Диссертация (1155081), страница 15
Текст из файла (страница 15)
t+τ L∞ (0,T0 )(3.2.48)Отметим, что для п.в. t ∈ (0, T0 )() ∗ τ f ∗ (τ ) τ f (τ ) ∼(A0 f )(t) = max ;= t+τ t+τ L∞ (0,t)L∞ (t,T0 )∼= max1kτ f ∗ (τ )kL∞ (0,t) ; kf ∗ (τ )kL∞ (t,T0 )t=1kτ f ∗ (τ )kL∞ (0,t) ,tпоскольку п.в. на (0, T0 )f ∗ (t) = kf ∗ kL∞ (t,T0 ) ;tf ∗ (t) ≤ kτ f ∗ (τ )kL∞ (0,t) .(3.2.49)Итак,1(A0 f )(t) ∼= kτ f ∗ (τ )kL∞ (0,t)t(3.2.50)при п.в. t ∈ (0, T0 ).Покажем, что оператор A0 обладает свойствами (3.1.16)-(3.1.19), (3.1.10), (3.1.11) Teoремы 3.1.2.Проверим (3.1.16). Имеем п.в. на (0, T0 ) ∗ τ f (τ ) ∗∗≤ 2(A0 f )(t),(3.2.51)f (t) ≤ kf kL∞ (t,T0 ) ≤ 2 t+τ L∞ (t,T0 )и 0 ≤ A0 f ↓, (A0 f )(t) непрерывна, так что(A0 f )∗ (t) = (A0 f )(t), t ∈ (0, T0 ).(3.2.52)Непрерывность (A0 f )(t) следует из того, что A0 f двоякомонотонна:A0 f (t) ↓,tA0 f (t) ↑ .Из (3.2.51), (3.2.52) следует, чтоf ∗ (t) ≤ 2(A0 f )∗ (t) ⇒ f ≺ 2A0 f.(3.2.53)Это и есть свойство (3.1.16) с c0 = 2.Проверим (3.1.17).
При α ≥ 0 имеем ∗ τ (αf )∗ (τ ) τ f (τ ) A0 (αf )(t) = =α= α(A0 f )(t); t+τ t + τ L∞ (0,T0 )L∞ (0,T0 )кроме того, учитывая известное неравенствоττ(f + g)(τ )∗ ≤ f ∗ ( ) + g ∗ ( ), τ > 0,2291(3.2.54)получим, применив неравенство треугольника в L∞ (0, T0 ) ∗ τ ∗ τ τ (f + g)∗ (τ ) τf (2)τg (2)A0 (f + g)(t) = ≤+= t+τ t+τ t+τL∞ (0,T0 )L∞ (0,T0 )L∞ (0,T0 ) ∗ ∗ ∗ ∗ ξf (ξ) ξg (ξ) ξg (ξ) ξf (ξ) = 2+ 2=+ 2≤ 2 t + 2ξ t+ξ Tt + 2ξ L∞ (0, T0 )t + ξ L∞ (0,T0 )L∞ (0, 0 )L∞ (0,T0 )22= 2[(A0 f )(t) + (A0 g)(t)].Отсюда и из свойств убывающих перестановок следует, чтоA0 (f + g)∗ ≤ 2[(A0 f ) + (A0 g)]∗ ⇒ A0 (f + g) ≺ 2[A0 (f ) + A0 (g)].Проверим (3.1.18). Имеем, с учетом (3.2.48)f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g ∗ ⇒ A0 f ≤ A0 g ⇒ (A0 f )∗ ≤ (A0 g)∗ ⇒ A0 f ≺ A0 g,что и требовалось.Проверим (3.1.19).
Из свойств убывающих перестановок следуетτ fn∗ (τ ) τ f ∗ (τ )↑t+τt+τ(при любом t ∈ (0, T0 ) и для почти всех τ ∈ (0, T0 )). Тогда, по свойствам нормы вL∞ (0, T0 ) имеем при t ∈ (0, T0 ) ∗ ∗ τ f (τ ) τ fn (τ ) ↑= (A0 f )(t).(A0 fn )(t) = t+τ t+τfn , f ∈ M (0, T0 ); 0 ≤ fn ↑ f ⇒ fn∗ ↑ f ∗ ⇒L∞ (0,T0 )L∞ (0,T0 )Итак, согласно Части 1 Теоремы 3.1.2! ∗ τ f (τ ) ρ0 (f ) = ρ(A0 f ) = ρ t+τ L∞ (0,T0 )есть ИКН, согласованная с отношением порядка (3.2.43), а X0 с квазинормой! ∗ τ f (τ ) −1∗∼kf kX0 = ρ0 (|f |) = ρ (3.2.55)= ρ t kτ f (τ )kL∞ (0,t)t + τ L∞ (0,T0 )есть ИП, причем X0 ⊂ Y (см.
