Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если задан перепад давлений, под которым движется жидкость, то в качестве определяющих параметрои удобнее взять величины: р,р,ии1= Рг В этом случае режим движения определяется безразмерным па- раметром где безразмерная постоянная Св зависит от формы поперечного сечения трубы.
Для круглой трубы Се= —. Формула (7) составляет закон Пуазейля, установленный зкспериментально Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. 'Корошее согласование этого закона с опытами является одйим из главных подтвержлений правильности закона вязкого трения в жидкости я исходной схематизации явления. 5 11. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ЖИДКОСТИ. Схематязация задачи о движении самолата, подводной лодки и т. п. приводит к задаче о поступательном движении тззрдого тела с постоянной скоростью внутри безграничной массы жидкости, заполняющей все пространство вие тела.
Фиксируем геометрическую форму ; поверхности, ограничивающей тело, : тогда для полного задания поверхности 1 тела достаточно задать некоторую характерную длину А Рассмотрим совокупность поступательных движений тела, паралельных некоторой неподвижнойплоскости. Оборьс ч значим через о и а скорость движения и угол,. который определяет направление скорости (рис. 5); величины о и к, могут быть различными для разных движений. Допустим далее, что жидкость можно считать несжимаемой.
Свойства инерции и вязкости жидкости будем принимать во внимание. Нрнмем для простоты, что массовые силы отсутствуют. Распределение давлений на поверхности тела и суммарные силы, действующие со стороны жндкости на тело, зависят от состояния возмущйнного движения жидкости. Для тела заданной формы установившееся состояние движения жидкости определяется системой пяти параметров '): л, о, а, р, р.
') Давление в бесконечности рь которое можно задать произвольно, не вводится в зту систему параметровпо следующей причине. Жидкость несжнмаема, поэтому изменение ре не может оказать влияния на поле скерсстея. Вместо величины полного давления р всегда можно рассматривать только разностьдавлевиа р — ль Отсюда очевидно, что величина ре несущественна, и поэтому ее не нужно вводить в качестве определяющего параметра. Однако, когда движение жидкости может сепро- 40 Все безразмерные механические величины; связанные с состоянием движения жидкости, можно рассматривать как .фуикпди б — 3 = 2 безразмерных параметров: угла атаки и и числа Рейнольдса ' ' — .й.
опр Обозначим через %'силу, действующую со стороны жидкости на тело (для дальнейших рассуждений безразлично, будем ли мы понимать под Фгполную силу сопротивления или же одну из еб составляющих: лобовое сопротивление, иаправленное противоположно скорости движения, или подъбмиую силу, направленную перпендикулярно к скорости). Из общей теоремы теории размерностей вытекает что безразмерная величина — является функцией угла %' Э Рдтот и и числа Рейнольдса 11. Поэтому Яг= рбэвтЯа, Й). (1) Определение функции)г(а,й) составляет важнейшую задачу теоретической и экспериментальной аэродинамики и гидромехаиики. Очевидно, что для взятой системы параметров влияние вязкости на движение сказывается только через посредство влияния числа Рейнольдса.
$ Из вида формулы' й= — можно сделать 'некоторые общие опр заключения о роли вязкости жидкости при увеличении скорости 'или' размеров тела. Например, при увеличении скорости движения или линейных размеров тела число Рейнольдса увеличивается. Но для сохранения роли вязкости число Рейнольдса должно оставаться постоянным, так как всякое изменение числа Рейнольдса можно относить за счбт изменения коэффициента вязкости; если произведение титр увеличивается, то для постоянства числа Рейнольдса необходимо увеличить коэффициент' вязко=ти р.
Следовательно, при одной и той же скорости тела движение мзда ~большое — ~, р'т Р вызванное движением большого тела, аналогично. движению воды (.) малое — р вызванному движением малого тела, Или движение тела ° Р1 Р в мзде с большой скоростью аналогично движению того же тела в воде с малой скоростью. Аналогия движений выражается в том, что все безразмерные величины для' этих движений одинаковы. вождаться явлением кавнтации, которое связано с возникновением испарения жидкости в областях пониженного давления, то в число опредедяющпх параметров необходима включить величину ре — р', где р' есть упругость паровжидкости прн данной температуре.
для сжямагзгоа жидкости в число определяющих параметров несбходимо включить величину ре или другой параметр, который комет заменить ро 41 М. в 2 и о А к й, К З й О, М е ~О й" х Э О И И з М О. ° ~ $4 М с> о ь~И" Ы Х- $ Ю Ю Ю Ю й О о Я ы Ф О. В Ю С~ Ф3 а ! Ф $ и М о О о Далее, иэ этих соображений очевидно также, что врн движения тела в одной н той же жидкости эффект вязкости падает с увеличением скорости м размеров тела э). Теоретические иссле.дования н экспериментальные данные показывают; что прн больших аначениях числа Рейнольдса роль вязкости' жндкостн умень-' неб шается н в некоторых случаях становится несущественной.
П регая вязкостью, т. е. полагая р = О, мы приходим к понятию идеальней кндкостн. В с задачах о движении тела н ндеальной жидкости число определяющих параметров сокращается до четырйх: 4э» Рэ э В идеальной жидкости все безразмерные характернстнкн определяются углом атаки и, поэтомуформула (1) заменяется формулой; Ф 3Г= рбэвэЯв). (2) Слеловательно, прн движении тела в несжимаемой идеальной жндэ' Ф'Ю'М" костя силы, действующие на тело ы -э со стороны жидкости, пропорциональны квадрату 'скорости.
