Диссертация (1155081), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

При 1 ≤ p ≤ ∞ ρpq является ОФН.Лемма 2.2.200Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.2 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0. Дляg ∈ M + (t0 , T0 ) определимZ T00+ρ̃pq (g) := supf gdt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ̃pq (f ) ≤ 1 ;(2.2.28)t0( gρ̃˜0pq (g) := Ψp (T0 )−1 2m ϕLq)˜ m) 0 (∆,(2.2.29)lp0˜ m определены в (2.2.26). Тогдагде ∆ρ̃0pq (g) = ρ̃˜0pq (g),g ∈ M + (t0 , T0 ).(2.2.30)Лемма 2.2.300Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.2 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0. Тогда (см.(2.2.29) и (2.1.6),(2.1.7)),ρ̃˜0pq (g) ∼(2.2.31)= ρ̇0pq (g), 0 < p ≤ 1; 1 gρ̃˜0pq (g) ∼, 1 < p ≤ ∞,(2.2.32)= ρ̇0pq (g) +Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 )с положительными конечными постоянными в двусторонних оценках (2.2.31), (2.2.32),зависящими только от p.47Замечание 2.2.4.

Из (2.2.27) следует эквивалентность ассоциированных норм:ρ0pq (g) ∼= ρ̃0pq (g),g ∈ M + (t0 , T0 ).Тогда из (2.2.30)-(2.2.32) получим эквивалентность (2.1.11),(2.1.18), завершая, тем самым, доказательство Теоремы 2.1.2.Итак, нужно доказать Леммы 2.2.100 , 2.2.200 , 2.2.300 .Доказательство Леммы 2.2.1001.

Сначала рассмотрим случай p = ∞ при Ψ∞ (t0 ) = 0.Имеем, согласно (2.2.22),ρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·)= sup kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·)L∞ (t0 ,T0 )˜ m)L∞ (∆m∈N0.˜ m . ТогдаУчтем, что Ψ∞ (τ ) ∼= Ψ∞ (T0 )2−m , τ ∈ ∆Ψ∞ (T0 )−1 ρ∞q (f ) ∼= sup 2−m kf ϕkLq (µ̃m+1 ,T0 ) .m∈N0Но при 1 ≤ q < ∞kf ϕkLq (µ̃m+1 ,T0 ) =mX! 1qkf ϕkqL,˜q (∆l )(2.2.33)l=0так чтоΨ∞ (T0 )−1 ρ∞q (f ) ∼= sup 2−mm∈N0mX! 1qkf ϕkqL (∆˜ )qll=0∼= sup 2−m kf ϕkLq (∆˜ m ) .m∈N0В конце мы учли, что 2−m ↓↓ и применили Лемму 2.1.1.При q = ∞ имеемmXkf ϕkL∞ (∆˜ l ) ,kf ϕkL∞ (µ̃m+1 ,T0 ) ≤(2.2.34)l=0и снова по Лемме 2.1.1.Ψ∞ (T0 )−1 ρ∞∞ (f ) ≤ sup 2−mm∈N0mXkf ϕkL∞ (∆˜ l ) ∼= sup 2−m kf ϕkL∞ (∆˜ m ) .m∈N0l=0Обратное неравенство очевидно, так чтоΨ∞ (T0 )−1 ρ∞∞ (f ) ∼= sup 2−m kf ϕkL∞ (∆˜ m ) .m∈N0Итак, при всех 1 ≤ q ≤ ∞ установлено (2.2.27) с p = ∞.2.