(3.2.50)).Осталось проверить свойства (3.1.10) и (3.1.11).(3.1.10) : для h ∈ K0 имеем h∗ = h, τ h∗ (τ ) = τ h(τ ) ↑, так что(A0 h)(t) ∼= t−1 kτ h∗ (τ )kL∞ (0,t) = h(t)для п.в. t ∈ (0, T0 ) (здесь мы учли (3.2.50)). Итак,A0 h ≤ c̃0 h п.в. на (0, T0 ) ⇒ A0 h ≺ c̃0 h ⇒ ρ(A0 h) ≤ c̃0 ρ(h).Проверим (3.1.11). Имеем, по определению X0 ,f ∈ X0 ⇒ ρ(A0 f ) = ρ0 (f ) < ∞ ⇒ A0 f ∈ Y.Кроме того, из (3.2.48) видим, что 0 ≤ A0 f ↓; t(A0 f )(t) ↑, так что h := A0 f ∈ K0 .Таким образом, оператор A0 удовлетворяет условиям (3.1.16)-(3.1.19),(3.1.10), (3.1.11)и, согласно Части 2 Теоремы 3.1.2, пространство X0 с квазинормой (3.2.55) являетсяоптимальным ИП с квазинормой, согласованной с отношением порядка (3.2.43), длявложения K0 7−→ X для конуса K0 (3.2.47).923.2.5Оптимальное перестановочно инвариантное пространстводля конуса двоякомонотонных функций при дополнительном ограниченииПусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, согласованной с отношением порядка в терминах убывающих перестановок (т.е.
монотонной относительноубывающих перестановок)f, g ∈ M+ (0, T0 );f ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g ∗ ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g),(3.2.56)причем ИКН ρ удовлетворяет условию:ρ(f ∗∗ ) ≤ cρ(f ),f ∈ K0 .(3.2.57)Здесь f ∗∗ есть максимальная функция для f ∗ , определенная как1f (t) =t∗∗Ztf ∗ (s)ds, t ∈ (0, T0 ).0ПустьK0 = {h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓; th(t) ↑} ,ρK0 (h) := ρ(h).(3.2.58)Введем оператор A0 : M (0, T0 ) → M+ (0, T0 ) :(A0 f )(t) = f ∗∗ .(3.2.59)Выполнение свойств (3.1.16)-(3.1.19) для оператора (A0 f )(t) следует из свойств максимальной функции f ∗∗ (см. [2]). Поэтому, согласно Части 1 Теоремы 3.1.2,ρ0 (f ) = ρ(A0 f ) = ρ(f ∗∗ )есть ИКН, согласованная с отношением порядка, а X̃0 с квазинормойkf kX̃0 = ρ0 (|f |) = ρ(f ∗∗ )(3.2.60)есть ИП, причем X̃0 ⊂ Y .Покажем, что оператор A0 обладает свойствами (3.1.10),(3.1.11).(3.1.10): для h ∈ K0 выполнено условие (3.2.57).
Это и означает выполнение (3.1.10).(3.1.11): имеем, по определению X̃0 ,f ∈ X̃0 ⇒ ρ(A0 f ) = ρ0 (f ) < ∞ ⇒ A0 f ∈ Y.Кроме того, 0 ≤ A0 f ↓; t(A0 f )(t) ↑, так что h := A0 f ∈ K0 .Таким образом, оператор A0 удовлетворяет условиям (3.1.16)-(3.1.19), (3.1.10),(3.1.11)и, согласно Части 2 Теоремы 3.1.2, X̃0 является оптимальным ИП с квазинормой, согласованной с отношением порядка (3.2.56)и с условием (3.2.57), для вложения K0 7−→ X.Замечание 3.2.6 Пространство X̃0 с квазинормой (3.2.60) шире пространства X0с квазинормой (3.2.55). Так как X̃0 является минимальным ИП в более узком классепространств с дополнительным условием (3.2.57).933.2.6Оптимальное ИП для конуса неотрицательных обобщенноубывающих функцийПусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, и ρ согласована сотношением порядка (3.2.31).
Введем оператор(Bf )(t) = t−1Ztf dτ :Y → Y.(3.2.61)0Рассмотрим конус неотрицательных обобщенно убывающих функцийZt−1K1 = h ∈ Y : h ≥ 0; thdτ ↓ ,(3.2.62)0снабженный функционалом ρ, т.е.ρK1 (h) = ρ(h), h ∈ K1 .Здесь M = M (0, T0 ) - множество измеримых функций на (0, T0 ),M+ := {f ∈ M : f ≥ 0} . Введем оператор A0 : M → M+Zτ −1(A0 f )(t) = τ|f |dξ , t ∈ (0, T0 )0(3.2.63)(3.2.64)L∞ (t,T0 )и обозначимρ0 (f ) = ρ(A0 f ), f ∈ M+ .(3.2.65)Теорема 3.2.5. В обозначениях и условиях, указанных выше, предположим, чтосужение (3.2.61) на конус (3.2.62) ограничено по норме k·kY .
