В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

ˆ§ í⮣® ¤®ª« ¤ ¬ë ¢§ï«¨ ¯à¨¢¥¤ñ­­ë© í¯¨£à ä. \Ž¡é¨© ¯à¨­æ¨¯" ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ­¨ï, ® ª®â®à®¬ £®¢®à¨â §¤¥áì ƒ¨«ì¡¥àâ, íâ®, ᪮॥ ¢á¥£®, ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨, ­ ª®â®à®¬ ¡ §¨àã¥âáï ¡®«ì設á⢮ ⥮६ áãé¥á⢮¢ ­¨ï. ˆ¤¥ï à áè¨à¥­¨ï| ¡ã¤ì â® á ¬®£® ¯®­ïâ¨ï à¥è¥­¨ï ¨«¨ ä㭪樮­ «ì­®£® ¯à®áâà ­á⢠,¢ ª®â®à®¬ ¨é¥âáï à¥è¥­¨¥, | ®¤­ ¨§ 業âà «ì­ëå ¢ ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨©.3.1.DZਭ樯 ª®¬¯ ªâ­®á⨍ ç­ñ¬ á ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨.  ¯®¬­¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï f , ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ­ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ T , ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®© á­¨§ã, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥é¥á⢥­­®£® ç¨á« α «¥¡¥£®¢® ¬­®¥á⢮Lα f = {x | f (x) ≤ α} § ¬ª­ãâ®.

€ ¢®â à ¢­®á¨«ì­®¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ç¥à¥§¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨: f (limn→∞ xn ) ≤ lim inf n→∞ f (xn).(‚¥©¥pèâp áá -‹¥¡¥£ -íà ). DZãáâì X | ª®¬¯ ªâ­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯p®áâp ­á⢮, ¨ f : X → IR ∪ {+∞} | ¯®«ã­¥¯p¥p뢭 ïá­¨§ã äã­ªæ¨ï ­ X , ­¥ p ¢­ ï ⮤¥á⢥­­® +∞. ’®£¤ f ®£p ­¨ç¥­ ’¥®à¥¬ á­¨§ã ¨ áãé¥áâ¢ã¥â â®çª ¬¨­¨¬ã¬ .b ∈ X , ¢ ª®â®p®© fx¤®á⨣ ¥â ¡á®«îâ­®£®DZãáâì Un = {x ∈ X | f (x) < n, n ∈ ZZ.

ˆ§ ãá«®¢¨ï⥮६ë á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n0 Un0 6= ∅, ¯à¨ í⮬ ®­¨ ®âªàëâë¨ ¯®á«¥¤ãî饥 ᮤ¥à¨â ¢ ᥡ¥ ¯à¥¤ë¤ã饥 (Un0 ⊂ Un0 +1 ⊂ . . .). ˆ§„®ª § ⥫ìá⢮.32®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®¬¯ ªâ­®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ­®¬¥à n1 , çâ®Un1 = X , çâ® ®§­ ç ¥â ®£à ­¨ç¥­­®áâì f á­¨§ã.DZãáâì m = inf x∈X f (x). DZ®«®¨¬ Vn = {x ∈ X | f (x) > m+ n1 , n ∈ IN.â¨ ¬­®¥á⢠®âªàëâë, ¨ ¥á«¨ ­¨­ïï £à ­ì ¤®áâ쨣 ¥âáï, ®â­¨, ­ 稭 ï á ­¥ª®â®à®£® ­®¬¥à ­¥¯ãáâë ¨ ¢«®¥­ë ¯à¥¤ë¤ã饥 ¢ ¯®á«¥¤ãî騥. ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ª®¬¯ ªâ­®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®©­®¬¥à n2 , çâ® Vn2 = X , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, â® m | ­¨­ïï £à ­ìf.⊓⊔Ž ⮬, ­ ᪮«ìª® áãé¥á⢥­­® âॡ®¢ ­¨¥ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨, ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à § ¤ ç¨ ¬¨­¨¬¨§ 樨 ­ IR2 ­¥®âà¨æ ⥫쭮£® ¬­®£®ç«¥­ ç¥â¢ñà⮣® ¯®à浪 ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¢ ª®â®à®©­¥â à¥è¥­¨ï: x21 + (x1 x2 − 1)2 → min.‡ ¬¥ç ­¨¥. ‚¥©¥àèâà áá ¢ ª®­æ¥ 19 ¢¥ª ¤®ª § « ⥮६㠮 ⮬, çâ®­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï ­ ®â१ª¥ ¢¥é¥á⢥­­®© ¯àאַ© ¤®á⨣ ¥â ᢮¨å ¬ ªá¨¬ã¬ ¨ ¬¨­¨¬ã¬ .

