) êîìïàêòíî âêëàäûâàåòñÿ â Lq (Ω), òî ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ynk ñèëüíî ñõîäÿùàÿñÿ â Lq (Ω) ê ŷ . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ynm , ñõîäÿùàÿñÿ ê ŷ ïî÷òè âñþäó íà Ω. Ïî òåîðåìåÅãîðîâà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò Eε ⊂ Ω òàêîå ÷òî |Ω \ Eε | < ε è ynðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê y íà Eε . ÏóñòüFε = {x ∈ Ω : |ŷ(x)| + |∇ŷ(x)| <1},εGε = Eε ∩ Fε .òîãäà |Ω \ Fε | −−−→ 0 è |Ω \ Gε | −−−→ 0.ε→01rε→0Òàê êàê yn ñëàáî â Wq1 (Ω) ñõîäÿòñÿ ê ŷ, òî äëÿ ëþáîãî φ(x) ∈ (Lr )d , ãäå+ 1q = 1Z(φ(x), ∇yn (x) − ∇ŷ(x))dx −−−−→ 0.n→∞Ωαεk =Z(L(x, ŷ(x), ∇ŷ(x)), ∇yk − ∇ŷ(x))dx −−−−→0k→∞Gεγkε =Z[L(x, yk (x), ∇ŷ(x)) − L(x, ŷ(x), ∇ŷ(x))]+Gε+(Lp (x, yk (x), ∇ŷ(x)) − Lp (x, ŷ(x), ∇ŷ(x)), ∇yk (x) − ∇ŷ(x))dx −−−−→0k→∞ ñèëó âûïóêëîñòèL(x, yk (x), ∇yk (x)) ≥ L(x, yk (x), ∇ŷ(x)) + .

. .+ (Lp (x, yk (x), ∇y(x), ∇yk (x) − ∇ŷ(x)) ≥ 0.6L(x, yk (x), ∇yk (x)) ≥ L(x, ŷ(x), ∇ŷ(x)) + . . .+ (Lp (x, ŷ(x), ∇ŷ(x)), ∇yk (x) − ∇ŷ(x)) + L(x, yk (x), ∇ŷ(x)) − . . .− L(x, ŷ(x), ∇ŷ(x)) + (Lp (x, yk (x), ∇ŷ(x)) − . . .− Lp (x, ŷ(x), ∇ŷ(x)), ∇yk (x) − ∇ŷx ).ZL(x, yk (x), ∇yk (x))dx ≥GεZL(x, ŷ(x), ∇ŷ(x))dx + αεk + γkε .GεÑëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî δ > 0 ñóùåñòâóþò ε > 0, k0 , òàêèå ÷òî äëÿëþáîãî k > k0 .J(yk ) =ZL(x, yk , ∇yk )dx +GεZL(x, yk , ∇yk )dx ≥Ω\Gε≥ −β|Ω \ Gε | + J(ŷ) −ZΩ\GεL(x, ŷ, ∇ŷ) + αεk + γkε ≥ J(ŷ) − δ.Òàêèì îáðàçîì, âåðíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìàÒåîðåìà 12 (Òîí÷åëëè). Åñëè çàäà÷à (3) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1 - 30òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ŷ(x) ∈Wq1 (Ω).7.

Характеристики

Список файлов лекций