Тогда ρ0 - ИКН, согласованная с отношением порядка (3.2.31)ρ0 (f ) = ρ(A0 f ), f ∈ M+ ,(3.2.66)X0 = X0 (0, T0 ) = f ∈ M : kf kX0 := ρ0 (|f |) < ∞ ,(3.2.67)и пространствопорожденное ρ0 (f ), есть ИП, такое что K1 7−→ X0 , и X0 минимальное среди всех ИПX = X(0, T0 ), для которых K1 7−→ X и k·kX согласована с оператором A0 следующимобразом:kf kX ≤ c0 kA0 f kX .Доказательство Теоремы 3.2.5.Мы хотим доказать, что оператор A0 удовлетворяет свойствам (3.1.16)-(3.1.19), (3.1.10),(3.1.11)Теоремы 3.1.2(3.1.16) :−1Zt|f |dξ ≤ (A0 f )(t)tп.в. на (t, T0 ) (согласно определению A0 ) ⇒094ZtZt|f |dξ ≤ t(A0 f )(t) ≤(A0 f )(ξ)dξ ⇒ f ≺ A0 f0с c0 = 1.0Это означает, что выполнено свойство (3.1.16).(3.1.17) :A0 (|f |) = A0 f ;A0 (αf ) = αA0 ff ∈ M, α ≥ 0;A0 (f + g) ≤ (A0 f ) + (A0 g) ⇒ A0 (f + g) ≺ (A0 f ) + (A0 g) ⇒ (3.1.17) выполнено сc1 = 1.Zt(3.1.18) :|f | ≺ |g| ⇒Zt|f |dξ ≤0|g|dξ ⇒ A0 f ≤ A0 g ⇒ A0 f ≺ A0 g ⇒0(3.1.18) выполнено.(3.1.19) :0 ≤ fn ↑ fµ-п.в.
⇒ A0 fn ↑ A0 f.Итак, оператор A0 удовлетворяет свойствам(3.1.16)-(3.1.19), и согласноЧасти 1 Теоремы 3.1.2, ρ0 (f ) = ρ(A0 f ) - ИКН, а X0 = f ∈ M : kf kX0 = ρ0 (|f |) < ∞ ⊂ Y есть ИП,порожденное ρ0 , более того kf kX0 ≤ kA0 f kX0 .Остается доказать, что A0 удовлетворяет условиям (3.1.10),(3.1.11).(3.1.10) :h ∈ K1 ,−1Ztт.e.
h ≥ 0, thdτ ↓,−1Zthdτ ) ≤поэтому ρ(A0 h) = ρ(t00kBk ρ(h) (см. (3.2.61)).(3.1.11): согласно определению X0 ,f ∈ X0 ⇒ ρ(A0 f ) = ρ0 (f ) < ∞ ⇒ A0 f ∈ Y.Кроме того, из (3.2.64) следует, что 0 ≤ A0 f ↓⇒ t−1RtA0 f dτ ↓, поэтому h := A0 f ∈ K1 .0Итак, оператор A0 удовлетворяет условиям (3.1.16)-(3.1.19),(3.1.10),(3.1.11) и, согласноЧасти 2 Теоремы 3.1.2, X̃0 является минимальным среди всех ИП X = X(0, T0 ), длякоторых K1 7−→ X и k·kX согласована с A0 неравенством kf kX ≤ c0 kA0 f kX .95Заключение.Диссертация посвящена вопросам построения идеальных банаховых и квазибанаховыхоболочек для конусов неотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности. В ней для различных конусов строятся оптимальные оболочки, т.е. содержащие этиконусы минимальные, банаховы или квазибанаховы пространства измеримых функций,в которых (квази)норма обладает свойством монотонности и свойством Фату.
Для построения банаховых оболочек применяется метод ассоциированной двойственности, адля построения квазибанаховых оболочек развит метод нестягивающих операторов. Вдиссертации получены следующие основные результаты.1. Для конуса K функций со свойствами монотонности построено ассоциированное кнему обобщенное банахово функциональное пространство (ОБФП) K 0 и доказано,что ассоциированное к нему ОБФП X0 = K 00 является оптимальным ОБФП длявложения K 7→ X.2. Рассмотрены различные конкретизации общей схемы построения оптимальногоОБФП для разных конусов со свойствами монотонности и получены явные описания оптимальных ОБФП. В рассмотрение включены конусы убывающих неотрицательных функций в весовых пространствах Лебега и пространствах, заданныхс помощью двухвесовых интегральных квазинорм.3.
Развит метод построения квазинормированных идеальных оболочек для конусовнеотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности с помощьюнестягивающих операторов.4. Рассмотрены различные конкретизации общего метода нестягивающих операторов и построены в ряде случаев явные конструкции таких операторов и определяемых с их помощью оптимальных квазинорм. В рассмотрение включены различныеконусы убывающих, обобщенно убывающих и двояко монотонных функций.5. Метод построения идеальных оболочек для конусов реализован также в классахидеальных пространств с введенными в них отношениями порядка. Получены явные конструкции нестягивающих операторов и идеальных оболочек для различных вариантов конусов и отношений порядка.96Литература[1] Sobolev S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