‚ ­ ç «¥ ¢¥ª ®ä®à¬¨«®áì ¯®­ï⨥ ª®¬¯ ªâ­®á⨠¨ ⥮६ ‚¥©¥àèâà áá ¡ë« à á¯à®áâà ­¥­ ­ ª®¬¯ ªâë.‹¥¡¥£ § ¬¥â¨«, çâ® ä㭪樮­ «ë ¤«¨­ë ¨ ¯«®é ¤¨ ­¥ ®¡« ¤ îâ ᢮©á⢮¬ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨. íà ¢¢ñ« ¯®­ï⨥ ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®á⨠᭨§ã ¨¤®ª § « áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ë© ¢ëè¥ ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨.‚ 横«¥ «¥ªæ¨©, á¢ï§ ­­®¬ á ⥮ਥ© áãé¥á⢮¢ ­¨ï, ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®á⨠¡ã¤¥â ¯à¨¬¥­ïâìáï ª ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥ ª« áá¨ç¥áª®£® ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï:J (x(·)) =ZL(t, x(t), x_ (t))dt → min, x|∂ = ξ(P )¨ ­¥ª®â®àë¬ ¥¥ ®¡®¡é¥­¨ï¬.‚ (P ) à áᬮâ७ ¬­®£®¬¥à­ ï § ¤ ç , ª®£¤ t ∈ IRd , x ®¤­®¬¥à­®, ∂x∂xdd Tdx_ = ( ∂t1 , .

. . , ∂td ), L : IR × IR × (IR ) → IR, | ®¡« áâì ¢ IR , £à ­¨æ ª®â®à®© | ¡¥áª®­¥ç­® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®¥ ¬­®£®®¡à §¨¥.  £à ­¨æ¥§ ¤ ­ ­¥ª®â®à ï äã­ªæ¨ï ξ (·).ˆ áà §ã ¥ ¢®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¢ ª ª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ á«¥¤ã¥â ¨§ãç âì§ ¤ çã (P )?‡¤¥áì ­ ¬¥â¨«¨áì ¤¢ ¯®¤å®¤ . DZ¥à¢ë© ¨§ ­¨å (¢ ­ñ¬ ª« áᨪ®¬ï¢¨«áï ¨â «ìï­áª¨© ¬ ⥬ ⨪ ’®­¥««¨) á®áâ®ï« ¢ ⮬, çâ® á«¥¤ã¥âà áᬠâਢ âì § ¤ çã (P ) ¢ ¬ ªá¨¬ «ì­® è¨à®ª®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ¢ª®â®à®¬ ¢®®¡é¥ § ¤ ç (P ) ¨¬¥¥â á¬ëá«. â®â ¯®¤å®¤ ®ª § «áï ¯«®¤®â¢®à­ë¬ ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ (ª®£¤ d = 1) á«ãç ¥, ¨¡® ¨¬¥­­® â ¬ â® á ¬®¥ ­ ¨¡®«¥¥ è¨à®ª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¯à 訢 ¥âáï á ¬® ᮡ®© | íâ®333.

