Диссертация (1155081), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Пусть теперь 0 < p < ∞. Тогда Ψp (t0 ) = 0 и мы имеем соотношения (2.2.1)-(2.2.3).Поэтому,XZpρpq (f ) =kf ϕkpLq (τ,T0 ) ψ p (τ )dτ.∆mm∈ZОтсюдаρppq (f )≤Xkf ϕkpLq (µm−1 ,T0 )m∈Z=XZψ p (τ )dτ =∆mXkf ϕkpLq (µm−1 ,T0 ) 2mp − 2(m−1)p = (1 − 2−p )kf ϕkpLq (µm−1 ,T0 ) 2mp .m∈Z(2.2.11)m∈ZАналогично,ρppq (f )≥Xkf ϕkpLq (µm ,T0 )Zm∈Zψ p (τ )dτ = (1 − 2−p )∆m= (1 − 2−p )Xkf ϕkpLq (µm ,T0 ) 2mp =m∈ZXkf ϕkpLq (µm−1 ,T0 ) 2(m−1)p .m∈ZВ результатеρppq (f ) ≥ 2−p (1 − 2−p )Xkf ϕkpLq (µm−1 ,T0 ) 2mp .(2.2.12)m∈ZИтак, в силу (2.2.11),(2.2.12)) p1(ρpq (f ) ∼=Xkf ϕkpLq (µm−1 ,T0 ) 2mp,(2.2.13)m∈Zа тогда) p1(ρpq (f ) ≥Xkf ϕkpLq (∆m )m∈Z392mp.(2.2.14)В то же время, используя оценки (2.2.9) или (2.2.10), а затем Лемму 2.1.1, получимоценку сверху, обратную (2.2.14). В итоге, мы приходим к оценке (2.2.4).3.
Осталось проверить при 1 ≤ p ≤ ∞ выполнение всех аксиом ОФН ( см. Определение 1.2.3). Для этого используем эквивалентную норму ρ̃pq (f ; Z) (квазинорму при0 < p < 1).Выполнение всех аксиом (квази)нормы сразу следует из определения (2.2.4). Отсюдаследует и свойство монотонности. Итак, выполнены свойства (Р1),(Р2).
Покажем выполнение свойства Фату (Р3):0 ≤ fn ↑ fп.в. на (t0 , T0 ) ⇒ ρpq (fn ) ↑ ρpq (f ).Известно, что при 0 < r ≤ ∞, если 0 ≤ Φn ∈ Lr (S) и Φn ↑ Φ п.в. на S, то Φизмерима и kΦn kLr (S) ↑ kΦkLr (S) .Применив это свойство сначала при S = (τ, T0 ), r = q, Φn = fn ϕ, получим kfn ϕkLq (τ,T0 ) ↑kf ϕkLq (τ,T0 ) для любого τ ∈ (t0 , T0 ). Затем применим его при S = (t0 , T0 ), r = p, Φn (τ ) =kfn ϕkLq (τ,T0 ) . Это приводит к требуемому соотношению.Осталось проверить выполнение аксиом (P 4)0 , (P 5)0 из Определения 1.2.3.
Для этогоудобно использовать эквивалентную (квази)нормуρ̃opq (f ; Z). Пусть {αm }m∈Z выбраныn1так, чтобы αm > 0, m ∈ Z и 0 < cp := αm |∆m | q0 2−m < ∞.lp0Рассмотрим функциюh(t) = c−1p αm ϕ(t),t ∈ ∆m , m ∈ Z.Тогда h(t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ), причем для f ∈ M + (t0 , T0 ) имеем, применив неравенствоГельдера,Z T0ZXZX−1f hdt = cpαmf ϕdt ≤f hdt =t0m∈Z≤ cp−1∆mX∆mm∈Z1q0αm kf ϕkLq (∆m ) |∆m | .m∈ZИтак,ZT0f hdt ≤ c−1pt0X1(2m kf ϕkLq (∆m ) )(αm |∆m | q0 2−m ).m∈Z0При 0 < p ≤ 1,Zp = ∞ отсюда имеем (с учетомnoT1−1 f hdt ≤ cp αm |∆m | q0 2−m при 0<p<1 неравенства Йенсена), чтоno m 2 kf ϕkLq (∆m ) .lp00lpПри 1 < p ≤ ∞, p1 + p10 = 1 это же неравенство получим, применив неравенствоГельдера.
