Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вместе с этим совершенно неверно довольно широко распространйнное мнение, что теорпя размерностей вобще не может дать важных результатов. Комбинирование теории подобия с соображениями, полученными из эксперимента или математическим путам из уравнений движении, иногда может приводить к довольно существенным результатам. Обычно теория размерностей и подобия приносит очень много пользы и в тео.. рии, и в практике. Все результаты, которые добываются с помощью ' этой теории, получаются всегда очень просто, элементарно и почти без всякого труда. Тем не менее, несмотря на простоту и элементарность, применение метвдоз теории размерностей и подобия к новым задачам требует от исследоВателя известного опыта м проникгввения в сущность изучаемых явлений.
С помощью теории равмерностай можно получить особенно ценные выводы при рассмотрении таких явлений, Которые зависят от большого количества параметров, но при этом так, что некоторые из этих параметров в известныа слуяаях становятся несущественными. В дальнейшем мы проиллюстрируем такие случаи иа примерах. Методы теории размерностей и подобия играют особенно 4Фльшую роль при моделировании различных явлений. $2- РАЗМЕРНЫЕ И БЕЗРАЗМЕРНЫ ВЕЛИЧИНЫ. Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов, т.
е„; от системы единиц измерения, называются размерными, епг-.тимейованцыми, величинами, Величины, чйсленное ° ° 8 значение.'которых не зависит отФпрнмеияемой системы единиц измеуениз, называются безразмерными, или отвлечйиными, вели.
чинами. .Йлина, время,-сила, энергия, момент силы и т. д. могут служить примерами размерных величиЪ. Углы, отношение двух длин, отуошенйе квадрата длины к площади, отношение знергии к моменту силы и т. п.— примеры безразмерных велйчии. Однако, подразделение величин на размерные и безразмерные является до некоторой степени делом услознойти.. Гак, например„ угол мы только что назвали безразмерной величиной.
Но известно, что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях прямого угла, т. е. в различных единицах. Следовательно, число, ,определяющее чзугол, зависит от выбора единицы измерения. Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную. Огфеделим угол как,отношение стягивающей его дуги окружности к радиусу; этим самым будет определена однозначно единица измерения угла — радиан.
Бели теперь во всех системах единиц 'измерения измерять углы только в радианах, то угол можно будет рассматривать как безразмерную величину. Точно так же, если, для длины ввести единую фиксированную единицу измерения во всех системах единиц измерения, то после этого длину можно будет считать безразмерной величиной. Но фиксирование единицы измерения для углов удобно, а для длин — неудобно. Это объясняется тем, что для геометрически подобных фигур соответствующие углы одинаковыь а соответствующие длины — неодинаковы, и поэтому в.различных вопросах выгодно-выбирать за основную длину различные расстояния.
Ускорение' обычно рассматривается как- размерная величина, размерность которой есть длина, делйнная' на квадрат времени. Во многих вопросах ускорение силы тяжести л, равное ускорению при падении тел в пустоте, можно считать постоянной величиной 19,$1лг/геке).,Это постоянное ускорение л можно выбрать в качестве фиксированной единицы измерения для ускорений во всех системах единий.
Тогда любое ускорение будет измеряться отношением его величины к величине ускорения силы тяжести. Это отношение называется перегрузкой, числанное значение которой не будет иеняться при переходе от одних единиц измерения к другим. Следовательно, перегрузка является величиной безразмерной, Но в то же время перегрузку можно рассматривать и как размерную величину, именйо как ускбрение, когда за единицу изг мерецвя принято ускорение, равное ускорению силы тяжести. Ц,этом последием случае мы предполагаем, что за единицу измерения перегрузки — ускврения можно взять и такбв ускорение, которое не убавив ускорению силы тяжести. 9' С другой стороны, велйчииы, отвлеченные (безразмерные) в общепринятом смысле этого слова, можнО выражать с помощью различных чисел.
В самом деле, отношение двух длин можно выразить пе только в виде обычного арифметического частного, но и' з процента*, а также другими способами. Таким образом, понятия размерных и ' безразмерных величин являются относительными поиятиями. Мы вводим некоторый запас едйниц измерения. Тогда величины,' для которых единицы измере,ния одинаковы во всех принятых системах едиииц измерения, мы будем называть безразмерными. Величины же, для которых . в опытах или в теоретических исследованиях фактически или'потенциально допускаются различные единицы измерения,' мы будец ' называть размерными.
Из этого определения вытйкает, что некоторые величины можно рассматривать н одних случаях как'размер. ° ные, а з других — как безразмерные. Выше мы указали подобные примеры, в дальнейшем мы встретимся с рядом других таких примеров. В 3. ОСНОВНЫЕ И ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ. Различные физические величины связаны между собой опреаелйнными соотношениями. Поэтому, еслй некотореые из этих величин принять за основные и установить для них какие-то единицы иамерения, то единицы измереиия всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения Основных величин.
