В.М. Тихомиров - Вариационное исчисление и оптимальное управление (1156154), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

 ¡®p®¬ ¬­®¨â¥«¥© ‹ £p ­ (®¡®§­ 祭­ë¬ ᨬ¢®«®¬ λ) §¤¥áì ï¥âáï ¯ p : ¢¥ªâ®p-äã­ªæ¨ïp : [t0 , t1 ℄ → (IRn )′ ¨ ç¨á«® λ0 .DZ¥à¥¬¥­­ë¥ x ¢ § ¤ çe (P4 ) ­ §ë¢ îâ ä §®¢ë¬¨, u | ã¯à ¢«¥­¨ï¬¨. DZ àã (x(·), u(·)), 㤮¢«¥â¢®pïîéãî ¤¨ää¥p¥­æ¨ «ì­®© á¢ï§¨x_ (t) = ϕ(t, x(t), u(t)) ¨ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬, ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¤®¯ãá⨬®© ¨«¨ ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¯à®æ¥áᮬ.‡ ¤ çã (P4 ) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ¯à®áâà ­á⢥Z = C 1 ([t0 , t1 ℄, IRn ) × C ([t0 , t1 ℄, IRr ),14¢ ª®â®à®¬ ä §®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ x(·) | ­¥¯à¥à뢭®-¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥®â®¡à ¥­¨ï ¨§ [t0 , t1 ℄ ¢ IRn , ã¯à ¢«¥­¨ï u(·) | ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ®â®¡à ¥­¨ï ¨§ [t0 , t1 ℄ ¢ IRr . ®à¬ ¢ Z ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª:k(x(·), u(·)kZ= max(kx(·)kC ([t0 ,t1 ℄,IRn ) , kx_ (·)kC ([t0 ,t1 ℄,IRn ) , ku(·)kC ([t0 ,t1 ℄,IRr ) ).‹®ª «ì­ë© íªáâ६㬠¢ ¯à®áâà ­á⢥ Z ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡ë¬ «®ª «ì­ë¬ íªáâ६㬮¬ ¢ § ¤ ç¥ (P4 ).

„ ¤¨¬ à §¢ñà­ã⮥ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥.„®¯ãáâ¨¬ë© ¯à®æ¥áá (xb(·), ub(·)) ­ §ë¢ îâ á« ¡ë¬ ¬¨(P4 ), ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®£®ε > 0 ¨ «î¡®£® ¤®¯ãá⨬®£® ¯à®æ¥áá (x(·), u(·)) â ª®£®, ç⮎¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4.­¨¬ã¬®¬ (¬ ªá¨¬ã¬®¬) ¢ § ¤ ç¥ ‹ £à ­ b(·), ub(·))kZ < ε,k(x(·), u(·)) − (x¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮:b(·), ub(·), ub(·)) (J (x(·), u(·)) ≤ J (xb(·))).J (x(·), u(·)) ≥ J (xŽâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à®á⥩è ï § ¤ ç ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ § ¤ ç¨ ‹ £à ­ . ‡ ¤ ç ‹ £à ­ ®å¢ âë¢ ¥â(¯®¬¨¬® ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨) ¬­®¥á⢮ ¤à㣨å, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¢ ਠ樮­­®¬ ¨áç¬á«¥­¨¨ (¨§®¯¥à¨¬¥âà¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨, § ¤ ç¨ á® áâ à訬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨ ¨ â. ¯.). ¯®¬¨­ ­¨ï. Œë ¡ã¤¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠¨á¯®«ì§®¢ âì á«¥¤ãî騥 १ã«ìâ âë ¨§ ⥮ਨ ®¡ëª­®¢¥­­ëå ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨©:1.

’¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠¢ § ¤ ç¥ Š®è¨.2. ’¥®à¥¬ ® ­¥¯à¥à뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ®â¯ à ¬¥â஢ ¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨©.3. ’¥®à¥¬ ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¯® ¯ à ¬¥âà ¬ ¨ ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨ï¬.4. ’¥®à¥¬ ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨¤«ï «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï.„ «¥¥ ¬ë 㯮âॡ«ï¥¬ ᮪p éñ­­ë¥ ®¡®§­ 祭¨ï:b x (t) = Lx (t, xb x_ (t) = Lx_ (t, xb(t), xb(t)), Lb(t), xb(t)), fbx (t) =b_ (t), ub_ (t), uL¨ â. ¤.b(t), ub(t))fx (t, x151. …Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸ(ãà ¢­¥­¨ï ©«¥à { ‹ £à ­ ). DZãáâì ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¢(P4 ) ¯à®æ¥áá (xb(·), ub(·)) ¤®áâ ¢«ï¥â ¢ í⮩ § ¤ ç¥ á« ¡ë© «®-’¥®à¥¬ 4§ ¤ 祪 «ì­ë© íªáâ६ã¬.’®£¤ , ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï £« ¤ª®áâ¨, á®-f , fx , fu , ϕ, ϕx ¨ ϕu ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ ®ªà¥áâ­®b(t), ub(t)) | t ∈ [t0 , t1 ℄}, â® áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«® λ0 ≥ 0{(t, x¢ á«ãç ¥ ¬¨­¨¬ã¬ ¨ λ ≤ 0 ¢ á«ãç ¥ ¬ ªá¨¬ã¬ , ¢¥ªâ®p-äã­ªæ¨ïp(·) ∈ C 1 ([t0 , t1 ℄, (IRn )′ ) (­¥ à ¢­ë¥ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î) â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë ãp ¢­¥­¨ï ©«¥p ¯® x:áâ®ï騥 ¢ ⮬, çâ®á⨠ªà¨¢®©−¨ ¯®u:d bb x (t) = 0 ⇔ p_ = −p · ϕbx (t) + λ0 fbx (t)Lx_ (t) + Ldtb u (t) = 0 ⇔ p(t) · ϕbu (t) = λ0 fbu (t).L„®ª § ⥫ìá⢮.(4a)(4b) ç «® ¤®ª § ⥫ìá⢠á室­® á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬â¥®à¥¬ë 2.1) DZ®áâ஥­¨¥ ᥬ¥©á⢠¢ ਠ権.Ž¡®§­ 稬 U = {ui (·)}Ni=1 , ui (·) | ¢¥ªâ®à-ä㭪樨 ¨§ C ([t0 , t1 ℄, IRr ).Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢ ਠæ¨î uα (·) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:b(·) +uα (·) = uα (·; U ) = uNXαi ui (·), α = (α1 , .

. . , αN ).=1Ž¯à¥¤¥«¨¬ xα (·; U ), ª ª à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­®£®ãà ¢­¥­¨ïx_ = ϕ(t, x, uα (·; U ), á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ x(t0 ) = x0 .‚ ᨫã ⥮६ áãé¥á⢮¢ ­¨ï, ¥¤¨­á⢥­­®á⨠¨ ­¥¯à¥à뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ®â ¯ à ¬¥â஢ äã­ªæ¨ï xα (·; U ) ¯à¨¬ «ëå α ®¯à¥¤¥«¥­ ­ ¢áñ¬ [t0 , t1 ℄.DZ®«®¨¬ig0 (α) = g0 (α; U ) = J (xα (·; U ), uα (·; U )) =Zt1t0f (t, xα (t; U ), uα (t; U ))dt.2) „¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ g0 (·; U ) ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¯à®¨§¢®¤­®©.‚ ᨫã â¥®à¥¬ë ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¯®¯ à ¬¥âà ¬ ¯®«ãç ¥¬, çâ® g0 (·; U ) ∈ D1 (0) ¨ ¯à¨ í⮬ ∂α∂ i g0 (0; U ) =R t1 bbt0 (fx (t)y (t; ui (·))+ fu (t)ui (t)))dt (i), £¤¥ y (·; ui (·)) | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï: y_ = ϕbx (t)y + ϕbu (t)ui (t), y (t0 ; ui (·) = 0 (ª®à४⭮ ®¯à¥¤¥«ñ­­®¥ ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï).163) DZ®áâ ­®¢ª íªáâ६ «ì­®© § ¤ ç¨.Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ gk (·) = gk (·; U ) k-âãî ª®®à¤¨­ âã ¢¥ªâ®à x(t1 ; U ) −x1 , 1 ≤ k ≤ m. áᬮâਬ § ¤ çã:g0 (α; U ) → min, gk (α; U ) = 0, 1 ≤ k ≤ m.(PU )Pm”ã­ªæ¨ï ‹ £à ­ (PU ) ¨¬¥¥â ¢¨¤: L(α, λ(U )) = k=0 λk (U )gk (α).ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 4 á«¥¤ã¥â, çâ® 0 ∈ IRN ï¥âáï «®ª «ì­ë¬ ¬¨­¨¬ã¬®¬ ¢ § ¤ ç¥ (PU ); ¨§ ⥮p¥¬ ® ­¥¯p¥p뢭®© § ¢¨á¨¬®á⨠᫥¤ã¥â,çâ® L(·, λ(U )) ∈ D1 (0).