Пусть теперь 0 < p < ∞. Тогда Ψp (t0 ) = 0 и мы имеем соотношения (2.2.24)-(2.2.26).Поэтому,∞ ZX−p p−pΨp (T0 ) ρpq (f ) = Ψp (T0 )kf ϕkpLq (τ,T0 ) ψ p (τ )dτ.m=048˜m∆ОтсюдаΨp (T0 )−p ρppq (f )≤ Ψp (T0 )∞X−pkf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 )Z∞Xpψ (τ )dτ =˜m∆m=0kf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 ) ×m=0∞Xkf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 ) 2−mp .× 2−mp − 2−(m+1)p = (1 − 2−p )(2.2.35)m=0Аналогично,Ψp (T0 )−p ρppq (f )≥ Ψp (T0 )∞X−pkf ϕkpLq (µ̃m ,T0 )Z−ppψ (τ )dτ = (1−2 )˜m∆m=0∞Xkf ϕkpLq (µ̃m ,T0 ) 2−mp .m=0Слагаемое с m = 0 здесь равно 0, так чтоΨp (T0 )−p ρppq (f )−p≥ (1 − 2 )∞Xkf ϕkpLq (µ̃m ,T0 )−mp2−p= (1 − 2 )∞Xkf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 ) 2−(m+1)p .m=0m=1В результатеΨp (T0 )−p ρppq (f )−p−p≥ 2 (1 − 2 )∞Xkf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 ) 2−mp .(2.2.36)m=0Итак, в силу (2.2.35),(2.2.36)(ρpq (f ) ∼= Ψp (T0 )∞X) p1kf ϕkpLq (µ̃m+1 ,T0 ) 2−mp,(2.2.37)m=0а тогда(ρpq (f ) ≥ Ψp (T0 )∞X) p1kf ϕkpL (∆˜ )qm2−mp.(2.2.38)m=0В то же время, используя оценки (2.2.33) или (2.2.34), а затем Лемму 2.1.1, получимоценку сверху, обратную (2.2.38).

В итоге, мы приходим к оценке (2.2.27).3. Осталось проверить при 1 ≤ p ≤ ∞ выполнение всех аксиом ОФН из Определения1.2.3. Для этого используем эквивалентную норму ρ̃pq (квазинорму при 0 < p < 1).Выполнение всех аксиом (квази)нормы сразу следует из определения (2.2.27). Отсюдаследует и свойство монотонности.Итак, выполнены свойства (Р1),(Р2). Покажем выполнение свойства Фату (Р3):0 ≤ fn ↑ fп.в. на (t0 , T0 ) ⇒ ρpq (fn ) ↑ ρpq (f ).Известно, что при 0 < r ≤ ∞,если 0 ≤ Φn ∈ Lr (S) и Φn ↑ Φ п.в.

на S, то Φ измерима и kΦn kLr (S) ↑ kΦkLr (S) .Применив это свойство сначала при S = (τ, T0 ), r = q, Φn = fn ϕ, получим kfn ϕkLq (τ,T0 ) ↑kf ϕkLq (τ,T0 ) для любого τ ∈ (t0 , T0 ). Затем применим его при S = (t0 , T0 ), r = p, Φn (τ ) =49kfn ϕkLq (τ,T0 ) . Это приводит к требуемому соотношению.Осталось проверить выполнение аксиом (P 4)0 , (P 5)0 для ОФН. Для этого удобно использовать эквивалентнуюρ̃pq . Пусть {αm }m∈N0 выбраны так, чтобы αm >n (квази)нормуo1m˜ m | q0 2 < ∞.0, m ∈ N0 и 0 < cp := αm |∆lp0Рассмотрим функцию˜ m , m ∈ N0 .t∈∆h(t) = c−1p Ψp (T )αm ϕ(t),Тогда h(t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ), причем для f ∈ M + (t0 , T0 ) имеем, применив неравенствоГельдера,ZZ T0∞ Z∞XX−1f hdt =αmf ϕdt ≤f hdt = cp Ψp (T0 )t0m=0≤˜m∆˜m∆m=0c−1p Ψp (T0 )∞X1˜ m | q0 .αm kf ϕkLq (∆˜ m ) |∆m=0Итак,ZT0f hdt ≤c−1p Ψp (T0 )t0∞X1˜ m | q0 2m ).(2−m kf ϕkLq (∆˜ m ) )(αm |∆m=00При 0 < p ≤ 1, p = ∞ отсюда имеем (с учетом при 0<p<1 неравенства Йенсена),чтоZ T0noo n1 −m−10 m ˜qf hdt ≤ cp Ψp (T0 ) αm |∆m | 2 2 kf ϕkLq (∆˜ m ) .lplp0t0При 1 < p ≤ ∞, p1 + p10 = 1 это же неравенство получим, применив неравенствоГельдера.

