Диссертация (1155081)
Текст из файла
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВНа правах рукописиБахтигареева Эльза ГизаровнаОПТИМАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ КОНУСОВ ФУНКЦИЙ СОСВОЙСТВАМИ МОНОТОННОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный анализДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико - математических наукНаучный руководительдоктор физико - математических наукпрофессор М.Л. ГольдманМосква 2017ОглавлениеВведение.41 Метод ассоциированных норм для построения идеальных оболочек.1.1 Основные определения, обозначения и свойства.
. . . . . . . . . . . . . .1.2 Сопоставление с концепциями БФП, ОБФП. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Оптимальное обобщенное банахово функциональное пространство для заданного конуса функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Оптимальное банахово функциональное пространство для конуса, заданного интегральным представлением. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Ассоциированные нормы и оптимальные вложения для одного классадвухвесовых интегральных квазинорм.2.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов. . . .2.2 Доказательство результатов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Доказательство Теоремы 2.1.1. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .2.2.2 Доказательство Теоремы 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Доказательство Теоремы 2.1.3 (сведение к Теореме 2.1.1). . . . . .2.3 Оптимальная банахова оболочка для конуса функций из Lp. . . . . . . .Метод нестягивающих операторов для построения идеальных оболочек.3.1 Основные определения, обозначения и формулировка результатов. . . . .3.2 Построение идеальных оболочек при различных отношениях порядка иусловиях монотонности. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных убывающих функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Оптимальное ИП для конуса двоякомонотонных функций. . . . .3.2.3 Оптимальное ИП для конуса обобщенно двояко монотонных функций . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для конуса двоякомонотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5 Оптимальное перестановочно инвариантное пространство для конуса двоякомонотонных функций при дополнительном ограничении3.2.6 Оптимальное ИП для конуса неотрицательных обобщенно убывающих функций . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2181822252933343737465356737481818487909394Заключение.96Литература973Введение.Построение оптимальных оболочек для заданного конуса неотрицательных измеримыхфункций, оценки положительных операторов на них имеют важные приложения в различных областях анализа, таких как, например, теория функциональных пространств,теория приближения, теория вложений, теория интерполяции.Тeория вложeний возникла в связи с задачами тeории уравнений в частных производных, в которых для исследования гладкости решений вводятся одни типы пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек - другие типы пространств.
Многообразие различных пространств потребовало детального изучения связей между этими пространствами. Возникновение теориивложения связано с работами С. Л. Соболева в 30-е годы прошлого века. Oн вводит иизучает новые функциональные пространства Wpr , которые в литературе стали называть соболевскими пространствами. Для этих пространств С. Л. Соболев доказываетпервые теоремы вложения, он применяет эти пространства при исследовании краевыхзадач для эллиптических уравнений высокого порядка(см. [1, 2]).
Систематическое изложение теории функциональных пространств, теорем вложения этих пространств, теорем о следах и приложений этих результатов к задачам дифференциальных уравненийв частных производных и уравнений математической физики содержится в книге С. Л.Соболева "Некоторые применения функционального анализа в математической физике"(см. [3]).
Другое направление исследований связано с созданием С. М. Никольскимтеории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывноменяющимися анизотропными характеристиками гладкости. О. В. Бесов ввел и изучилrболее общие пространства Bpθ(Rn ), совпадающие при θ = ∞ с пространством Никольrnского Hp (R ) (см. [4, 5, 6]). В математической физике часто приходится иметь дело сфункциями пространств Соболева Wpr и их следами на границе Γ = ∂Ω области Ω, т.е.предельными значениями f на Γ. Сами функции f удобно считать принадлежащимипространствам Соболева Wpr .
Но их граничные значения на Γ, которые тоже необходимы, приходится рассматривать как принадлежащие к пространствам Бесова.Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М. Риссомв 1926 в виде некоторого неравенства для билинейных форм ([7]). В 1939 Г.О. Торинымтеорема была уточнена и дана ee опeраторная формулировка ([8]).
Существенным продвижением явилась теорема Ж. Марцинкевича, сформулированная в 1939 году ([9]).В 50-х годах важные обобщения теорем Рисса-Торина и Марцинкевича были получены Е. М. Стейном и Г. Вейсом. Однако, эти и многие другие результаты относилиськ пространствам Lp или близким к ним. В своих работах [10] и [11] В. Орлич снабдил более общее функциональное пространство нормой, что позволило рассматривать4эти пространства в рамках общей теории банаховых пространств, введенных С. Банахом. Попытки унифицировать пространства Орлича и Лоренца в рамках одной аксиоматики были предприняты в начале 50-х годов в работах [12], [13], [14]. Последняяработа основывалась на теории пространств последовательностей Кете-Теплица ([15]).В рассмотрение вводятся двойственные по Кете (или ассоциированные) пространства.Двойственным по Кете пространством для функционального пространства X называется множество X 0 функционалов из двойственного пространства X ∗ , которые имеютинтегральное представление.
К ассоциированным пространствам применим принципдвойственности, то есть (X 0 )0 = X. Эти исследования привели к возникновению теориибанаховых функциональных норм и банаховых функциональных пространств, впервыепредставленных Люксембургом в 1955 году ([16]). Разработка общих интерполяционныхтеорем для семейств абстрактных банаховых и гильбертовых пространств была начатав конце 50-х годов независимо в ряде стран.
Первые публикации здесь принадлежатЖ. Л. Лионсу (1958-1960 гг., [17]), Е. Гальярдо (1959-1960 гг., [18]), А. П. Кальдерону иС. Г. Крейну (1960 г., см., например, [19]). В дальнейшем сущeствeнную роль сыгралиработы Я. Петре (см., например, [20]), в которых был развит метод вещественной интерполяции,связанной со свойствами K-функционала Петре.
Современному развитиютеории интерполяции и ее приложениям в теории функциональных пространств посвящены исследования С. В. Асташкина [21, 22], Е. И. Бережного [23, 24], Ю. А. Брудногои Н. Я. Кругляки [25, 26], В. И. Овчинникова [27, 28, 29] и др.Проблема описания свойств монотонных операторов на конусах неотрицательныхфункций со свойствами монотонности и, в частности, задача о построении оптимальной банаховой или квазибанаховой оболочки для таких конусов весьма актуальна. Онаявляется важной составляющей частью общей проблемы об оптимальных вложенияхфункциональных пространств, которая, в свою очередь, представляет собой важныйраздел общей теории оптимизации.
Современное развитие теории оптимизации и ееразнообразные приложения в теории экстремума, теории аппроксимации и теоремахвложения представлены в монографиях А. Д. Иоффе и В. М. Тихомирова [30], Алексеева В. М., Тихомирова В. М. и Фомина С. В. [31], В. М. Тихомирова и Г. Г. Магарил Ильяева [32]. Приведем некоторые примеры актуальных задач теории интегрирования,теории функциональных пространств и теории вложений, решение которых требуетизучения свойств операторов на конусах функций, удовлетворяющих различным условиям монотонности.При изучении интегральных свойств функции проблему можно свести к изучениюинтегральных свойств на конусе Ω0 неотрицательных монотонных функций, так как онаравноизмерима со своей убывающей перестановкой f ∗ (t) = inf {y ∈ R+ : λf (y) ≤ t} ∈Ω0 , t ∈ R+ , где λf - Лебегова функция распределения (более подробно см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