‘“™…‘’‚Ž‚€ˆ… …˜…ˆ‰¯à®áâà ­á⢮ ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権. Œë ¥£® ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì W11 ([t0 , t1 ℄) = {x(·) | x_ (·) ∈ L1 ([t0 , t1 ℄)}. …áâ¥á⢥­­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨ ᥬ¥©á⢮ ¡®«¥¥ 㧪¨å ¯à®áâà ­á⢠Wp1 ([t0 , t1 ℄) = {x(·) | x_ (·) ∈Lp ([t0 , t1 ℄)}, 1 < p ≤ ∞.3.2.’¥®à¥¬ ’®­¥««¨‚®â ª ª ä®à¬ã«¨àã¥âáï ¨á⮪®¢ ï ⥮६ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤«ï § ¤ ç¨ (P ) ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ = [t0 , t1 ℄, a £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï®¡ëç­ë¥: x(t0 ) = x0 , x(t1 ) = x1 .’¥®à¥¬ IR3→IR(’®­¥««¨ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨).¢ ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥P(t, x, x_ ) 7→ L :DZãáâì ¨­â¥£à ­âï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥-x_ ä㭪樥©, ¢ë¯ãª«®© ¯® x_t ¨ x) ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî饩 á«¥¤ãî饬ã ãá«®¢¨î_ ) ≥ α|x|_ p + β, α > 0, β ∈ IR, p > 1.

’®£¤ ¢ ¯à®áâà ­á⢥à®áâ : L(t, x, x1 ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 (¨ ¤ ¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Wp ([t0 , t1 ℄))¬¥­­ë¬, ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¯®(¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­ëåáãé¥áâ¢ã¥â à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨.â ⥮६ ¡ë« ¤®ª § ­ ’®­¥««¨ ¢ 1928 £.„®ª § ⥫ìá⢮.‹¥¬¬ 1.„®ª § ⥫ìá⢮ ¡ §¨àã¥âáï ­ ¤¢ãå «¥¬¬ å:{xn (·)} ¬®­®1á室ïéãîáï ¢ Wp ([t0 , t1 ℄) (ª ­¥ª®â®-ˆ§ ¬¨­¨¬¨§¨àãî饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨢ë¡à âì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì,ன ä㭪樨b(·)).x„®ª § ⥫ìá⢮.Z t1t0ˆ¬¥¥¬:|x_ n (t)| dt ≤1pαZt1t0L(t, x1 (t), x_ 1 (t))dt − β .Ž¡®§­ 稢 ç¥à¥§ C p-î ­®à¬ã ä㭪樨 x(·) ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢ ­¥à ¢¥­á⢮ƒñ«ì¤¥à , ¯®«ã稬:|x(τ+ h) − x(τ )| = |Zτ+τ hx_ (s)ds| ≤Zt1t0|x_ (s)| dtp1p1h p′1= Ch p′ .Žâáî¤ á«¥¤ã¥â à ¢­®¬¥à­ ï ®£à ­¨ç¥­­®áâì ¨ à ¢­®á⥯¥­­ ï ­¥¯à¥à뢭®áâì ᥬ¥©á⢠{xn (·)}n∈IN , ®âªã¤ ¨§ â¥®à¥¬ë €áª®«¨-€à楫 § ª«îç ¥¬ (¯¥à¥å®¤ï ª ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ­® áç¨â ï ¥ñ ᮢ¯ ¤ î饩 á ¨§­ ç «ì­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìî), çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ¢ C ([t0 , t1 ℄).

Ž¡®§­ 稬 ¯à¥¤¥« ç¥à¥§ xb(·). ’¥¯¥àì34¢®á¯®«ì§ã¥¬áï å®à®è® ¨§¢¥áâ­ë¬ ä ªâ®¬ ä㭪樮­ «ì­®£® ­ «¨§ |ä ªâ®¬ à¥ä«¥ªá¨¢­®á⨠¯à®áâà ­á⢠Lp ([t0 , t1 ℄) ¯à¨ p > 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®­® § ª«îç¨âì, ¯¥à¥å®¤ï ®¯ïâì-â ª¨ ª ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, çâ® (x_ n (·))n∈IN á« ¡® á室¨âáï¢ Lp ([t0 , t1 ℄), R¨ ¯à¥¤¥« ®¡®§­ 稬Rz(·). (â® ®§­ ç ¥â, çâ® limn→∞ tt01 x_ n (t)ξ (t)dt = tt01 z(t)ξ (t)dt, ∀ξ (·) ∈Lp′ ([t0 , t1 ℄), £¤¥ p′ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© 1p + p1′ = 1.