В итоге для данной h > 0 на (t0 , T0 ) имеемZ T0nof hdt ≤ Ψp (T0 ) 2−m kf ϕkLq (∆˜ m ) = ρ̃pq (f ).lpt0Это дает выполнение свойства (P 4)0 .Наконец, для функции˜−1 |∆m |f0 (t) = Ψp (T0 )−1qϕ(t),˜ m , m ∈ N0t∈∆имеем:f0 (t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ),причемnoρ̃pq (f0 ) = Ψp (T0 ) 2−m kf0 ϕkLq (∆˜ m ) = 2−m lp < ∞.lpЭто означает выполнение аксиомы (P 5)0 .Замечание 2.2.5 При 1 ≤ p ≤ ∞ приведенные рассуждения показывают, что ρpqесть ОФН.Доказательство Леммы 2.2.200 вполне аналогично доказательству Леммы 2.2.2и мы его опускаем.50Доказательство Леммы 2.2.300 .1.

Рассмотрим сначала случай 0 < p ≤ 1.Имеем, согласно обозначению (2.1.7) и формулам (2.2.25),(2.2.26): g −1 0Ψp (t) .ρ̇pq (g) = sup m∈N0 ϕ L 0 (t0 ,t)˜qL∞ (∆m )˜ m , так чтоНо из (2.2.24) следует, что Ψp (t) ∼= 2−m Ψp (T0 ), t ∈ ∆ gg11mm0 sup 2 =sup2ρ̇pq (g) ∼=ϕ ϕ L 0 (t0 ,t) Ψp (T0 ) m∈N0Ψp (T0 ) m∈N0L.(2.2.39)q 0 (t0 ,µ̃m )˜ m)L∞ (∆qИспользуя затем соотношения: при 1 ≤ q 0 < ∞! 10∞ q 0Xg ϕ g =ϕLq0 (t0 ,µ̃m )q˜ l)Lq0 (∆l=m∞ Xg ≤ϕl=m ∞ Xgg ≤ϕϕ˜ l)L∞ (t0 ,µ̃m )L∞ (∆l=m;(2.2.40)˜ l)Lq0 (∆(q 0 = ∞)(2.2.41)и Лемму 2.1.1, получимρ̇0pq (g) ∞ Xgg1cpmm∼ sup 2sup≤2=ϕ ˜ ϕ ˜ , cp ∈ R+ .Ψp (T0 ) m∈N0Ψ(T)m∈Np00(∆)LLq0 (∆m )ll=mq0Аналогичная оценка снизу сразу следует из (2.2.39).

Итак, g10mρ̇pq (g) ∼sup 2 = ρ̃˜0pq ,=Ψp (T0 ) m∈N0ϕ Lq0 (∆˜ m )см.(2.2.29). Отсюда следует (2.2.31).2. Пусть теперь 1 < p ≤ ∞. Тогда, согласно (2.1.6), (2.2.25), (2.2.26)0ρ̇0pq (g)p=#p0" gdΨp (t)−1 Ψp (t)≤ϕ Lq0 (t0 ,t)Ψp (t)˜m∆∞ ZXm=0∞ p0Xg ≤ϕm=00∼= Ψp (T0 )−1−pZLq0 (t0 ,µ̃m )˜m∆∞ p0Xg ϕm=0Ψp (t)−1−p dΨp (t) ∼=0m(1+p0 )Z2Lq0 (t0 ,µ̃m )˜m∆dΨp (t) = p0g0−1−p0 = Ψp (T0 )2m(1+p ) [Ψp (µ̃m ) − Ψp (µ̃m+1 )] =ϕLq0 (t0 ,µ̃m )m=0∞X51∞ p0Xg10 2m(1+p ) (2−m − 2−m−1 ) ==0pΨp (T0 ) m=0 ϕ Lq0 (t0 ,µ̃m )∞ p0Xg10 =2mp .0p2Ψp (T0 ) m=0 ϕ Lq0 (t0 ,µ̃m )(2.2.42)Теперь используем оценки (2.2.40) (при q 0 < ∞ ) или (2.2.41) (при q 0 = ∞) и Лемму2.1.1:!p 0 p0∞∞ ∞Xc(p) X mp0 X g10 g 0p0mp∼ ρ̇pq (g) ≤22 = ϕ ˜ , c(p) ∈ R+ .ϕ ˜p02Ψp (T0 )p0 m=0Ψ(T)p0Lq0 (∆l )Lq0 (∆m )m=0l=mОтсюда и из (2.2.29) следует, чтоρ̇0pq (g) ≤ cp ρ̃˜0pq (g),cp ∈ R+ .Добавим сюда очевидное неравенство 1 1 gg=≤ ρ̃˜0pq (g),Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 ) Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (∆˜ 0 )и приходим к оценкеρ̇0pq (g) 1 g≤ (cp + 1))ρ̃˜0pq (g).+Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 )(2.2.43)Получим соответствующую оценку снизу.