В итоге для данной h > 0 на (t0 , T0 ) имеемZ T0nof hdt ≤ 2m kf ϕkLq (∆m ) = ρ̃pq (f ).lpt0Это дает выполнение свойства (P 4)0 .Наконец, для функции1|∆m |− qf0 (t) = 2|m|,2 ϕ(t)40t ∈ ∆m , m ∈ Zимеем:f0 (t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ),причемnoρ̃pq (f0 ) = 2m kf0 ϕkLq (∆m ) = 2−2|m|+m lp < ∞lp0Это означает выполнение аксиомы (P 5) . 4Замечание 2.2.2 При 1 ≤ p ≤ ∞ приведенные рассуждения показывают, что ρpqесть ОФН.Доказательство Леммы 2.2.2.1. Для f, g ∈ M + (t0 , T0 ) имеем при 0 < p ≤ ∞Z T0XZXg f gdt =f gdt ≤kf ϕkLq (∆m ) ≤ϕt0∆m(∆)Lmm∈Zm∈Zq0() nog m −m 2kfϕk≤ 2 Lq (∆m ) .ϕ L 0 (∆m ) lpqlp0Итак,ZT0f gdt ≤ ρ̃˜0pq (g)ρ̃pq (f ),t0откудаρ̃0pq (g)ZT0ρ̃pq (f ; Z) ≤ 1 ≤ ρ̃˜0pq (g).+f gdt : f ∈ M (t0 , T0 );= sup(2.2.15)t02.
Получим обратное неравенство. Точность неравенства Гельдера для последовательностей означает, что ∃ {αm }m∈Z со свойствами:αm ≥ 0, m ∈ Z; k{αm }klp = 1() Xgg−m −m = 2 αm 2 ϕ Lq0 (∆m ) ϕ Lq0 (∆m ) m∈Z= ρ̃˜0pq (g).lp00Это верно при 1 < p ≤ ∞; а при 0 < p ≤ 1, т.е. p = ∞ это верно ”с точностью до любого ∈ (0, 1) ”, т.е. найдется {αm } = {αm ()}:k{αm }klp = 1;ρ̃˜0pq (g)(1 − ) ≤X−mαm 2m∈Z g .ϕLq0 (∆m )(2.2.16)Неравенство (2.2.16) верно для любых 0 < p ≤ ∞ (при 1 < p ≤ ∞ оно превращается вравенство с = 0).Рассмотрим функциюXf˜(t) =fm (t)χ∆m (t),m∈Z41где fm ≥ 0, m ∈ Z выбраны так, что Z −m g fm gdt = αm 2 ;ϕ Lq0 (∆m )∆mkfm ϕkLq (∆m ) = αm 2−m .Такой выбор fm возможен в силу точности неравенства Гельдера для интегралов при1 < q ≤ ∞.