ˆ§ ⥮६ë 3 á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®àλ(U ) (|λ(U )| = 1) â ª®©, çâ® Lα (0, λ(U )) = 0. â® ®§­ ç ¥â, çâ®0 = λ0 (U )Zt1t0(fx (t)y (t; ui (·)) + fbu(t)ui (t))dt+mXk=1λk (U ) · yk (t1 ; ui (·)).(iii)‘®¢®ªã¯­®áâì â ª¨å ¢¥ªâ®à®¢ | § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¥á⢮ m-¬¥à­®©áä¥àë Sm .4) DZਬ¥­¥­¨¥ «¥¬¬ë ® 業âà¨à®¢ ­­®© á¨á⥬¥. Ÿá­®, çâ® ¥á«¨¨¬¥¥âáï k ᥬ¥©á⢠¢ ਠ権, â® ¨§ ­¨å ¬®­® ®¡à §®¢ âì ¥¤¨­ãî¢ à¨ æ¨î, ¤«ï ª®â®à®© ¡ã¤¥â áãé¥á⢮¢ âì ¬­®¨â¥«ì ‹ £à ­ ­ Sm . DZਬ¥­ïï «¥¬¬ã ® 業âà¨à®¢ ­­®© á¨á⥬¥ (ᬠŠ®«¬®£®à®¢ ¨”®¬¨­ áâà. 108) ¯®«ã稬, çâ® ¨¬¥¥âáï ¥¤¨­ë© ¢¥ªâ®à λb = (λb 0 , λb′ ) =(λb 0 , λb1 , .

. . , λb n ) â ª®©, çâ®nXb i g ′ (0, u(·))λi=0¨«¨, ãç¨âë¢ ï (iii):i0 = λb 0Zt1t0=0∀u(·) ∈ C ([t0 , t1 ℄, IRr )(fx(t)y (t; u(·)) + fbu(t)u(t))dt+λb ′ · y (t1 ; u(·)) ∀u(·) ∈ C ([t0 , t1 ℄, IRr ). (iii)5) ‡ ¢¥à襭¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠.DZãáâì p(·) | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï «¨­¥©­®£® ãà ¢­¥­¨ï: −p_ =b 0 fbx (t), p(t1 ) = −λb ′ (ª®à४⭮ ®¯à¥¤¥«ñ­­®¥ ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ®bx (t) − λpϕáãé¥á⢮¢ ­¨¨ ¨ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï «¨­¥©­®£®ãà ¢­¥­¨ï).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, 㤮¢«¥â¢®à¨âáï ᮮ⭮襭¨¥ (4a) ⥮६ë.DZãáâì λb0 6= 0. ’®£¤ íâ®â ¬­®¨â¥«ì ¬®­® áç¨â âì ¥¤¨­¨æ¥©. DZ®¤áâ ¢«ïï ¢ (iii) ¢ëà ¥­¨¥ p_ · y (t; u(·) + pϕbx (t) ¨ ¨­â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬,¯®«ãç ¥¬ (4b). ‘«ãç © λ0 = 0 âਢ¨ «¥­.⊓⊔171. …Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸ‹ £à ­ ¯à¨¬¥­ï« ¬¥â®¤®«®£¨î, ®¯¨á ­­ãî ¢ ⥮६¥ 4, ­ 稭 ï á 1759 £®¤ . DZ¥à¢®¥ áâண®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮­¥®¡å®¤¨¬ëå ãá«®¢¨© íªáâ६㬠¢ ¤®áâ â®ç­® ®¡é¥© § ¤ ç¥ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï (á室­®© á § ¤ 祩 (P4 )) ¡ë«® ¤ ­® Œ ©¥à®¬ ¢ 1886£.RπRπDZਬ¥à 4.

