В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

‚ ­ áâ®ï饥 ¢à¥¬ï à §à ¡®â ­ë ¨¤à㣨¥ íä䥪⨢­ë¥ ¬¥â®¤ë, ®á­®¢ ­­ë¥ ­ ¨¤¥¥ ®âá¥ç¥­¨ï.IV ‡ ¤ ç¨ ¨ „®¯®«­¥­¨ï1.  ©â¨ ­ ¨¡®«ìèãî ¯«®é ¤ì ¯àאַ㣮«ì­®£® âà¥ã£®«ì­¨ª á § ¤ ­­®© á㬬®© ª â¥â®¢. ¯®¬­¨¬, çâ® à¥è¥­¨¥¬ í⮩ § ¤ ç¨ ”¥à¬ ¨««îáâà¨à®¢ « ᢮©¬¥â®¤ ­ 室¥­¨ï ¬ ªá¨¬ã¬®¢ ¨ ¬¨­¨¬ã¬®¢.¥è¥­¨¥. ”®à¬ «¨§ æ¨ï § ¤ ç¨ â ª®¢ ( | á㬬 ª â¥â®¢).1f1 (x) = x(a − x) −→ max, 0 ≤ x ≤ a.2”ã­ªæ¨ï f1 ­¥¯à¥à뢭 ­ ª®­¥ç­®¬ ®â१ª¥ [0, a℄. “ ­¥¥ ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ ï áâ 樮­ à­ ï â®çª : 0 = f1′ (x) = a − 2x =⇒ x = a2 . ’ ª¨¬®¡à §®¬, ¨áª®¬ãî â®çªã ­ ¤® ¨áª âì á।¨ â®ç¥ª 0, a2 , . Œ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ä㭪樨 f1 ¢ íâ¨å â®çª å ¤®á⨣ ¥âáï ¢ a/2.Žâ¢¥â.

DZàאַ㣮«ì­ë¬ âà¥ã£®«ì­¨ª®¬ ¬ ªá¨¬ «ì­®© ¯«®é ¤¨ á § ¤ ­­®© á㬬®© ª â¥â®¢ ï¥âáï à ¢­®¡¥¤à¥­­ë© âà¥ã£®«ì­¨ª.2.  ©â¨ ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨f (x) =√x2 + a2v1+(d − x)2 + b2v2p48”ã­ªæ¨ï f à áâñâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¨ ¯®â®¬ã à¥è¥­¨¥ á«¥¤ã¥â ¨áª âì á।¨ áâ 樮­ à­ëå â®ç¥ª. ©¤¥¬ ¨å. ˆ¬¥¥¬:(¢ § ¤ ç¥ ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨©). ¥è¥­¨¥.0 = f3′ (x) =xd−x√− p 2.v1 a2 + x2 v2 b + (d − x)2(i)‚á«¥¤á⢨¥ ¬®­®â®­­®á⨠ä㭪権x→√xa2 + x2¨x→d−x.v2 b2 + (d − x)2v1¯®«ãç ¥¬, çâ® ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ ï áâ 樮­ à­ ï â®çª xb, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãà ¢­¥­¨î.b.Žâ¢¥â.

¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¤®á⨣ ¥âáï ¢ â®çª¥ x‡ ¤ ç 2. á¢ï§ ­ á § ¬¥ç ⥫ì­ë¬ ®âªàë⨥¬, ¯à¨­ ¤«¥ 騬®¯ïâì-â ª¨ ”¥à¬ . ‚ 20-¥ £®¤ë 17 ¢¥ª £®«« ­¤áª¨© ãç¥­ë© ‘­¥««¨ãáíªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ®âªàë« § ª®­ ¯à¥«®¬«¥­¨ï ᢥ⠭ £à ­¨æ¥ ¤¢ãåá। (᪠¥¬, ¢®§¤ãå ¨ ¢®¤ë). ‡ ª®­ ‘­¥««¨ãá á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬.DZãáâì ¤¢ «ãç €1 OB1 ¨ A2 OB2 (¨¤ã騥 \ᢥàåã ¢­¨§"), ¯à¥«®¬«ïîâáï¢ â®çª¥ Ž (á¬. à¨á.). “£«ë €1 OC1 = α1 ¨ A2 OC2 = α2 , ®¡à §®¢ ­­ë¥A1 O ¨ A2 O ¢¥à⨪ «ìî Ž‘ ­ §ë¢ îâáï 㣫 ¬¨ ¯ ¤¥­¨ï, ã£«ë ‚2 OD =β2 ¨ B1 OD = β1 , ®¡à §®¢ ­­ë¥ ¯àï¬ë¬¨ B2 O ¨ B1 O á ¢¥à⨪ «ìî OD­ §ë¢ îâ 㣫 ¬¨ ¯à¥«®¬«¥­¨ï (à¨á.). ‘­¥««¨ãá ãáâ ­®¢¨«, çâ®sin α1 sin β1=sin α2 sin β2⇐⇒psin α1 sin α2=sin β1 sin β2(â.¥.

