Л.И. Седов - Методы подобия и размерности в механике (1944) (1155751), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В качестве примера к этому требованию рассмотрим параметры, которые могут определять статическое состояние газа. Нельзя утверждать, что состояние газа определяется только двумя размерными величинами: абсолютной температурой 6 (~В) = С') и плотностью р цр] = †,), потому что давление р имеет размерность, независимую от размерностей температуры и плотности. Предположим теперь, что состояние газа определяется значениями температуры, плотности и одной физической постоянной, / например коэффициентом теплоймкости с,, измеренным в механик 1Л~ как ческих единицах измерения (1с ) = †).
Обозначив через У вЂ” . в = тс). «Фл механический эквивалент тепла, имеем: с =ус„, ') Например, если в уравнениях движения рассматриваемой системы изменять знаки у иекоторых сил, то это может отразиться существеявв на заковал движения. Все же выводы теории размерности прн этой операции сохраняются неизменными. , 29 где с, есть коэффициент теплозмкости в тепловых едйницах изме- кал. рения ([с„1 = — „— д '~-,). Размерность давления можно выразить ерез размерности °, р н с поэтому сделанное предположение допустимо с точки зрения теории размерностей. Так как I р мерности 6, р и с независимы, то из предположения, что р=у гв, р, с'), сраау вытекает справедливость уравнения Клапейрона — =с или р=рйй, Р с„РВ где с — есть безразмерная постоянная, а через >г обозначена размерная постоянная сс, = с>с„. Таким образом, уравнение Клапейрона можно рассматривать как следствие единственной гипотезы, заключающейся в том, что давление, плотность, температура и тспло6мкость независимо от значений других характеристик связаны между собой соотношением, имеющим физический смысл.
Ниже на отдельных примерах мы укажем способы комбинирования методов теории размерностей с соображениями, вытекающими из симметрии, из линейности задачи, из математических свойств функций при малых или больших значениях определяющих параметров и т. и. 5 8. ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.
В качестве первого примера мы рас- смотрим классический пример о два>кении . у математического маятника. Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно. Совокупность вошаожных движений мы ограничим условием, что движения маят%йа плоские. Обозначим через Р длину маятника, через м †уг, образуе, мый нитью с вертикалью, через г — время, через л> — массу груза и через >» †натяжен нити. Если пренебречь силами сопротивления, то задача о движении маятника приводится к решению ЗО уравнений: ЛГУ 1 "'" лг ~ ~ 1= — гвд соз э ич ~з ~ лг~ (2) с начальным условием: при 8"- 0 ~р=<рр н т.
е. аа начальный момент времени принят тот момент, когда маятник отклонйн на угол <йь-а скорость равна нулю. Из уравнений (1), (2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему: А~ й'з гл» 90 Численные значения всех остальных величин определяются пол- ностью значениями зтнх параметров.
Следовательно, мы можем написатгп ре и аз/ г ! ' (4) Все другие безразмерные комбинации, составленные из 1, Е, 4; щ и сре или вообще из любых величин, определяемых этими пара- метрами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно йаписать: 9='Р('Роз г~ — )з Ж='лгу~(<ре,' Ф~Г-). (5') (5") 31 9=9(1.
Фо, Х, К, лг), (з) ~=~И(~ ~щ ~ з ") где р, и У'суть безразмерные функции. Численные- значении функций <р и У не должны зависеть от системы единиц измерения. Вид зтмх функций можно определить, либо решая уравнения (1) и (2), либо зкспериментальиым способом; Ф Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять размерных аргументов функций у и у'можно свести толако к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации, составленные из 8, Е, д, т и <~е, так как имеется три независимые единицы измерения. Из величин 1, 1, у, лг и р можно составить две независимые безразмерные комбинации: Формулы (5), полученнйе с помощью метода размерностей, показывают, что. закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе грува.
Эти выводы вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину 1 ~1 — моокно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц иамерения, в которой длина маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице. Обозначим через Т какой. нибудь характерный промежуток вРемени, например время движения маятника между крайним и ВеРтикальным положениями, или между двумя одинаковыми фазами, т. е.
период колебания и т. д. (существование периодического движения можно принять как гипотезу или как результат, известный из дополнительных данных). Имеем: Т=Ь(Е, 1, К, т)= й' — 1з('ро 1 й т) Г1 Функция /з представляет собой безразмерную величину, а так как из 1, и и лт нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция Уя не зависит от 1, я и гл. Следовательно, Т=1/1 Л(у) г (6) Формула (6) устанавливает зависимость времени Тот длины маятника. Получить вид функции 1з(ро) с помощью теории размерностей нельзя.
Определение 1е(уо) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1], либо зксперимеитальио. Формулу (6) можно Алучить непосредственно из соотношений (5'). В самом деле, для периода колебания соотношение (5') Мает: 9о — — 9(9о, Т ~ 1 ). Решая зто уравнение, получим формулу (6). Если Т есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что значение периода Т не зависит от знака во, т. е. Уз(9о) =Л( 9о) Следовательно, функции 1з зависит только от чвтных степеней ро. Предполагая, что при малых ~ро функция Уз(уо) регулярна, можно написать.
Л (9о) = '~ + ся'Ро + сРд + ° (7) Для малых колебаний члены со степенями уо можно отбросить, и для периода Т мы получаем формулу: Гс Т=сг у (6) Решение уравнения (1) показываег,. что с, =2я. Таким образом, мы видим, что для малых колебзний маятника с помощью теории размерностей можно получить формулу периода колебанйя маятника с точностью до постоянного множителя. Формулы (6) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмлм уравнение ~ = — —,У('г)* л"ч в где У'(~р) есть любая функция от ч. Вообще справедливость формул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое состоит в том, что состояние движения определяется параметрами К лг то Для установления этой системы параметров нам послужили уравнения движения, но ее можно украть и не прибегая к уравнениям движения.
В самом деле, для характеристики маятника надо указать 1- и гв. Далее, необходимо указать д, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо, указать' ре и Ф, так как конкретное движение,и состояние движения определяются углом крайнего отклонения э и рассматриваемым моментом времени г. $ 9. ВОДОСЛИВ ДЖЕМСА ТОМСОНА. Рассмотрим задачу о струйном движении тяжялой. жидкости 'через водослнв Томсона. Этот водослнв (рис. 2) представляет собой вертикальную стенку с треугольнымотверстнем,расположенйым сим- Ь ш метрично относи- Ф тельно вертикали, причвм угол отвер- / 1 стив а равен 90'.
Жидкость вытекает под напором Ь, ко- Ъ торый равен высоте над вершиной треугольника уровня Рис. 2. жидкости на далаких расстояниях от отверстия зодослнва. Для простоты Чаы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. П ри струйном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости, которые характеризуются значениями плотности р и ускорения силы тяжести 3.
3 седов л. и. 33 Установившееея течение жидкости череэ рассматриваемый водо- слив полностью определяется следующими параметрами: р, и, и. Вес жидкости ь/, вытекающей через отверстие водослива в единицу времени, может быть' функцией только этих параметров'. Я=У(р, а «). С помощью теории размерностей нетрудно найти вид этой функции. В самом деле, размерность 9 равняется кг/сек. Комбинация рФз р — также имеет размерность кг/сек. Поэтому отно — у л и шение 0 ау„ю/ является безразмерной величиной. Это отношение' является функ.
цией величин р, и, Ь, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать: в/ ра «и /а или О= Срд/"Ь', (1)' где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зази. симость количества протекающей жидкости от напора Ь и от плотности р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