J0 (x(·)) = 0 x2 (t)dt → max, J1 (x(·)) = 0 x_ 2 (t)dt = 1x(0) = x(π ) = 0.ˆáâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¬¥­â ਩.DZ®áâ㯨¬ \¯® ‹ £à ­ã", á®áâ ¢¨¢ äã­ªæ¨î ‹ £à ­ ¨ ¯à¨¬¥­¨¢(ª ¯®«ã祭­®© ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¥) ãà ¢­¥­¨¥ ©«¥à . (‘¯à ¢¥¤«¨¢®áâì í⮣®¯à¨ñ¬ ®¯à ¢¤ë¢ ¥âáï ⥬, çâ® ¢¢¥¤ï ­®¢®¥ ¯¥p¥¬¥­­®¥Ry (t) = 0t x2 (τ )dτ ¨ ¯p¨¬¥­ïï ⥮p¥¬ã4 ¯®«ã稬 â® ¥ á ¬®¥.) ”ã­ªRπæ¨ï ‹ £à ­ : L(x(·), λ0 , λ1 ) = 0 (−λ0 x2 (t) + λ1 x_ (t))dt, λ0 ≥ 0. “p ¢­¥­¨e ©«¥p â ª®¢®: x + λx = 0 («¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® λ0 6=0). Šp ¥¢ë¬ ¨ ¨§®¯¥p¨¬¥âp¨ç¥áª®¬ã ¤ ­­ë¬ 㤮¢«¥â¢®pïîâ ä㭪樨 t 7→ kπ2 sin kt, k ∈ IN. Œ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¤®áâ ¢«ï¥â äã­ªæ¨ït 7→ π2 sin t.1.5.‡ ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï.

DZਭ樯¬ ªá¨¬ã¬ DZ®­âà­ •‚ ¯ï⨤¥áïâë¥ £®¤ë ¤¢ ¤æ ⮣® ¢¥ª ¬­®£¨¥ â¥å­¨ç¥áª¨¥ § ¤ ç¨(¢ ç áâ­®áâ¨, § ¤ ç¨ ª®á¬¨ç¥áª®© ­ ¢¨£ 樨) ᯮᮡá⢮¢ «¨ à áè¨à¥­¨î ⥬ ⨪¨ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï. Ž­® ¢ëà §¨«®áì ¢â®¬, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­®£® ®£à ­¨ç¥­¨ï áâ «¨ à áᬠâਢ âì ®£à ­¨ç¥­¨ï ­ ã¯à ¢«¥­¨ï ⨯ ¢ª«î祭¨© u(t) ∈ U .’ ª®£® த ®£à ­¨ç¥­¨ï á¢ï§ ­ë á ®£à ­¨ç¥­­®áâìî à¥áãàᮢ ¢§ ¤ ç å ã¯à ¢«¥­¨ï (ª®£¤ ­ ª« ¤ë¢ îâáï â¥å­¨ç¥áª¨¥ ®£à ­¨ç¥­¨ï ­ ᪮à®áâ¨, ã᪮७¨ï, § ¯ áë ⮯«¨¢ ¨ â.