‚ ç áâ­®áâ¨, ¯®R«ãç ¥¬, çâ® xn (t) = x0 + tt0 x_ n (s)ds á室¨âáï, á ®¤­®© áâ®à®­ë, ª xb(t) áRt¤à㣮© áâ®à®­ë, ª x0 + t0 z(s)ds. Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® xb(·) ∈ Wp1 ([t0 , t1 ℄),â ª ª ª xb_ (t) = z(t) ¨ z(·) ∈ Lp ([t0 , t1 ℄).‹¥¬¬ 2.”ã­ªæ¨ï„®ª § ⥫ìá⢮.b(·)xt1t0Zt1t0(P ).ˆ¬¥¥¬:b(·)) =J (xn (·)) − J (xZï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨Zt1t0(L(t, xn (t), x_ n (t) − Lb (t)) =b (t))dt ≥b(t)) + L(t, xn (t), xb(t)) − LL(t, xn (t), x_ n (t)) − L(t, xn (t), x(x_ n (t) − xb_ (t))(Lx_ (t, xn (t), xb(t)) − Lb x_ (t)dtZ+(I1n + I2n + I3n .t1t0(x_ n (t) − xb_ (t))Lb x_ (t)dt +Zt1t0(L(t, xn (t), xb_ (t)) − Lb (t))dt =DZਠí⮬ ¢á¥ Ini , i = 1, 2, 3 áâ६ïâáï ª ­ã«î ¯à¨ n → ∞:¯¥à¢ë© ¨ âà¥â¨©, ¨¡® xn(·) à ¢­®¬¥à­® áâ६¨âáï ª xb(·), ¢â®à®© ¢ ᨫã⮣®, xn (·) á« ¡® á室¨âáï ª xb(·).⊓⊔‡ ¬¥ç ­¨¥.

—ãâì ¡®«¥¥ ¤¥â «ì­®¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¨¢¥«® ¡ë ­ ᪠⮬ã, çâ® ¢ë¯ãª«®áâì ¨­â¥£à ­â ¢«¥çñâ § ᮡ®© ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®áâìä㭪樮­ « J á­¨§ã, à®áâ ¨­â¥£à ­â £ à ­â¨àã¥â ª®¬¯ ªâ­®áâì ¢«®¥­¨ï ¯à®áâà ­á⢠Wp1 ([t0 , t1 ℄) ¢ ¯à®áâà ­á⢮ C ([t0 , t1 ℄). ’ ª ç⮠⥮६㠒®­¥««¨ ¬®­® ¡ë«® ¡ë ¢ë¢¥á⨠¨§ ¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨.ã­® ᪠§ âì ¯à¨ í⮬, çâ® ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç¥ ¬®­® ¤ «¥ª®¯à®¤¢¨­ãâìáï ¢ ॠ«¨§ 樨 ¨¤¥¨ ƒ¨«ì¡¥àâ . € ¨¬¥­­®, á ⥮à¥â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï ¬®­® ¢á¥£¤ à áᬠâਢ âì ¨­â¥£à ­âë ¢ë¯ãª«ë¥¯® ¯à®¨§¢®¤­ë¬ (§ áçñâ à áè¨à¥­¨ï ¯®­ïâ¨ï à¥è¥­¨ï). ˆ ¬®­® ¯ëâ âìáï ¯à¥®¤®«¥âì ®âáãâá⢨¥ ª®¬¯ ªâ­®á⨠¯à¨ ­¥¤®áâ â®ç­®¬ à®áâ¥353. ‘“™…‘’‚Ž‚€ˆ… …˜…ˆ‰¨­â¥£à ­â , ­ ª« ¤ë¢ ï ®£à ­¨ç¥­¨ï ­ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¨ ãáâ६«ïï ª®­áâ ­âã ®£à ­¨ç¥­¨ï ª ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.

