Диссертация (1155081), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(2.3.65)4Отсюда и из (2.3.64) следует (2.3.62).2. Доказательство теоремы 2.3.1 в случае 0 < p < 1.Согласно (2.3.5)RTZ T|g|hdtkgkX 0 (0,T ) = sup|g|hdt : h ∈ K0 , ρK0 (h) ≤ 1 = sup R T01 .0p udt) p0<h↓ (0h0Согласно работе [41] ( при 0 < p < 1) эта величина равна:RtRt|g|dτ|g|dτ0kgkX 0 (0,T ) = sup= sup 0,10t∈(0,T ) U (t) pt∈(0,T ) Ũ (t)Z t1pũdτ.где Ũ (t) = U (t) =0Итак,kgkX 0 (0,T ) = kgkX̃ 0 (0,T ) ,0K̃0 = {h ∈ L1,ũ (0, T ) :00 < h ↓} ;гдеZρK̃0 (h) =Thũdt.0Действительно,Zh ∈ K̃0 , ρK̃0 (h) ≤ 1 =|g|hdt :kgkX̃ 0 (0,T ) = sup0T0RT= sup R0 T0<h↓0|g|hdthũdt.Согласно работе [41] ( при p = 1) эта величина равна:Rt|g|dτ= kgkX 0 (0,T ) .kgkX̃ 0 (0,T ) = sup R0 t00t∈(0,T ) 0 ũdτВ итоге, X00 (0, T ) = X̃00 (0, T ) ⇒ X0 (0, T ) = X̃0 (0, T )-минимальное ОБФП для конуса K̃0 .Но норма в пространстве X̃0 (0, T ) описана в (2.3.7) (при p = 1), то естьZ Tkf kX 0 (0,T ) = kf kX̃ 0 (0,T ) =kf kL∞ (t,T ) ũ(t)dt.0Здесь ũ(t) =dŨ (t)dt= p1 U (t)01−1 dU (t)pdt0, то есть11ũ(t) = U (t) p −1 u(t).pДоказательство Замечания 2.3.1.При p = 1 требуем U (T − 0) < ∞, u−1 ∈ Lloc∞ (0, T ).
Действительно, тогда для любогоB ⊂ (0, T ) имеемZTkχB kX0 (0,T ) =kχB kpL∞ (t,T )ZTu(t)dt ≤0u(t)dt = U (T − 0) < ∞071-выполнена аксиома (P 5).Кроме того, для f ∈ X0 (0, T ) имеем такжеkf kLp,u (0,T ) p1 T p1 TZZ= |f |p udt ≤ kf kpL∞ (t,T ) udt = kf kX0 (0,T ) .00Тогда для B ⊂ (0, T ), µ(B) < ∞ имеем при 1 < p < ∞ p1 ZZ|f |u u|f |dt =B1p− p1Zdt ≤ Bp 10|f | udt BpZu0− ppdt≤B 10Z≤ kf kX0 (0,T ) p0− ppudt= kf kX0 (0,T ) CB,p,p0B-выполнена аксиома (P 5).При p = 1ZZ|f |dt =BB|f |uu−1 dt ≤ Z|f |udt u−1 L∞ (B) ≤ kf kX0 (0,T ) u−1 L∞ (B) .BТогда X0 (0, T ) есть БФП, так как выполнение аксиом (P 1) − (P 3) ясно.72Глава 3Метод нестягивающих операторов дляпостроения идеальных оболочек.В данной главе рассматривается проблема построения оптимальной квазибанаховойоболочки для заданного конуса неотрицательных измеримых функций.
Строится оболочка конуса, принадлежащая некоторому классу идеальных квазинормированных пространств. Для этого применянется метод построения оптимальных оболочек с помощьюспециально подобранных невырожденных операторов (cм. [66, 67]). В качестве классовИП могут фигурировать пространства, в которых квазинормы согласованы с различными отношениями порядка, например, симметричные пространства, в которых квазинормы монотонны относительно убывающих перестановок функций (перестановочноинвариантные пространства в терминологии К. Беннетта и Р. Шарпли), ИП, нормы вкоторых определяются с помощью тех или интегральных операторов (максимальногооператора Харди-Литтлвуда, операторов Чезаро, Гобсона и др., см. подробнее [68, 69]),Лебеговы пространства с переменным показателем суммируемости, см.
[70], и др.Здесь мы пользуемся обозначениями и аксиоматикой идеальных пространств, введенной Разделе 1.1. Раздел 3.1 содержит две основные теоремы, описывающие конструкцию минимального ИП, которое содержит заданный конус неотрицательных функций, изначально принадлежащих некоторому идеальному квазинормированному пространству. В Теореме 3.1.1 решена общая задача о построении минимального ИП, содержащего данный конус, в котором квазинорма согласована с невырожденным оператором. Модификация этой теоремы в случае, когда исходная квазинорма согласована снекоторым отношением порядка, приведена в Теореме 3.1.2.
