Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская зодосливы с 1 азличными углами а. В этом сльчае система определяющих параметров дополняется углом а, и формула (1) примет вид Я = С(а) рй'/'Ь/', (2) т. а. коэ)рфициент С будет зависеть от угла е. Если водослив имеет прямоугольную форму с шириною Ь, то системой определяющих параметров будет р, я; «, Ь. Все безразмерные величины определяются параметром —.
Фор. и ь' мула (1) в этом случае заменится следующей: // у( ) р~/в«Ь Функцию У~ — ~ можно определить опытным /ит ~ь/ мне через водослив различной ширины Ь, 34 (3) путам, наблюдая тече- но с постоянным Ь. Определив таким способом функцию у'~ — ), формулу ($) можно. /4т применять к случаям постоянной ширины Ь =сопз1, но с различным напором й, т. е. к случаям, в которых опыт не производился. Этот пример показывает, что соображения, полученные с помощью метода размерностей, могут приносить большую пользу прн постановке опытов, позволяя 'ограничивать их количество н получать благодаря этому экономию не только в средствах, но н во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах изменением других величин.
На основе опытов, произведзнных с водой, монсно дать нсчерпывпощне ответы о явлении вытекания нефти, ртути н т. д. $10. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ. ' Большое значение методов теории размерностей н подобия выясннлось впервые с особой ясностью в гидравлике, при изуче- ния' движения жидкости в трубах. Несмотря на практическую важ- ность н на простоту соображений теории размерностей, их при- менение к задачам гидравлики, прннвсшее огромную пользу н составившее крупный шаг вперэд в истории.гидравлики, произошло только в конце 19-го века после знаменитых работ Осборна Рейнольдса').
1 ! Долгое время в гидравлике пользовалнсь многочисленны- -,' мн эмпирнческимн формулами, Рис. 3. предложенными различными авторамн' Эти формулы содержали ряд размерных постоянных, значение которых определялось частйыми условиями опытов и свой- ствамн жидкостей. Соображения теории размерностей вместе с более чисткой н общей постановкой задачи позволпин согласовать н объединить многие эмпирические законы, найденные для движения различных жидкостей при разной температуре в трубах с различными дна- метрамн н с различными скоростями движения. Схематнзнруем и поставим задачу. Класс движений мы определим следующнмн условиями.
Трубы — цилиндрические, с одинаковой форяой поперечного. сечения (рнс. 3). Следовательно, труба н ез поперечное сечение полностью определяются заданием плошади сечения нлн заданнем какого-нибудь характерного лннейного «) ке у п о18з, Рвй. Тгапв йоу. Зос., 1883 н 1888; см. также Сборник ° Проблемы турбулентностн», ОНТИ, 1936. 35 размера и. Для круглых труб в качестве «арактерного размера обычно берется радиус или диаметр. Длина труб достаточно велика, поэтому можно йе учитывать есобенностей движения на концах трубы.
Идеализируя явление, мы примем, что трубы имеют бесконечную длину. Относительно рассматриваемого движения жидкости мы предположим, что оно установившееся. далее мы допустим, что свойство сжимаемости в изучаемых процессах несущественно, поэтому мы будем рассматривать движение несжимаемой жидкости. Свойства инерции и вязкости жидкости, характеризуемых плотностью р и коэффициентом вязкости р, мы примем во внимание. Так как коэффициент вязкости зависит от температуры, то, учитывая эту зависимость, мы учтйм также влияние температуры '). Для определения движения жидкости достаточно ещй задать либо перепад давления вдоль трубы, либо расход жидкости в единицу времени через поперечное сечение трубы, либо среднюю скорость и жидкости по сечению трубы и т.
п. Следовательно, труба, жидкость и состояние движения жидкости в целом определяются системой параметров р, р, а, и. Все механические характеристики движения являются функцнямн этих параметров. Рассмотрим, например, падение давления вдоль трубы. Падение давления на .единицу длины трубы представлчется велячиной Р1 Ря где Рт и Ря сУть давлениЯ в сечениЯх тРУбы, отстоЯщих дРУг от друга на расстоянии !.
Комбинация яя» ф Рг — Ря 2а является безразмерной величиной и называется 'коэффициентом сопротивления трубы. Сопротивление участка трубы длиной ! представится в виде Р=гр — Р)~=Ф вЂ” ~ 1 рия а где 8 есть площадь поперечного сечения трубы. ') Мы имеем здесь в виду учат температуры в яредположевян, что еа модно считать постоянной во всей массе жидкости. 36 Из четырех определ рааовать только одну н и и а Ф х е пример, цо опытным данныи о движении воды можно в ряде случаев (когда несущественна сжимаемость, т.