Если же q = 1, то такой выбор возможен ”с точностью до любого ∈ (0, 1)”, т.е. найдется fm = fm (, t) ≥ 0, такая что Z −m g (1 − );fm gdt ≥ αm 2 ϕ Lq0 (∆m )∆mkfm ϕkLq (∆m ) = αm 2−m .(2.2.17)Первое неравенство (2.2.17) верно и при q > 1 (оно превращается в равенство с = 0).Тогда при всех 1 ≤ q ≤ ∞ имеем m ˜˜ =ρ̃pq (f ; Z) = 2 f ϕLq (∆m )lpno m= 2 kfm ϕkLq (∆m ) = k{αm }klp = 1.lpЗначит, при всех 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ получим из (2.2.16),(2.2.17) для любойg ∈ M + (t0 , T0 )Z T0 Z T00+ρ̃pq (g) = supf gdt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ̃pq (f ; Z) ≤ 1 ≥f˜gdt =t0=t0 X −m g αm 2 fm gdt ≥ (1 − )≥ (1 − )2 ρ̃˜0pq (g).ϕ Lq0 (∆m )∆mm∈ZXZm∈ZИтак, для любой g ∈ M + (t0 , T0 ) имеем с учетом (2.2.15)(1 − )2 ρ̃˜0pq (g) ≤ ρ̃0pq (g) ≤ ρ̃˜0pq (g).Поскольку сами величины ρ̃0pq (g) и ρ̃˜0pq (g) не зависят от , то при → +0 отсюда следуетравенство (2.2.7). 4Доказательство Леммы 2.2.3.1.
Рассмотрим сначала случай 0 < p ≤ 1.Имеем, согласно обозначению (2.1.7) и формулам (2.2.2),(2.2.3): g −1 ρ̇0pq (g) = sup Ψ(t).p m∈Z ϕ L 0 (t0 ,t)qL∞ (∆m )Но из (2.2.1) следует, что Ψp (t) ∼= 2 , t ∈ ∆m , так что g g−m0−mρ̇pq (g) ∼= sup 2 .= sup 2 ϕ ϕ L 0 (t0 ,t) m∈Zm∈ZL(t,µ)00 mqqmL∞ (∆m )42(2.2.18)Используя затем соотношения: при 1 ≤ q 0 < ∞! 10 X g q0 ϕ g =ϕLq0 (t0 ,µm )q Xg ≤ϕLq0 (∆m )l≤ml≤m Xgg ≤ϕϕL∞ (t0 ,µm )L∞ (∆l )l≤m;(2.2.19)Lq0 (∆m )(q 0 = ∞)(2.2.20)и Лемму 2.1.1, получимρ̇0pq (g)−m≤ cp sup 2m∈Z Xg ϕ∼= sup 2−mLq0 (∆l )l≤mm∈Z Xg ϕl≤m.Lq0 (∆m )Аналогичная оценка снизу сразу следует из (2.2.18). Итак, 0−m g ∼= ρ̃˜0pq ,ρ̇pq (g) = sup 2 ϕm∈ZLq0 (∆m )см.(2.2.6). Отсюда следует (2.2.8).2.
Пусть теперь 1 < p ≤ ∞. Тогда, согласно (2.1.6), (2.2.2), (2.2.3)0ρ̇0pq (g)p =" #p0gdΨp (t) ≤Ψp (t)−1ϕΨp (t)∆mLq0 (t0 ,t)XZm∈Z X g p0 ≤ϕ0X g p ϕ X g p0 =ϕZ2dΨp (t) =∆m02−m(1+p ) [Ψp (µm ) − Ψp (µm−1 )] =Lq0 (t0 ,µm )m∈Zm∈Z−m(1+p0 )Lq0 (t0 ,µm )m∈Z X g p0 =ϕ0Ψp (t)−1−p dΨp (t) ∼=∆mLq0 (t0 ,µm )m∈Z∼=Z−m(1+p0 )2mm−1(2 − 2Lq0 (t0 ,µm ) p01 X0g)=2−mp .2 m∈Z ϕ Lq0 (t0 ,µm )(2.2.21)Теперь используем оценки (2.2.19) (при q 0 < ∞ ) или (2.2.20) (при q 0 = ∞) и Лемму2.1.1:!p0 p0 XXX1g0 g 0p0−mp0−mp∼ ρ̇pq (g) ≤22.=ϕϕ2m∈Zl≤mLq0 (∆l )m∈ZОтсюда и из (2.2.6) следует, чтоρ̇0pq (g) ≤ cp ρ̃˜0pq (g),43cp ∈ R+ .Lq0 (∆m )Получим соответствующую оценку снизу. Действуем аналогично выводу оценки(2.2.21). Имеем,p0Xg ρ̇0pq (g) ≥ϕZp0Lq0 (t0 ,µm−1 )m∈Z∼= X g p0 ϕ02−m(1+p ) [Ψp (µm ) − Ψp (µm−1 )] = X g p0 =ϕ2p0 +1 X g p0 ϕm∈Z02−m(1+p ) (2m − 2m−1 ) =Lq0 (t0 ,µm−1 )m∈Z=∆mLq0 (t0 ,µm−1 )m∈Z10Ψp (t)−1−p dΨp (t) ∼=−(m−1)p02=Lq0 (t0 ,µm−1 )≥12p0 +112p0 +1 X g p0 ϕm∈Z02−mp ≥Lq0 (t0 ,µm ) X g p00 2−mp .ϕLq0 (∆m )m∈ZВ итогеρ̇0pq (g) ≥ c˜p ρ̃˜0pq (g).Вместе с (2.2.21) это неравенство дает оценку ((2.2.8).