Для вязкой жидкости прн достаточно больрис. 8. Типичные кривые эээиснмостн ет угла атаки э шом значении числа Рейнольдса этот кчэффняиентов подъемвойсилы закон справедлив- прнблнжйнно. 2А Для тел различной формы функэа*'~ э э н сопротивления цнн у(„1э) н у (е) в ф (1) 21р н (2) эазнсят, помимо угла атаки, ДЛ дээ э"ы"э ( пло существенным образом от отвлечйнщадь крыла). ных параметров, ойределяющих гео- метрическую форму тела.
На фнг. б н 7 представлены экспериментальные данные о зависимости коэффмцнента сопротивлення от числа Рейнольдса. На фяг. 8 показан характер влияния угла атаки на сопротявленне н на подъймную силу крыла. Рассмотрим теперь случай весьма медленных двнженнй тела, соответствующий малын значениям числа Рейнольдса. При уменьшения числа Рейнольдса роль снл вязкости увеличивается. Если мы пренебрежзм силами инерции по сравнению с силами вязкости, то это равноснльно допущению о несущественности параметра р. В этом случае системой определяющих пара- 9 В денном случае мы прянимэем, что пря прочнх равных условиях эффект еяэкостя падает с умеяьшеннем коэффициента еяэкостн.
44 метров служат четыре параметра: И, е, Ф, р» 'поэтому все безразмерные характеристики будут зависеть также только от угла атакя а. Следовательно: 1эг Р й>Яа). (з) Отсюда очевидно, что сопротивление и подъймная сила пропорциональны'скорости, коэффициенту вазкости и яинейному масштабу й. Этот закон, который можно назвать законом Стокса, т~н. зги Ф ю/жщз Рзс. 9. Коэффициент сопротивления шара пря малых эвэчеяяах числа Рейвольдса. хорошо согласуется с опытами арн малой скорости двнжения малых тел, например при оседаник мелких частиц в жидкости. Для шара функция Гэ(а) = сонат. с, т.
е. не зависят от угла а. Теоретическое значение коэффициента с для медленных движений шара прн указанных допушениях (которые сводятся к пренебрежению в уравнениях Навье-Стокса инерционными членами) было вычислено Стоксон; оно оказалось равным с = Зн (И†, диаметр шара). чб ' 'аким образом, мы видим, что теория размерностей позволяет выяснить вид функции г(и, И) в зависимости от числа Рейнольдса И, при весьма малых и весьма больших значениях числа Рейнольдса.
При И-+ со мы приходим к идеальной жидкости, в этом случае функция у(а, И) стремнин к некоторой функции у,(а), независимой от числа Рсйнольдса. Режимы движения, соответствующие малым значениям числа Рейиольдса, характеризуются .тем, что вязкость жидкости имеет основное значение, а свойство инерции второстепенное — большие значения для р, малые †д Р.
В пределе при р = О справедлива формула (3); принимая р у- О, из втой формулы получим: нлИр ' Отсюда следует, что для малых значений числа Рейнольдса должна быть справедлива формула вида У(н,И)= — '„.. (4)- Это соотношение представляет собой следствие закона Стокса. Сопоставление опытных данных с 'законом Стокса для шара представлено на рис. 9. С помощью теории размерностей мы установили, что если пренебречь инерционными членами в уравнениях Навье-Стокса, то закон Стокса (3) справедлив для тел любой формы. Функцию )н(а) можно определить экспериментально или тео* ретически, решая упрощвнные уравнения Навье-Стокса. ф 12, ТЕПЛООТДАЧА ТЕЛА В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ.
В 1915 г. Репей применил теорию размерности к задаче Буссннеска о передаче телом тепла жидкости, сбтекающей тело'). В дальнейшем рассуждения Релея послужили предметом замечаний ряда авторов з), но вопросы, поставленные в этих замечаниях,- остались невыясненными. Рассмотрим подробно все обстоятельства, возникающие при приложении теории размерностей к этой задаче. Постановка задачи заключается в следующем: имеется установившийся процесс перехода тепла от тела заданной фиксированной формы к жидкости, заполняющей всй пространство вне тела неподвижно, жидкость обтекает тело и на достаточно б расстояниях впереди от тела движется поступательно с пос скоростью и.
') й а у 1е1 6 5, Ма1нте, 1915, стр, 66. з) р я б у ш и н с н и й, г)а1нге, 1915, стр. 591; й а у 1 е 1 6 Ь, Мз1 стр. 644; Бр иди вен, Анализ размерностей, ОНТЙ 1934. 46 Пусть Н есть количество теплбты, отдаваемое телом в единицу времени. Предполагая жидкость идеальной и несжимаемой, Релей рассуждает так: величина Н определяется аначениями следующих параметров: характерного размера 1 тела; скорости и жидкости вдали от тела, градиента 9 температуры, равного разности между температурой тела и жидкости вдали от тела, причзм предполагается, что температура тела поддерживается постоянной, теплойм-. кости с единицы объвма жидкости и коэффициента теплопроводяости й жидкости. Следовательно, можно написать: Н-т, о, й. с. ~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