Š á® «¥­¨î, íâ ¯à®æ¥¤ãà ­¥¢¥¤ñâ ª ¯®«­®¬ã ¨áç¥à¯ ­¨î ¯à®¡«¥¬ ⨪¨ (å®âï ¬®­® ­ ¤¥ïâìáï, ç⮢® ¢á¥å \ॠ«ì­ëå" á«ãç ïå ®­ ¢¥¤ñâ ª 楫¨) ¨§-§ â ª ­ §ë¢ ¥¬®£®ä¥­®¬¥­ ‹ ¢à¥­â쥢 . Ž¡® ¢áñ¬ í⮬ ¡ã¤¥â ¢ªà âæ¥ áª § ­® ¢ ª®­æ¥ªãàá .®¤®­ ç «ì­¨ª®¬ ¢â®à®£® ¯®¤å®¤ ª ¯à®¡«¥¬ ⨪¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ïà¥è¥­¨© ¢ ਠ樮­­ëå § ¤ ç ï¥âáï ­ è § ¬¥ç ⥫ì­ë© ãçñ­ë©‘¥à£¥© ‹ì¢®¢¨ç ‘®¡®«¥¢, çì¨ ¯¨®­¥à᪨¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¡ë«¨ ¯à®¤®«¥­ë ¬­®£¨¬¨ ¬ ⥬ ⨪ ¬¨ (Œ.

ˆ. ‚¨è¨ª, ”. à®ã¤¥à, †. ‹¨®­á,€. ‚. ”ãàᨪ®¢ ¨ ¤à.) . â®â ¯®¤å®¤ ¡ §¨àã¥âáï ­ ⮬, çâ® ¯à®¨§¢®¤¨âáï à áè¨à¥­¨¥ ¯à¥¤¥ ¢á¥£® á ¬¨å ¯à®áâà ­áâ¢, ­ ª®â®àëåà áᬠâਢ îâáï ¢ ਠ樮­­ë¥ § ¤ ç¨. ’ ª ¡ë«¨ § «®¥­ë ®á­®¢ ­¨ï ⥮ਨ ®¡®¡éñ­­ëå ä㭪権 (¨«¨ ¯® ¤à㣮© â¥à¬¨­®«®£¨¨ | ⥮ਨ à á¯à¥¤¥«¥­¨©). ˆ ªà®¬¥ ⮣®, ­¥áª®«ìª® ¬®¤¨ä¨æ¨àã¥âáï á ¬¯à¨­æ¨¯ ª®¬¯ ªâ­®áâ¨, ¨ á ¬® ¯à®áâà ­á⢮ ¯®¤ë᪨¢ ¥âáï â ª, ç⮡ë㤮¢«¥â¢®à¨âì í⮬㠬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ­­®¬ã ¯à¨­æ¨¯ã ª®¬¯ ªâ­®áâ¨.3.3.Š®­âà¯à¨¬¥àë ª ⥮६¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï.€ ⥯¥àì ­ ¯à®á⥩è¨å ¯à¨¬¥à å ¯®á¬®âਬ, çâ® ¬®¥â ¯à¥¯ïâá⢮¢ âì áãé¥á⢮¢ ­¨î à¥è¥­¨©, ª ª à §à¥è ¥â ¯à®¡«¥¬ã ­¥áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨¤¥®«®£¨ï ƒ¨«ì¡¥àâ , § ®¤­® ¯à®¤¥¬®­áâà¨à㥬 à §­¨æã ¢ ¤¢ã寮¤å®¤ å ª ¢®¯à®á ¬ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ à¥è¥­¨©.DZਬ¥à 1 (®«ìæ ):J1 (x(·)) =ZI((x_ 2 − 1)2 + x2 )dt → min,x(0) = x(1) = 0.Ÿá­®, çâ® J1 (x(·)) > 0 ∀ x(·) ∈ W11 (I ), x(t) 6≡ 0, á ¤à㣮© áâ®à®­ë ¥á«¨ x(t) ≡ 0, â® J (x(·)) = 1.R…᫨ ¥ ¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn (t) = 0t Un (τ )d(τ ), Un (t) =sgn sin 2πnt, n ∈ N, (á¬.