Принятые для основиых величии единицы измерения буден называть основныии, или первичными, а все: . остальные в производными, или вторичными. На практике оказывается, что достаточно установить единицы измерения для трах величин; каких именно, †э дело удобства: в разных вопросах целесообразно ва основные единицы брать единицы измерения различных величин..
Так,.в фивических исследовациях удобно за основные единицы взять единицы длины, времени и массы, а в технике †едини длины, времени и силы. Но можно было бы взять за основные единицы измерения также единицы скорости, вязкости и плотности и т. п. В настоящее время наибольшим распространением пользуются физическая и механическая системы единиц измерения. В фивиче; ской системе за основные едииицы измерения приняты сантиметр, грамм-масса и секунда (отсюда сокращзиное название †систс единиц СОВ), а в техиической системе — чметр, килограмм-сила и . секунда (отсюда сокращанпое название †систе единиц МИЗ).
Единицы длины — один метр ( = 100 сантиметров), массы — „ олив килограмм ( = 1000 граммов) и времени в 1 секуида .устаиоэлеиы ,опытным путем на основе определенноголсозлашеиия. 10 ь г За один метр принимается длина эталона из ирпдистой платины, хранящегося во французской Палате мер и весов; за один кило-. грамм †мас, эталона иэ иридистой платины, хранящегося в той 4 же Палате мер и весов. За одну секунду принимается 4 3 доля средних солнечных суток. [так только установлены основные единицы измерения, единицы измерения для других механических величии, например для силы, энергии,, скорости, ускорения и т. п., получаются автоматически из их определения. Правило образования производной единицы измерения из осйовйых единиц измерения называется размерностью.
Размерность за' писывается символически в виде формулы, в которой символ единицы длины обозначается буквой Ь, символ единицы массы †буквой М, символ единицы времени — буквой Т (в технической системе единиц символ единицы силы обозначается буквой К). Нас пример, размерностью площади будет Ьв, размерностью скорости †, или ЬТ ; размерностью силы в физическбй системе единиц МЬ ' будет †, а в технической'системе — К.
В дальнейшем для обозначения размерности какой-нибудь величины а ~мы будем пользоваться символом [а[, введанным Максвеллом. Например, для размерности силы, Р в физической системе будем писать МЬа Л К т Формулы размерности очейь удобны -для пересчйта численного значения размерной величины при переходе от одной системы единиц измерения -к другой. Например, при измерении ускорения силы 'тяжести в сантиметрах и секундах имеем: д= 981 см/секя.
Если необходимо от этих единиц измерения перейти к километрам и часам, то для пересчета указанного численного значения ускорения силы тяжести следует воспользоваться соотношениями: 1 1 1 слг= —,„ил,1 сея= — час 10'" ' ' 3 600 1 поэтому 1 ь клг 8'= 981 —, = 981 . = 98,1 ° 36з (0 )'""" Вообще, если в новой системе единиц измерения единица .. длины в а раз, единица массы в р раз, а единица времени я .[ раз меньше старых едиНиц, то численное значение физической ,Х 11 ' величины а, имеющей размерность ~а). 1~М Т, увеличивается в новей системе в а9 .т раз... ° . Число основных единиц нзмеренйй не обязательно должно'быть равно трем.
Вместо трех можно брать и большее число основных единиц. Так, например, опытным путам можно установить независимо дРуг от'друга единицы измерения для четырЕх величин: длины, времени, массы н Силы. В этом случае уравнение Ньютона примет вид г'= сгла, где Г есть сила, т †мас, а †ускорен и. с — постоянная, имеющая размерность КТт [с) =— МЕ (К есть сиивол едцницы измерения для силы). При таком выборе основных единиц в формулы размерности мехвннческих величин будут входить в общем случае четыре аргумента. Коэффициент с в нарисанном выше уравнении является физической постоянной, подобной ускорению силы тяжести д или гравитационной постоянной Т в законе всемирного тяготения шгбь~ Г=Т вЂ”, где га, и тя суть массы двух материальных точек, г — расстоя- ние между ними. Численное значение коэффициента с будет за- висеть от выбора основных единиц измерения.
Если постоянную с считать отвлечйнным числом (следовательно, с будет иметь одинаковые численные значения во всех системах единиц измерення), равным или неравным единице, то тем самым определится размерность силы черве массу, длину и время,и еди- ница измерения силы будет определяться однозначно в зависимо- сти от единиц измерения массы, длины и времени. Вообще с помощью введения дополнительных физических по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