4Вывод: мы завершили доказательства Лемм 2.2.1-2.2.3, а следовательно, и доказательство Теоремы 2.1.1. в основном случае: 0 < p < ∞ или p = ∞, Ψ∞ (t0 ) = 0.Доказательство Теоремы 2.1.1 в случае: p = ∞, Ψp (t0 ) > 0.Доказательство Теоремы 2.1.1 в этом случае опираются на следующие леммы:Лемма 2.2.10 .Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.1 при p = ∞, причем Ψp (t0 ) > 0. Введемпоследовательность {µm }m∈N формулами: µ0 = t0 ;Ψ∞ (µm ) = 2m Ψ∞ (t0 ), m ∈ N.Тогда,t0 < µm−1 < µm , m ≥ 2;lim µm = T0m→+∞и при∆m = [µm−1 , µm ), m ∈ Nимеет место эквивалентностьnoρ∞q (f ) ∼= ρ̃∞q (f ; N) := Ψ∞ (t0 ) 2m kf ϕkLq (∆m ).m∈N l∞Постоянные в этой двусторонней оценке абсолютные, положительные, конечные.Величина ρ∞q (f ) является ОФН.Лемма 2.2.20 .44В условиях Леммы 2.2.10 для g ∈ M + (t0 , T0 ) определимZ T0+0f gdt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ̃∞q (f ; N) ≤ 1 ;ρ̃∞q (g) := supt0( g−m0ρ̃˜∞q (g) := Ψ∞ (t0 ) 2 ϕLq) .0 (∆m )l1Тогдаρ̃0∞q (g) = ρ̃˜0∞q (g),g ∈ M + (t0 , T0 ).Лемма 2.2.30 .В условиях Леммы 2.2.10 для g ∈ M + (t0 , T0 )ρ̃˜0∞q (g) ∼= ρ̇0∞q (g)с абсолютными постоянными.Замечание 2.2.3.
Доказательства Лемм 2.2.10 -2.2.20 вполне аналогичны доказательствам Лемм 2.2.1-2.2.2 и потому опускаются. Несколько отличается доказательствоЛеммы 2.2.30 ; его мы приводим ниже.Доказательство Леммы 2.2.30 .1. Оценим сверху ρ̇0∞q (g) через ρ̃˜0∞q (g).XZ g0Ψ∞ (t)−2 dΨ∞ (t) ≤ρ̇pq (g) =ϕLq0 (t0 ,t)m∈N ∆m≤ Ψ∞ (t0 )−2X−2m2m∈N−1≤ Ψ∞ (t0 )X ZX gg−1 dΨ∞ (t) = Ψ∞ (t0 )2−2m 2m−1 ≤ϕϕLq0 (t0 ,µm ) ∆mLq0 (t0 ,µm )m∈N−(m+1)2m∈Nm Xg ϕl=1−1= Ψ∞ (t0 )Lq0 (∆l )∞ Xg ϕl=1∞XLq0 (∆l ) m=l ∞X 1−l g =2 = ρ̃˜0∞q .Ψ∞ (t0 ) l=1ϕ Lq0 (∆l )Получим соответствующую оценку снизу: ZX 0−2−2m g dΨ∞ (t).ρ̇∞q (g) ≥ Ψ∞ (t0 )2ϕLq0 (t0 ,µm−1 ) ∆mm∈NСлагаемое с m = 1 здесь равно 0, так чтоρ̇0∞q (g)≥ Ψ∞ (t0 )−1∞ Xg ϕLq0 (t0 ,µm−1 )m=2452−2m 2m−1 =2−(m+1) =−1= Ψ∞ (t0 )∞ Xg ϕm=2−m−12Lq0 (t0 ,µm−1 )∞ Xg1−1 = Ψ∞ (t0 )2−m ≥ϕ4Lq0 (t0 ,µm )m=1∞ p0Xg11 ˜0−1−m ≥ Ψ∞ (t0 )2=ρ̃∞q . 4ϕ44L(∆)mm=1q0Вывод: Из Лемм 2.2.10 , 2.2.20 , 2.2.30 следует выполнение теоремы 2.1.1.