Раздел 3.2 содержит конкретизации этих общих конструкций при различных отношениях порядка и условияхмонотонности. В частности, проведено построение оптимальных ИП для конуса неотрицательных убывающих функций и для конуса положительных двояко монотонныхфункций.733.1Основные определения, обозначения и формулировка результатов.Пусть в M+ (S, µ) введены отношения порядка и эквивалентности: f ≺ g (со свойствомтранзитивности:f ≺ g, g ≺ h ⇒ f ≺ h); f ≈ g ⇔ f ≺ g ≺ f . Считаем, что отношениепорядка подчинено поточечной оценке µ-п.в.:1)f ≤ gµ-п.в. ⇒ f ≺ g;Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 ;2)fn ↑ f ⇒ fn ↑f(3.1.1)µ- п.в.; fn ↑f означает, что fn ≺fn+1 ; f = [sup]fn , т.е. fn ≺ f, n ∈ N, и если fn ≺ fˆ, n ∈ N, то f ≺ fˆ.Примеры отношений порядка, удовлетворяющих условию (3.1.1):1.f ≺ g ⇔ f ≤ glim fn = fn→∞µ-п.в.;2.f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g ∗ (f ∗ , g ∗ -убывающие перестановки функций f, g);3.f ≺ g ⇔ M f ≤ M g4.f ≺ g ⇔Rt0f dτ ≤µ-п.в.
(М- максимальный оператор Харди- Литтлвуда);Rt0gdτ∀t ∈ R+ .Теорема 3.1.1.1. Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; A0 : M (S, µ) → M + (S, µ)- оператор со следующими свойствами:A0 (|f |) = A0 f ;A0 (αf ) = αA0 ff ∈ M, α ≥ 0;∃c0 ∈ R+ : ρ(f ) ≤ c0 ρ(A0 f ), f ∈ M ;∃c1 ∈ [1, ∞] :ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 [ρ(A0 f ) + ρ(A0 g)];|f | ≤ |g| µ-п.в. ⇒ ρ(A0 f ) ≤ ρ(A0 g), f, g ∈ M ;0 ≤ fn ↑ fµ-п.в. ⇒ A0 fn ↑ A0 fµ-п.в.(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)(3.1.6)Тогда, отображениеρ0 (f ) := ρ(A0 f ), f ∈ M + ,есть ИКН, а порожденное этой квазинормой пространствоX0 = X0 (S, µ) = f ∈ M : kf kX0 = ρ0 (|f |) < ∞ ⊂ Y(3.1.7)(3.1.8)есть ИП, причемkf kX0 ≤ c0 kA0 f kX0 , f ∈ M.(3.1.9)2.
Пусть, дополнительно, K0 - некоторый конус из Y+ = {g ∈ Y : g ≥ 0} , снабженный74функционалом ρK0 := ρ, и выполнены условия согласования конуса K0 с операторомA0 :∃c2 ∈ R+ : ρ(A0 h) ≤ c2 ρ(h), h ∈ K0 ;(3.1.10)A0 (X0 ) ⊂ K0 .(3.1.11)Тогда X0 = X0 (S, µ) есть минимальное ИП для вложенияX, в которых квазинормы связаны с A0 соотношением:K0 7−→ X среди всех ИП∃cX ∈ R+ : kf kX ≤ cX kA0 f kX , f ∈ M,(3.1.12)аналогичным (3.1.3).Замечание 3.1.1.Если в Теореме 3.1.1 заменить условие (3.1.3) нестягивания для оператора A0 наболее жесткое требование накрывания∃c0 ∈ R+ :|f | ≤ c0 A0 fµ − п.в.,∀f ∈ M,(3.1.13)то свойство (3.1.12) будет выполнено для всех ИП X с постоянной cX = c0 . Тогда, вусловиях части 2 Теоремы 3.1.1 X0 будет оптимальным ИП для вложения K0 7−→ Xсреди всех ИП.Доказательство Теоремы 3.1.11.