à¨á., ¯®¤®¡­ë¥ ¯à®æ¥ááë ­ §ë¢ îâ ᪮«ì§ï騬¨ २¬ ¬¨), â® ®ç¥¢¨¤­®, çâ® ®­ áâp¥¬¨âáï ª ­ã«î à ¢­®¬¥à­®,¢ â® ¢à¥¬ï, ª ª |x_ n (t)| = 1 ¯.¢. ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, J (xn (·)) →n→∞ 0. ‡­ ç¨â, §­ 祭¨¥ § ¤ ç¨ - ­ã«ì, à¥è¥­¨ï ­¥â.DZਬ¥­¨âì ⥮६㠒®­¥««¨ ­¥ 㤠ñâáï ¨§-§ ⮣®, çâ® äã­ªæ¨ïx_ → (x_ 2 − 1)2 { ­¥¢ë¯ãª« ï. ® á ¬ ¯® ᥡ¥ ­¥¢ë¯ãª«®áâì ­¥ ¬®¥âá«ã¨âì ¯à¨ç¨­®© ­¥áãé¥á⢮¢ ­¨ï à¥è¥­¨ï: ¥á«¨ ¢ § ¤ ç¥ ®«ìæ 36§ ¬¥­¨âì x2 ­ x ¨«¨ x3 , â® à¥è¥­¨¥ ¢ W11 ([o, 1℄) ¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì,­¥á¬®âàï ­ ­¥¢ë¯ãª«®áâì ¨­â¥£à ­â .DZ®¤®©¤ñ¬ ª ⮩ ¥ § ¤ ç¨ á â®çª¨ §à¥­¨ï â¥®à¥¬ë ® áãé¥á⢮¢ ­¨ï¬¨­¨¬ã¬ . DZ।¥ ¢á¥£® ­ ¤® ¢ë¡à âì à¥ä«¥ªá¨¢­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,çâ®¡ë ¡ë«® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ ª®íàæ¨â¨¢­®áâ¨.

’ ª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬¬®¥â ¡ëâì W41 ([0, 1℄). ‹¥£ª® ¯®­ïâì, çâ® ãá«®¢¨¥ § ¬ª­ãâ®á⨠¬­®¥á⢠®£à¯­¨ç¥­¨© â ª¥ ¢ë¯®«­¥­®. € à¥è¥­¨ï ­¥â, §­ ç¨â ­¥â ¯®«ã­¥¯à¥à뢭®á⨠᭨§ã.DZਬ¥à 2. (‚¥©¥àèâà áá ):J2 (x(·)) =ZIt2 x_ 2 dt → min, x(0) = 0, x(1) = 1.â® - §­ ¬¥­¨âë© ¯à¨¬¥à ‚¥©¥àèâà áá , ª®â®àë¬ ®­ à£ã¬¥­â¨à®¢ « ­¥¯®«­®âã à£ã¬¥­â®¢ ¨¬ ­ , ª á îé¨åáï ¯à¨­æ¨¯ „¨à¨å«¥.Œë ¢¨¤¨¬, çâ® J2 (x(·)) > 0 ∀x(·) ∈ W11 (I ), x(0) = 0, x(1) = 1.€ ¥á«¨ ¢§ïâìnt, 0 ≤ t ≤ 1/n,xn (t) =1, t ≥ 1/n, n ∈ IN,â®, ®ç¥¢¨¤­®, J2 (xn (·)) →n→∞ 0.‘­®¢ - §­ 祭¨¥ § ¤ ç¨ | ­ã«ì, à¥è¥­¨ï ­¥â ¨ ¯à¨ç¨­ ⮣®, çâ®â¥®à¥¬ ’®­¥««¨ ­¥ ¯à¨¬¥­¨¬ §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® (¢ ®¤­®© ¥¤¨­á⢥­­®©(!) â®çª¥ t = 0) ¨­â¥£à ­â ­¥ ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç­®£® à®áâ ¯® x_ .

Характеристики

Список файлов лекций