е. при скоростях, й ° а ° р — й, которая называется числом Рейнольдса. Все безразмерные величины, зависящие от указанных четырех параметров, являются функциями числа Рейнольдса. В частности, Ф=Ф (В) (2) Задачи об определении сопротивления трубы или об определении расхода жидкости, в зависимости от перепада давления, сводятся к отысканию функциональной зависимости Ф (и).
Эту функцию можно найти зкспериментальным путам, измеряя сопротивление в зависимости от ско рости (или от расХода протекающей жидкости) при движении воды в одной какой-нибудь трубе. Полученные результаты можно использовать нрн рассмотрении движения других жидкостей и в трубах с другими диаметрами. Так, на- яющих параметров р, р, а, и и можно об- езязисимую безразмерную комбинацию й и- ' х и ха М у х х х ь й хх х х х ь х Р Ю ь аи О х в '„-н ч хщ ь -,ь ь ех ьх х~ и о з х хх Ь хх И х ь х О, 2 и х х х х и ч О, х х " О) ьь а- значительно меньших скорости звука) решить многие вопросы о движеиии в трубе воздуха и т.
гь (рис. 4).' Опыт показывает, что движение жидкости в трубе происходит при двух рез1со различающихся между собой режимах — ламинарном режиме и турбулентном режиме, При ламинарном движении в цилиндрической трубе частицы жидкости движутся по прямым, параллельным образующим трубы; при турбулентпом движении имеется беспорядочное перемешиваиие жидкости в направлении, перпендикулярном к образующим 'трубы.
Турбулентный поток можно рассматривать только как в среднем установившееся движение. В ряде случаев ламинарное движение жидкости в трубе обладает слабой устойчивостью или вообще неустойчиво и уступает место турбулентному движению. Свойство устойчивости представляет собой характеристику . движения жидкости в целом, поэтому для гладких труб это свойство должно определяться числом Рейнольдса й. Опыт хорошо.
подтверждает этот вывод. Для малых значений чисел Рейнольдса ламинарное движение устойчиво, для большх — неустэйчизо. Резгим движения определяется числом Рейиольдса. Граница устойчивости ламинарного движения характеризуется некоторым значеиием числа Рейиольдса, которое называется критическим. Для круглых цилиндрических труб критическое значение числа Рэйнольдса имеет порядок й„р —— 1 000 в 1 800. Ламинарный режим характерен для движений очень вязкой жидкости с малыми скоростями в трубах с малыми диаметрами (иапример, в капиллярных трубках). Турбулентный режим характерен для движений жидкости с малой вязкостью, происходящих с большой скоростью в трубах с большими диаметрами., Опытные данные показывают, что функция ф(м) имеет две ветви, одна из которых соответствует ламинарному, а другая — турбулентному режимам ' движения.
Вблизи критического значения числа Рейнольдса имеется некоторая переходная область. При ламинарном движении в цилиндрической трубе все частицы жидкости движутся по прямым линиям, пзраллельнцм оси трубы, с постоянной скоростью, т. е. с ускорением, равным нулю. Это движение жидкости в трубе называется течением Гагена-Пуазейля. Свойство инерции жидкости, представляемое параметром р,.могкет сказаться только тогда, когда ускорения отличны от нуля '), поэтому при ламинарном движении сопротивление не должно зависеть от р.
Следовательно, при ламинарном движении правая часть в равенстве (1) не должна зависеть от р, отсюда получаем, что при лами- а) Как известно, з уразиезиях движения паотиесть и ускорение зхо дат только в произведения. 38 ргае — =Л Из формулы (1) нетрудно видеть, что 2 (б) Это соотношение дает зависимость у от К через функцию ф (К). Обозначим через Е:и8 объйм жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы (так называемый объемный расход трубы). Безразмерная комбинация — = й-а Ор 8 иа а является функцией величины 1, т.
е. а= — ",,у(л. Вид функции у(г) для ламинарного движения На осйовании формул (3) и 16) находим'. 2 8 1аа га4 С аа н легко определить. парном движении функция ф(й) имеет вид с с~ (з) к раи где С есть безразмерная постоянная, определяемая геометрической формой поперечного сечения трубы. Для круглой трубы С легко вычисляется теоретически: С= 16 (и — радиус трубы).
Следовательно, в случае ламинарного движения для сопро- тивления трубы получается формула 1 8 Р = - — Ср1и = С, р1и, 2 аг (4) где С~ есть безразмерная постоянная, завнсящая,от формы по- перечного сечения трубы. ,~Рормулу (4) легко получить непосредственно, если взять в качестве определяющих параметров только три 'величины: а, р и и учесть ещй, что Р пропорционально 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
