Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 6
Текст из файла (страница 6)
~ь Очевидно, что в соотношении 13) систему безразмерных параметров Па, Па,..., П„„можно, изменяя внд функцни ~', заменять другой системой безразмерных параметров, являющихся функциями п — й параметров П„..., П„ НетРУдно видеть, что нз'и паРаметРов аы ая, Йя! средн которых имеется не более л параметров с незавнснмымн Размерностямн, нельзя составить больше и — й независнмых безразмерных степенных комбинаций. Это непосредственно вытекает нз вывода соотношения (3), если за величину а мы примем любую выбранную безразмерную комбинацию, определяемую величннами эм а„ ..., а„. Всякое физическое соотношение между размернымн величинами можно сформулировать как соотношение между безраэмернымн величинами.
В этом, собственно, н заключается источник полезных приложений .метода теории размерностей к исследованию механических задач: Чем меньше число параметров, определяющих изучаемую величину, тем больше ограничена функциональная зависимость н тем проще вести исследование. В частности, если число основных единиц измерения равно числу определяющих параметров с независимыми размерностями, то с помощью теория размерностей эта зависимость полностью определяется с точностью до мультиплнкативной постоянной. . В самом деле, если и = л, т. е. лсе размерности независимы, то из параметров а„ а, ..., а„ нельзя образовать безраэмерной комбинации, н поэтому функциональная зависимость (3) может быть представлена в виде а=за 'а,,'... а ", 1 где с есть безразмерная постоянная, а показатели гл„ш,,..., и„ легко определяются с помощью формулы размерности дйя а.
'!то же касается безразмерной постоянной л, то .еэ можно определить либо опытом, либо теоретически, решая соответствующую математическую задачу. Очевидно, что теория размерностей приносит тем ббльшую'пользу, чем больше мы можем выбирать основных единиц измерения: Выше мы видели, что число основных единиц измерения можно выбирать произвольно, однако увеличение числа основных единиц связано с введением дополнительных физических постоянных, которые также должны фигурировать среди определяющих параметров.
Увеличивая число основных единиц измерения, мы увеличиваем число размерных постоянных; в общем случае разность и+ ! — й, 26 равная числу безразмерных параметров, в которых формулируется физическое соотношение, остазтся постоянной. Увеличение числа основных единиц измерения может приносить пользу только и том случае, когда из дополнительных физических соображений ясно, что физические постоянные, возникающие прм.
введении новых основных единиц измерения, несущественны. Например, если мы рассматриваем явление, в котором имеют место механические и тепловые процессы, то для измерения количества тепла и механической энергии мы можем ввести две различные единицы измерения †калор и джоуль, но при этом необходимо ввести в рассмотрение размерную постоянную 1 в механический эквивалент тепла. Допустим теперь, что мы рассматриваем явлеиие теплопередачи в движущейся несжимаемой идеальной жидкости. В етом случае пе происходит превращения тепловой энергия в мехапическую или обратно, и поэтому тепловые и механические процессы будут протекать независимо от значения механического эквивалента тепла.
Если бы мы располагали возможностью изменять величину механического эквивалента тепла, то это никак ие сказалось бы' на значениях характерных величин. Следовательно, в рассматриваемом случае постоянная у не войдзт в физические соотношения, и увеличеиие числа основных единиц измерения позволит получить с помощью теории размерности дополнительные зажиме сведения. В дальнейшем мы проиллюстрируем эти выводы на примерах, 5 71 ПАРАМЕТРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ КЛАСС ЯВЛЕНИЙ.
При всяком изучении механических явлений мы начинаем со схематизации и с выделения основных факторов, определяющих интересующие нас величины. Правильная схематизация очень часто йредставляет собой трудную задачу, требующую от исследователя большого опыта, интуиции и предварительного качественного выяснения механизма изучаемых процессов.
Сущность некоторых задач заключается в проверке правильности гипотез, справедливость которых более или менее вероятна. Свойства тел и элементарные физические законы, которые играют существенную роль и управляют явлением, характеризуются рядом величин, которые могут быть размерными или безразмерными, переменными или постоянными. Механическая система и ее состояние движения определяются рядом размерных и безразмерных параметров и функций. Рассматривая совокупйость различных механических систем, совершающих некоторые движения,'мы всегда можем ограничить соответствующим образом класс допустимых систем и движений так, чтобы конкретная система и ез движение определялись конечным 27 числом размерных н беаразмерных параметров. Ограниче ние класса допустимых систем и движений всегда может быть достигнуто дополнительными требованиями о фиксировании отвлеченных параметров и в безразмерной форме вида задаваемых функций задачи.
Теория размерностей позволяет получить выводы, вытекающие из возможности применять для описания физических закономерностей произвольные или специальные системы единиц измерений. Поэтому при перечислении параметров, определяющих класс движений, необходимо указывать все размерные параметры, связанные с существом явления, независимо от того, сохраняют ли эти параметры фактически постоянные значения (в частности, это могут бйть физические постоянные) или они могут изменяться для различных движений выделенного класса.
Важно, что размерные параметры могут принимать разные численные значения в различных системах единиц измерения, хотя вЬзможно и одинаковые для всех рассматриваемых движений. Например, при рассмотрении движений, в которых вес тел существенен, мы обязательно должны учитывать в качестве физической размерной постоянной ускорение силы тяжести л, хотя величина а постоянна для всех реальных движений. После того как ускорение силы тяжести и введено в качестве определяющего параметра, мы можем, ничего не усложняя, искусственно расширять класс движений путам введения в рассмотрение движений,.в которых ускорение л принимает различные значения.
В ряде случаев подобный призм позволяет получить практически ценные качественные выводы. Как находить систему параметров, определяющих класс явлений ? Таблицу основных параметров, определяющих явление, всегда легко выписать, если задача сформулирована математически. Для этого нужно отметить все размерные и безразмерные величины, которые необходимо и достаточно задать для того, чтобы численные значения всех искомых величин определялись уравнениями задачи. В ряде случаев таблицу определяющих параметров можно составить, не выписывая уравнений задачи. Можно просто установить те факторы, которые необходимы для полного определения искомой величины, численные значения которой иногда возможно находить только экспериментально. При составлении системы определяющих параметров необходимо, как и при составлении уравнений задачи, схематизировать явление.
Тем не менее, для применения теории размерностей нуягно знать меньше, чем для составления уравнений движения механической системы. Для одной и той же системы определяющих параметров могут быть различные уравнения движения. Ураяненяя движения не только показывают, от каких параметров зави- сйт искомые величины, но содержат в себе потенциально также все функциональные связи, определение которых составляет математическую задачу.
Из этих соображений очевидно, что теория размерностей по существу ограничена. С помощью одной только теории размерностей мы не можем определить функциональных соотношений между безразмерными величинами. Выводы теории размерностей не могут измениться, если мы будем изменять уравнения движения путям умножения различных членов уравнений задачи на некоторые положительные или отрицательные безразмерные числа или функции,.зависящие от системЫ определяющих параметров. Подобные вцдоизменения уравнений могут существенно влиять на характер физических закономерностей ').
Всякую систему уравнений, заключающую в себе математическую запись законов, управляющих явлением, можно сформулировать как соотношение между безраэмерными величинами. Все выводы теории размерностей будут сохраняться при любом изменении физических законов, представленных в виде соотношений между одними и теми же безразмерными величинами. Система определяющих параметров должна обладать свойствами полноты. Среди определяющих параметров, некоторые из которых могут быть физическими размерными постоянными, должны обязательно быть величины с размерностями, через которые могут выразиться ,размерности всех зависимых параметров.