¯.). ’¥®à¨ï § ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à ¢«¥­¨ï ¡ë« à §à ¡®â ­ ¢ ®áᨨ ¢ 誮«¥‹. ‘. DZ®­âà­ .DZãáâì U ⊂ IRr , f : IR × IRn × U → IR, ϕ : IR × IRn × U → IRn äã­ªæ¨ïn + r + 1 ¯¥p¥¬¥­­®£® ¨ ®â®¡à ¥­¨¥ ¨§ IR × IRn × U ¢ IRn (f = f (t, x, u),ϕ = ϕ(t, x, u)). áᬮâp¨¬ § ¤ çã:J (x(·), u(·))=Zt1t0f (t, x(t), u(t))dt → min,x_ = ϕ(t, x, u), x(ti ) = xi , i = 0, 1(P5 )18(§ ¤ ç á § ªà¥¯«ñ­­ë¬¨ ª®­æ ¬¨).

â® | § ¤ ç ®¯â¨¬ «ì­®£® ã¯à r¢«¥­¨ï (­ ¯®¬­¨¬, çâ® ¥á«¨ U = IR , â® § ¤ ç (P5 ) ­ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩‹ £à ­ ¢ ਠ樮­­®£® ¨áç¨á«¥­¨ï).R”ã­ªæ¨î L((x(·), u(·)), λ) = tt01 L(t, x(t), x_ (t), u(t))dt, £¤¥ ¨­â¥£à ­âL(t, x, x,_ u) = λ0 f (t, x, u) + p(t) · (x_ − ϕ(t, x, u))­ §®¢ñ¬ ä㭪樥© ‹ £p ­ § ¤ ç¨ (P5 ).  ¡®p®¬ ¬­®¨â¥«¥© ‹ £p ­ (®¡®§­ 祭­ë¬ ᨬ¢®«®¬ λ) §¤¥áì ï¥âáï ¯ p : ¢¥ªâ®p-äã­ªæ¨ïp : [t0 , t1 ℄ → (IRn )′ ¨ ç¨á«® λ0 ≥ 0.DZ à ä㭪権 (x(·), u(·)) ¤®¯ãá⨬ ¢ § ¤ ç¥ (P5 ), ¥á«¨ ¢ â®çª å­¥¯p¥p뢭®á⨠u(·)㤮¢«¥â¢®pï¥âáï ¤¨ää¥p¥­æ¨ «ì­ ï á¢ï§ì x_ (t) =ϕ(t, x(t), u(t)) ¨ ªp ¥¢ë¥ ãá«®¢¨ï: x(ti ) = xi , i = 0, 1. „®¯ãá⨬ãî ¯ àã(x(·), u(·)) ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¤®¯ãáâ¨¬ë¬ ¯à®æ¥áᮬ.‡ ¤ çã (P5 ) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ¯à®áâà ­á⢥ P C ([t0 , t1 ℄, IRr )ªãá®ç­®-­¥¯à¥à뢭ëå ®â®¡à ¥­¨© ¨§ [t0 , t1 ℄ ¢ IRr (P | ®â á«®¢ pievise| ªãá®ç­ë©, á®áâ ¢«¥­­ë© ¨§ ªã᪮¢).b(·)) ­ §®¢ñ¬ ᨫì­ë¬ ¬¨b(·), uŽ¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.