при p = ∞, Ψ∞ (t0 ) >0.2.2.2Доказательство Теоремы 2.1.2.Доказательство Теоремы 2.1.2 при p = ∞ и Ψ∞ (t0 ) > 0.Из убывания функции kf ϕkLq (τ,T0 ) > 0 по τ следует известная формулаkf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·)L∞ (t0 ,T0 )= kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·).(2.2.22)L∞ (t0 ,T0 )При этом Ψ∞ (t0 ) ≤ Ψ∞ (τ ) ≤ Ψ∞ (T0 ), τ ∈ (t0 , T0 ), так чтоΨ∞ (t0 ) kf ϕkLq (t0 ,T0 ) ≤ kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·)≤ Ψ∞ (T0 ) kf ϕkLq (t0 ,T0 ) .L∞ (t0 ,T0 )Итак,Ψ∞ (t0 ) kf ϕkLq (t0 ,T0 ) ≤ ρ∞q (f ) ≤ Ψ∞ (T0 ) kf ϕkLq (t0 ,T0 ) .Тогда, для g ∈ M + (t0 , T0 ) , с учетом правой оценки в (2.2.23), получимZ T0+0f gdt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ∞q (f ) ≤ 1 ≥ρ∞q (g) = supt0ZT0g1+≥ sup( )(f ϕ)dt : f ∈ M (t0 , T0 ), kf ϕkLq (t0 ,T0 ) ≤=ϕΨ∞ (T0 )t0Z T01g+=sup( )hdt : h ∈ M (t0 , T0 ), khkLq (t0 ,T0 ) ≤ 1 .Ψ∞ (T0 )ϕt0В силу точности неравенства Гельдера для интегралов, отсюда получим g10 ρ∞q (g) ≥.Ψ∞ (T0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )Аналогично, из второй оценки в (2.2.23) следует, что g10 ρ∞q (g) ≤.Ψ∞ (t0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )46(2.2.23)Оценка (2.1.10) доказана.Доказательство Теоремы 2.1.2 в остальных случаях.Доказательство Теоремы 2.1.2 в остальных случаях опирается на следующие трилеммы.Лемма 2.2.100 .Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.2 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0.
Введемпоследовательность {µ̃m }m∈N0 формуламиΨp (µ̃m ) = Ψp (T0 )2−m , m ∈ N0 = {0, 1, 2, . . .} .(2.2.24)µ̃0 = T0 ,(2.2.25)Тогда,t0 < µ̃m+1 < µ̃m ,lim µ̃m = t0m→+∞и при˜ m = [µ̃m+1 , µ̃m ), m ∈ N0∆(2.2.26)имеет место эквивалентностьnoρpq (f ) ∼= ρ̃pq (f ) := Ψp (T0 ) 2−m kf ϕkLq (∆˜ m ) .(2.2.27)lpПостоянные в двусторонней оценке (2.2.27) положительные, конечные и зависят только от р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