çâ® ®â­®è¥­¨¥ ᨭãá 㣫 ¯ ¤¥­¨ï ª ᨭãáã 㣫 ¯à¥«®¬«¥­¨ï¥áâì ¢¥«¨ç¨­ ¯®áâ®ï­­ ï, ­¥ § ¢¨áïé ï ®â 㣫 ¯ ¤¥­¨ï).Ž¡êïá­¥­¨¥ § ª®­ ¯à¥«®¬«¥­¨ï ¤ « ”¥à¬ . DZਠí⮬ ®­ ¢ë¤¢¨­ã«(¢¯¥à¢ë¥ ¢ ¨áâ®à¨¨ ­ 㪨) íªáâ६ «ì­ë© ¯à¨­æ¨¯ ¤«ï ¥­¨© ¯à¨à®¤ë. DZਭ樯 ”¥à¬ £« á¨â: ¢ ­¥®¤­®à®¤­®© á।¥ ᢥ⠨§¡¨à ¥â â ªãîâà ¥ªâ®à¨î, ¢¤®«ì ª®â®à®© ¢à¥¬ï, § âà 稢 ¥¬®¥ ¨¬ ­ ¯à¥®¤®«¥­¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨®¤­ â®çª A ¨¬¥¥â ª®®à¤¨­ âë (0, a), ¤à㣠ï â®çª ‚ ¨¬¥¥â ª®®à¤¨­ âë (d, −b), ⮠ᢥâ, ¯à¥«®¬«ïî騩áï ­ ¯àאַ© l, ᮢ¯ ¤ î饩 á ®áì, «¥ 饩 ­ £à ­¨æ¥ ¤¢ãå á।, ã ª®â®àëå ¢ ¢¥àå­¥© ᪮à®áâì ¥£®à á¯à®áâà ­¥­¨ï v1 , ¢ ­¨­¥© | v2 , ª ª ¡ë \à¥è ¥â" ¨¬¥­­® § ¤ çã.¥è¥­¨¥ ¥ ¯à¨¢¥«®, ª ª «¥£ª® ¯®­ïâì, ª § ª®­ã ‘­¥««¨ãá .¯ã⨠®â ®¤­®© â®çª¨ ¤® ¤à㣮© | ¬¨­¨¬ «ì­®3.

‡ ¤ ç ® ¡à å¨áâ®åà®­¥ (¬. ¯. 3).494. ‚›DZ“Š‹€Ÿ „‚Ž‰‘’‚…Ž‘’œ ˆ ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ…ˆ­â¥£à ­â ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨ ¨ ¯®â®¬ã ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à ¤®¯ã᪠¥â ¨­â¥£à « í­¥à£¨¨: H = y −2α (1 + y ′2 ) = D2 . ˆ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ­ ¯¨á ­­®£® ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ᥬ¥©áâ¢ã íªáâ६ «¥©:¥è¥­¨¥.=CC(1 − os t), x = C1 + (t − sin t)dt.22ªáâ६ «¨, ¨¬¥î騥 ®¡éãî â®çªã A ­ ®á¨ Ox, ®¡à §ãîâ ¯®«¥, ¯®ªàë¢ î饥 ¢áî ®âªàëâãî ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì. Žâáî¤ ¨ ¨§ ä®à¬ã«ë ‚¥©¥àèâà áá ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥¤¨­á⢥­­ ï íªáâ६ «ì, ᮥ¤¨­ïîé ï £à ­¨ç­ë¥ â®çª¨, ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨.Žâ¢¥â. ¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ® ¡à å¨áâ®åà®­¥ ¤®áâ ¢«ï¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï横«®¨¤ , ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ â®çª¨ A ¨ B .y4.

€íத¨­ ¬¨ç¥áª ï § ¤ ç ìîâ®­ (á¬. ¯.3).¥è¥­¨¥.L=Zx10”ã­ªæ¨ï ‹ £à ­ í⮩ § ¤ ç¨ â ª®¢ :λ0 x1 + u2 (x))+ p(x)(y (x) − u(x))′dx + µ0 y (0) + µ1 y (x1 ), λ0 ≥ 0.DZਭ樯 ‹ £à ­ ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢­¥­¨î ©«¥à : −p′ = 0 ⇔ p =onst; ãá«®¢¨ï¬ âà ­á¢¥àá «ì­®áâ¨:nn = µ0 , p(xo1 ) = −µ1 ¨ ¯à¨­æ¨¯ão p(0)λ0 xλ0 xb ; ‹¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥â¬¨­¨¬ã¬ ¯® u: minu≥0 1+u2 − pu = 1+− pubu2áï, çâ® λ0 6= 0. DZ®«®¨¬ λ0 = 1. ˆ§ ¯à¨­æ¨¯ ¬¨­¨¬ã¬ á«¥¤ã¥â, çâ®p < 0.