Действуем аналогично выводу оценки (2.2.42).Имеем,Z∞ p0Xg00p0Ψp (t)−1−p dΨp (t) ∼ρ̇pq (g) ≥=ϕ˜mLq0 (t0 ,µ̃m+1 ) ∆m=0∞ p0Xg00−1−p∼ 2m(1+p ) [Ψp (µ̃m ) − Ψp (µ̃m+1 )] == Ψp (T0 )ϕLq0 (t0 ,µ̃m+1 )m=00∞X g p10 =2m(1+p ) (2−m − 2−m−1 ) =0pΨp (T0 ) m=0 ϕ Lq0 (t0 ,µ̃m+1 )∞ p0∞ p0XXgg110(m+1)pmp0 = p0 +12=2≥0002Ψp (T0 )p m=0 ϕ Lq0 (t0 ,µ̃m+1 )2p +1 Ψp (T0 )p m=1 ϕ Lq0 (t0 ,µ̃m )∞ p0Xg1mp0 ≥ p0 +12.02Ψp (T0 )p m=1 ϕ Lq0 (∆˜ m )Итак,0ρ̇0pq (g)p≥ cp0 Ψp (T0 )−p0∞ p0Xg ϕm=152˜ m)Lq0 (∆02mp .Добавим к обеим частям неравенства слагаемое p0 p0 −p0 g −p0 g = Ψp (T0 ) Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 )ϕ Lq0 (∆˜ 0 )и получим0ρ̇0pq (g)p+ Ψp (T0 )−p0 p0∞ p0Xgg0−pmp0 ≥ Ψp (T0 ) (cp0 + min {1, cp0 })ϕϕ ˜ 2 .Lq0 (µ̃1 ,T0 )Lq0 (∆m )m=0Отсюда (учесть, что p0 ≥ 1 ) 0−1 g ρ̇pq (g) + Ψp (T0 ) ≥ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 )−10≥ Ψp (T0 )! 10 p0p0p0−p0 g ≥ρ̇pq (g) + Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ̃1 ,T0 )(cp0 + min {1, cp0 })1p0(m=0В итогеρ̇0pq (g)+ Ψp (T0 )−1) 10∞ p0Xg ϕpmp02.˜ m)Lq0 (∆ g ≥ c˜p ρ̃˜0pq (g).ϕLq0 (µ̃1 ,T0 )Вместе с (2.2.43) это неравенство дает оценку (2.2.32).

4Вывод: мы завершили доказательства Лемм 2.2.100 -2.2.300 , а следовательно, и доказательство Теоремы 2.1.2.(см. Замечание 2.2.4).2.2.3Доказательство Теоремы 2.1.3 (сведение к Теореме 2.1.1).1. Используем более подробные обозначения для величин (2.1.4) и (2.1.15):ρpq (f ) = ρpqϕψ (f ; (t0 , T0 ));(2.2.44)ρ̂pq (f ) = ρ̂pqϕψ (f ; (t0 , T0 ))(2.2.45)и введемfˆ(τ ) = f (τ −1 );2ϕq (τ ) = ϕ(τ −1 )τ − q ;2ψp (τ ) = ψ(τ −1 )τ − p ,τ ∈ (T0−1 , t−10 ),(2.2.46)(2.2.47)и покажем, чтоρ̂pqϕψ (f ; (t0 , T0 )) = ρpqϕq ψp (fˆ; (T0−1 , t−10 )).Действительно, замены переменных в интегралах дают при p, q < ∞(Z Z) p1 pqT0τρ̂pqϕψ (f ; (t0 , T0 )) =[f (ξ)ϕ(ξ)]q dξψ p (τ )dτ=t0=ZT0t0Zt−10τ −1t01! pqphiqpˆf (λ)ϕq (λ) dλψ (τ )dτ=53(2.2.48)=Zt−10T0−1Zt−10hσ1! pqpiqpfˆ(λ)ϕq (λ) dλ= ρpqϕq ψp (fˆ; (T0−1 , t−1ψp (σ)dσ0 )).Аналогично, получим (2.2.48), если p = ∞ или q = ∞, или p = q = ∞.2.

Характеристики

Список файлов диссертации