„®¯ãáâ¨¬ë© ¯à®æ¥áá (x­¨¬ã¬®¬ ¢ § ¤ ç¥ (P5 ) ¨«¨ ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ, ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ç¨á« ε > 0 ¨ «î¡®© ¤®¯ãá⨬®© ¯ àë (x(·; u(·)), u(·)) â ª®©, çâ®b(·)kC ([t0 ,t1 ℄,IRn ) < ε, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮:kx(·; u(·)) − x(·; ub(·)).J (u(·)) ≥ J (uˆ¬¥¥â ¬¥á⮒¥®à¥¬ 5 (­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ãá«®¢¨ï ¬¨­¨¬ã¬ ¢ § ¤ ç¥ ®¯â¨¬ «ì­®£®ã¯à ¢«¥­¨ï ¢ « £à ­¥¢®© ä®à¬¥). DZãáâì ¤®¯ãáâ¨¬ë© ¯à®æ¥áá(xb(·), ub(·)) ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ. ’®£¤ , ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ëf , fx , ϕ ¨ ϕx ­¥¯à¥àë¢­ë ¢b(t), U ) | t ∈ [t0 , t1 ℄} ⊂ IR × IRn × U , â® áã{(t, xn ′1¨ ¢¥ªâ®p-äã­ªæ¨ï p(·) ∈ P C ([t0 , t1 ℄, (IR ) ) (­¥ãá«®¢¨ï £« ¤ª®áâ¨, á®áâ®ï騥 ¢ ⮬, çâ®®ªà¥áâ­®á⨠¬­®¥á⢠é¥áâ¢ãîâ ç¨á«®λ0 ≥ 0à ¢­ë¥ ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î) â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë ãp ¢­¥­¨ï ©«¥p ¯®x:d bb x (t) = 0 ⇔ p_ = −pϕbx (t) + λ0 fbx (t)Lx_ (t) + Ldt¬¨­¨¬ã¬ ¯® u:−¨ ãá«®¢¨¥b (τ ) ⇔b(τ ), xb_ (τ ), u) = LminL(τ, xub(τ ), v ) − p(τ ) · ϕ(τ, xb(τ ), v ) ≥ λ0 fb(τ ) − p(τ ) · ϕb(τ ) ∀v ∈ U.λ0 f (τ, x¤«ï «î¡®© â®çª¨τ­¥¯p¥p뢭®áâ¨b(·).u(5a)(5b)191.

…Ž•Ž„ˆŒ›… “‘‹Ž‚ˆŸ‚ 誮«¥ DZ®­âà­ ⥮६ 5 ¡ë« áä®à¬ã«¨à®¢ ­ ¢ à ¢­®á¨«ì­®© £ ¬¨«ìâ®­®¢®© ä®à¬¥. DZਢ¥¤ñ¬ ¥ñ. Ž¡®§­ 稬 H = H (t, x, p, u) =p · ϕ(t, x, u) − λ0 f (t, x, u). ’®£¤ , ¥á«¨ ¯à¨ ãá«®¢¨ïå £« ¤ª®á⨠¢ ⥮६¥ 5, ¯ à (xb(·), ub(·)) ï¥âáï ®¯â¨¬ «ì­ë¬ ¯à®æ¥áᮬ, â® ­ ©¤ãâáïp(·) ∈ P C1 ([t0 , t1 ℄, (IRn )′ ) ¨ λ0 ≥ 0, ­¥ à ¢­ë¥ ­ã«î ®¤­®¢à¥¬¥­­®, ¨â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ᮮ⭮襭¨ï:x_ = ∂H⇔ x_ = ϕ,∂p∂H−p_ = ∂x⇔ (5a),maxu H (t, xb(t), p(t), u) = Hb (t) ⇔ (5b).â®â १ã«ìâ â ­ §ë¢ î⠯ਭ樯®¬ ¬ ªá¨¬ã¬ DZ®­âà­ .1) DZ®áâ஥­¨¥ ᥬ¥©á⢠¢ ਠ権. áᬮâp¨¬ \¯ ª¥â ¨£®«®ª", ¯®à®¤¥­­ë© ­ ¡®àa¬¨ {α i }Ni=1 αi ∈IR+ ¨ N 1 = N (τ , v) = {(τi , vi )}Ni=1 , , t0 < τ1 ≤ τ2 ≤ .

Характеристики

Список файлов лекций