DZਠ¬ «ëå t ¬¨­¨¬ã¬ ä㭪樨 u → L(x, u) = 1+xu2 − pu ­ 室¨âáï ¢ ­ã«¥. â® ¯à®¨á室¨â ¤® ⮣® ¬®¬¥­â , ª®£¤ §­ 祭¨¥ ¢ ­ã«¥áâ ­®¢¨âáï à ¢­®© ¢â®à®¬ã, ¯®«®¨â¥«ì­®¬ã ¬¨­¨¬ã¬ã í⮩ ä㭪樨.Œ®¬¥­â ¨§«®¬ ã¯à ¢«¥­¨ï ξ å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ãà ¢­¥­¨ï¬¨p=−2ub(ξ )ξ,(1 + ub2 (ξ ))2ξ=ξb (ξ ).− pu1 + ub2 (ξ )Žâáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ub(ξ ) = 1 ¨ ξ = −2p. € ¤ «¥¥ à¥è ¥¬ ãà ¢­¥­¨¥Lu = 0, ¨ íâ® ¯à¨¢®¤¨â ª à¥è¥­¨î ¢ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ä®à¬¥:yb = −37log u−1 + u2 + u4 + p,248px=−p2u−1 + 2u + u3 , p < 0.Š®­áâ ­â p ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï y (x1 ) = y1 .

â㠪ਢãî ­ §ë¢ î⠪ਢ®© ìîâ®­ . ‘¥¬¥©á⢮ ªà¨¢ëå ìîâ®­ ¯®ªàë¢ ¥â¢¥áì ¯¥à¢ë© ª¢ ¤à ­â. Šà¨¢ ï yb(·), ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ ¤¢¥ £à ­¨ç­ë¥â®çª¨, ¤®áâ ¢«ï¥â ¡á®«îâ­ë© ¬¨­¨¬ã¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®©50ªãá®ç­® ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 y (·), ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ (0, 0) ¨ (x1 , y1 ), ¢ ᨫ㠯ਭ樯 ¬¨­¨¬ã¬ , ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮: 1+yx′2 (x) −py ′(x) ≥ 1+byx′2 (x) −pyb(x).

ˆ­â¥£à¨àãï í⮠ᮮ⭮襭¨¥,ãç¨âë¢ ï £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ¯®«ãç ¥¬, çâ® J (y (·) ≥ J (yb(·)).Žâ¢¥â. ¥è¥­¨¥ íத¨­ ¬¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ìîâ®­ ¤®áâ ¢«ï¥â Šà¨¢ ï ìîâ®­ , ¯à®å®¤ïé ï ç¥à¥§ £à ­¨ç­ë¥ â®çª¨.DZà®á⥩è ï § ¤ ç ® ¡ëáâத¥©á⢨¨ (”¥«ì¤¡ ã¬, 1952 £.).DZ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨.Ž¯à¥¤¥«¨âì å à ªâ¥à ¤¢¨¥­¨ï ¢ § ¤ ç¥ ®­ ¨áª®à¥©è¥© ®áâ ­®¢ª¥ ¢ § ¤ ­­®© â®çª¥ ã¯à ¢«ï¥¬®£® âà ­á¯®àâ­®£® á।á⢠, ¤¢¨£ î饣®áï ¨§ ­ ç «ì­®© â®çª¨ á ®¯à¥¤¥«ñ­­®© ᪮à®áâìî (¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â) ¯® £®à¨§®­â «ì­ë¬ ५ìá ¬ ¡¥§ â७¨ï ¨ á­ ¡ñ­­®£® ¤¢¨£ ⥫¥¬, à §¢¨¢ î騬 ᨫã, ­¥ ¯à¥¢®á室ïéã।¥«ñ­­®£® ¯à¥¤¥« .”®à¬ «¨§ æ¨ï § ¤ ç¨ â ª®¢ :ξ1 , x(T ) = x(T ) = 0.T →min, |x|≤ 1, x(0)= ξ0 , x.(0) =DZਭ樯 ‹ £à ­ §¤¥áì ᢮¤¨âáï ª ¯à¨­æ¨¯ã ¬ ªá¨¬ã¬ DZ®­âà­ .

DZ®á«¥¤®¢ ⥫쭮¥ ¨ ¯®¤à®¡­®¥ ¯à®¢¥¤¥­¨¥ ¢á¥å ¢ëª« ¤®ª á¬. ¢ª­. €«¥ªá¥¥¢, ’¨å®¬¨à®¢, ”®¬¨­.‹ˆ’…€’“€ˆ®ää¥ €. „., ’¨å®¬¨à®¢ ‚. Œ. ’¥®à¨ï íªáâ६ «ì­ëå § ¤ ç. Œ.: 㪠, 1974€«¥ªá¥¥¢ ‚. Œ., ’¨å®¬¨à®¢ ‚. Œ., ”®¬¨­ ‘. ‚. Ž¯â¨¬ «ì­®¥ ã¯à ¢«¥­¨¥. Œ.:  㪠, 1979ƒ. ƒ. Œ £ ਫ-ˆ«ì異, ‚. Œ. ’¨å®¬¨à®¢. ‚ë¯ãª«ë© ­ «¨§ ¨ ¥£®¯à¨«®¥­¨ï. “‘‘, Œ., 2003.

Характеристики

Список файлов лекций