Проверим, что ρ0 (3.1.7) обладает свойствами (P 1) − (P 4).Из (3.1.3) видим, что ρ0 (f ) = 0 ⇒ ρ(f ) = 0, а тогда f = 0 µ- п.в. по свойству (P 1) дляρ. Далее, из (3.1.2), (3.1.4), свойства (P 1) для ρ:ρ0 (αf ) = ρ(A0 (αf )) = ρ(αA0 f ) = αρ(A0 f ) = αρ0 (f ),ρ0 (f + g) = ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 [ρ(A0 f ) + ρ(A0 g)] = c1 [ρ0 (f ) + ρ0 (g)] .Итак, ρ0 обладает свойством (P 1). Далее, пусть 0 ≤ f ≤ gследует, чтоρ0 (f ) = ρ(A0 f ) ≤ ρ(A0 g) = ρ0 (g),µ- п.в. Тогда из (3.1.5)т.е. ρ0 обладает свойством (P 2). Далее, согласно (2.10) и свойству (P 3) для ρ, имеем0 ≤ fn ↑ f µ − п.в.
⇒ 0 ≤ A0 fn ↑ A0 f µ − п.в. ⇒ ρ(A0 fn ) ↑ ρ(A0 f ),(3.1.14)что и дает свойство (P 3) для ρ0 . Наконец, из (3.1.3) видим, чтоρ0 (f ) = ρ(A0 f ) < ∞ ⇒ ρ(f ) < ∞,и по свойству (P 4) для ρ получаем: f < ∞ µ- п.в.В итоге, ρ0 обладает свойствами (P 1) − (P 4), т.е. является ИКН. Сответственно, (3.1.8)есть ИП.
При этом, для f ∈ X0 имеем согласно (3.1.3)ρ(|f |) ≤ c0 ρ(A0 |f |) = c0 ρ0 (|f |) < ∞ ⇒ f ∈ Y.75Это и есть вложение (3.1.8). Кроме того, в силу (3.1.3), для f ∈ Mkf kX0 = ρ(A0 f ) ≤ c0 ρ(A0 (A0 f )) = c0 kA0 f kX0 ⇒ (3.1.9).2. Пусть еще выполнены условия согласования A0 и конуса K0 (3.1.10), (3.1.11). Покажем, что K0 7−→ X0 . Для h ∈ K0 имеем, согласно (3.1.10):ρ0 (h) = ρ(A0 h) ≤ c2 ρ(h) = c2 ρK0 (h) < ∞ ⇒ h ∈ X0 ,т.е. K0 7−→ X0 . Далее, пусть X- ИП, такое что K0 7−→ X и выполнено условие (3.1.12).Покажем, что X0 ⊂ X.
Действительно, для f ∈ X0 имеем h := A0 f ∈ K0 , в силу (3.1.11).Значит, с учетом (3.1.12) и вложения K0 7−→ X имеемkf kX ≤ cX kA0 f kX ≤ cX cK0 ρK0 (A0 f ) = cX cK0 ρ(A0 f ).Итак, для f ∈ X0 с учетом (3.1.2) получаем оценкуkf kX ≤ cX cK0 ρK0 (A0 |f |) = cX cK0 ρ0 (|f |) = cX cK0 kf kX0 < ∞.Из нее следует требуемое вложение X0 ⊂ X. Итак, K0 7−→ X0 и если K0 7−→ X, гдеX-ИП со свойством (3.1.12), то X0 ⊂ X.
Следовательно, X0 является минимальным ИПсо свойством вида (3.1.12) для вложения K0 7−→ X. ∆Теорема 3.1.2.1. Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; пусть в M+ (S, µ), введено отношение порядка, причем ρ согласована с ним, т.е. выполнено условиеf ≺ g ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g), f, g ∈ M+ (S, µ).(3.1.15)Далее, пусть A0 : M (S, µ) 7−→ M+ (S, µ)- оператор со следующими свойствами:A0 (|f |) = A0 f ;A0 (αf ) = αA0 f,f ∈ M, α ≥ 0;∃c0 ∈ R+ : |f | ≺ c0 A0 f, ∀f ∈ M.∃C1 ∈ [1, ∞] :A0 (f + g) ≺ C1 [A0 (f ) + A0 (g)], ∀f, g ∈ M ;(3.1.17)|f | ≺ |g| ⇒ A0 (f ) ≺ A0 (g);0 ≤ fn ↑ fµ-п.в. ⇒ A0 fn ↑ A0 f(3.1.16)(3.1.18)µ-п.в.(3.1.19)Тогда, отображениеρ0 (f ) := ρ(A0 f ), f ∈ M+ ,(3.1.20)есть ИКН, а порожденное этой квазинормой пространствоX0 = X0 (S, µ) = f ∈ M : kf kX0 = ρ0 (|f |) < ∞есть ИП, причем квазинорма ρ0 согласована с отношением порядка и справедливо вложениеX0 ⊂ Y.762.
Пусть еще K0 - конус неотрицательных функций из Y (S, µ), снабженный функционалом ρK0 = ρ, и выполнены условия согласования конуса K0 с оператором A0(3.1.10),(3.1.11).Тогда X0 = X0 (S, µ) есть оптимальное ИП с квазинормой, согласованной с отношением порядка для вложения K0 7−→ X.Доказательство Теоремы 3.1.2. (применением Теоремы 3.1.1.)1. Покажем, что при выполнении условий Теоремы 3.1.2. будут выполнены условияТеоремы 3.1.1.
Действительно,(3.1.16), (3.1.20) ⇒ (3.1.3);(3.1.17), (3.1.20) ⇒ (3.1.4);(3.1.15), (3.1.18), (3.1.20) ⇒ (3.1.5);(3.1.19) ⇔ (3.1.6).Итак, выполнены условия (3.1.2)-(3.1.6). Тогда, согласно части 1 Теоремы 3.1.1, справедливы соотношения (3.1.7)-(3.1.9). Кроме того, в силу (3.1.18) и (3.1.20)f, g ∈ M+ ,f ≺ g ⇒ ρ0 (f ) ≤ ρ0 (g),(3.1.21)т.е. ρ0 согласована с отношением порядка.2. Пусть выполнены еще условия (3.1.10),(3.1.11). Тогда по Теореме 3.1.1 (часть 2)имеет место вложение K0 7−→ X0 . Кроме того, если в ИП X квазинорма согласована сотношением порядка, то|f | ≺ |g| ⇒ kf kX ≤ kgkX .(3.1.22)В силу (3.1.16) имеем |f | ≺ c0 A0 f, так что, положив в (3.1.22) g = c0 A0 f получим(3.1.12) с cX = c0 .
Поэтому, согласно части 2 Теоремы 3.1.1, если K0 7−→ X, то X0 ⊂ X.Таким образом, X0 есть минимальное ИП с квазинормой, согласованной с отношениемпорядка для вложения K0 7−→ X. ∆Следствие Теоремы 3.1.2.Пусть в условиях Теоремы 3.1.2 отношение порядка ≺ совпадает с отношением ≤.Тогда,1) в условиях части 1 ρ0 есть ИКН, а для порожденного ею ИП X0 справедливо вложение X0 ⊂ Y ;2) в условиях части 2 X0 есть оптимальное ИП для вложения K0 7−→ X.Доказательство очевидно. Согласованность квазинормы ρ с отношением порядка ≤ входит в определение ИКН (свойство (Р2)).Замечание 3.1.2.Теорема 3.1.2. остается справедливой, если в ее условиях свойство (3.1.19) замененоменее жестким требованием0 ≤ fn ↑ fµ − п.в. ⇒ 0 < A0 fn ↑A0 f,(3.1.23)а свойство Фату (Р3) заменено его порядковым аналогомfn > 0, n ∈ N;fn ↑f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ).77(3.1.24)Действительно, в доказательстве меняется лишь цепочка (3.1.14) при обосновании свойства Фату (Р3) для квазинормы ρ0 . Именно, согласно (3.1.23) и (3.1.24)0 ≤ fn ↑ fµ − п.в.
⇒ 0 < A0 fn ↑A0 f ⇒ ρ(A0 fn ) ↑ ρ(A0 f ),т.е. ρ0 (f ) = ρ(A0 f ) обладает свойством Фату (Р3).Замечание 3.1.3.Теорема 3.1.2 остается справедливой, если в ее условиях свойство (3.1.17) замененоменее жестким требованием: существуют положительные ограниченные операторы Bi :Y → Y, i = 1, 2, и постоянная c1 ∈ [1, ∞), такие чтоA0 (f + g) ≺ c1 [B1 A0 f + B2 A0 g].(3.1.25)Действительно, в доказательстве меняется лишь оценка ρ0 (f + g) на шаге 1. Именно,из (3.1.25), и свойств (3.1.15) и (Р1) для ρ следует, чтоρ0 (f + g) = ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 ρ(B1 A0 f + B2 A0 g) ≤ c1 c[ρ(B1 A0 f ) + ρ(B2 A0 g)].Далее, из ограниченности операторов Bi получимρ(B1 A0 f ) + ρ(B2 A0 g) ≤ kB1 k ρ(A0 f ) + kB2 k ρ(A0 g).В итоге,ρ0 (f + g) ≤ c1 c[kB1 k ρ0 (f ) + kB2 k ρ0 (g)],f, g ∈ M + ,(3.1.26)f, g ∈ M + .(3.1.27)что и требовалось:ρ0 (f + g) ≤ c1 c max {kB1 k , kB2 k} [ρ0 (f ) + ρ0 (g)],Свойство (3.1.17) отвечает случаю B1 = B2 = I- тождественный оператор.Приведем результат о построении ИП, в котором ИКН согласована с отношением порядка и обладает порядковым свойством Фату.Теорема 3.1.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
