Диссертация (1155081), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Пусть K ∈ = (S; µ), причем выполнены условия: для любого подмножества B ⊂ S с µ (B) < ∞, существуют функции fB ∈ M + (S; µ), hB ∈ K, такиечтоfB , hB > 0 µ − п.в. на B; K 7→ L1 (B, fB ), т.е.Z∃cB ∈ R+ :hfB dµ ≤ cB ρK (h), ∀h ∈ K.(1.3.3)BТогда, пространствоK 0 ≡ K 0 (S; µ) = {g ∈ M (S; µ) :kgkK 0 < ∞} ,с нормойkgkK 0 = supZ|g|hdµ :Sh ∈ K,ρK (h) 6 1есть ОБФП, а ассоциированное с ним ОБФП X0 = X0 (S; µ) = [K 0 (S; µ)]0 являетсяоптимальным для вложения (1.3.1).Доказательство теоремы 1.3.1.1.

Для доказательства того, что K 0 (S; µ) есть ОБФП, нужно показать, что порождающий его функционалZρ (g) = supghdµ : h ∈ K, ρK (h) 6 1 , 0 6 g ∈ M + (S; µ) ,(1.3.4)Sявляется ОФН, т.е. он удовлетворяет условиям Определения 1.2.3. Сразу отметим,что для 0 6 g ∈ M + (S; µ) , h ∈ K,Zghdµ 6 ρ (g) ρK (h) .(1.3.5)SДействительно, h = 0 ⇔ ρK (h) = 0, тогда (1.3.5) очевидно. Если же ρK (h) > 0, тоh0 := ρK (h)−1 h ∈ K; ρK (h0 ) = 1 и из определения (1.3.4) видим, чтоZgh0 dµ 6 ρ (g) .SОтсюда следует неравенство (1.3.5).Далее, для любого множества B ⊂ S с µ (B) < ∞ получим, используя (1.3.5), чтодля hB ∈ K из условия теоремы,ZZghB dµ ≤ ghB dµ 6 ρK (hB ) ρ (g) .(1.3.6)BS26Отсюда следует свойство (P 4)0 : мы имеемhB 6= 0 ⇒ ρK (hB ) > 0 ⇒ h̃B = hB ρK (hB )−1 ∈ K, ρK (h̃B ) = 1,и, в силу (1.3.6), получимZg h̃B dµ ≤ ρ(g),Bпричем h̃B > 0 µ- п.в.

на В. Это неравенство показывает, в частности, чтоZg h̃B dµ ≤ ρ(g) < ∞ ⇒ g < ∞ρ(g) < ∞ ⇒Bпочти всюду на множестве B ⊂ S c µ(B) < ∞, и значит, почти всюду на S.Докажем свойство (P̃ 1), т.е., что функционал (1.3.4) имеет нулевое ядро, удовлетворяет неравенству треугольника и положительно однороден.

Если ρ (g) = 0, то длялюбого множества B ⊂ S с µ (B) < ∞ получим, используя (1.3.6), чтоZghB dµ = 0.BСледовательно, ghB = 0 почти всюду на B. Поскольку hB > 0, то g = 0 почти всюду наB. Поскольку здесь B — любое подмножество множества S с µ (B) < ∞, то g = 0 почтивсюду на S. Таким образом, функционал имеет нулевое ядро. Неравенство треугольникаследует непосредственно из формулы (1.3.4). Наконец, отметим, что ρ (αg) = αρ (g) .Темсамым, доказано свойство (P̃ 1) для функционала ρ.Далее, свойство монотонности (Р2), очевидно, выполнено:⇒0 6 g 6 f почти всюдуρ (g) 6 ρ (f ) .Докажем свойство Фату (Р3).

Пусть 0 6 gl ↑ g (почти всюду). Тогда,ZZ0 6 gl h ↑ gh, ∀h ∈ K ⇒gl hdµ ↑ ghdµ, ∀h ∈ KS(1.3.7)S(последняя импликация следует из теоремы Б. Леви о монотонной сходимости).Имеем далее, используя свойство (Р2), ρ (gl ) ↑; ρ (gl ) 6 ρ (g).для По определению,Rлюбого ξ ∈ (0, ρ (g)) найдем функцию h̃ = h̃ξ ∈ K, такую что ρK h̃ξ 6 1,g h̃ξ dµ > ξ.SПоложим тогда h = h̃ξ в (1.3.7) и получим, чтоZ∃l (ξ) ∈ N :gl h̃ξ dµ > ξ,∀l >l (ξ) .SТогда,Zρ (gl ) >gl h̃ξ dµ > ξ,S27∀l >l (ξ) .Таким образом,∀l > l (ξ)ξ < ρ (gl ) 6 ρ (g) ,⇒ ρ (gl ) → ρ (g) .Этим доказано свойство Фату (Р3).Осталось доказать свойство (P 5)0 .

Для этого используем условие теоремы: ∃fB ∈+M , fB > 0 µ- п.в. на В, для которой выполнено условие (1.3.3). Положим f˜B = fB χB .Тогда f˜B ∈ M + , f˜B > 0 µ-п.в. на B, причем, с учетом (1.3.3), получимZZ ˜˜ρ fB = suphfB dµ : h ∈ K, ρK (h) 6 1 = suphfB dµ : h ∈ K, ρK (h) 6 1 ≤SB≤ cB < ∞.Таким образом, функционал (1.3.4) является ОФН. Поэтому, из результатов раздела 1 следует, что K 0 (S; µ) есть ОБФП, порожденное этой нормой.2.

Пространство [K 0 (S; µ)]0 , ассоциированное с K 0 (S; µ), также является ОБФП,причем для X0 (S; µ) = [K 0 (S; µ)]0 имеем:ZkψkX0 = sup|ψg| dµ : g ∈ M (S; µ) ; kgkK 0 6 1 .(1.3.8)SДля функции h ∈ K получим, опираясь на (1.3.4), при g ∈ M (S; µ),Z|g| hdµ 6 kgkK 0 ρK (h) .SСледовательно, если h ∈ K, то h ∈ X0 , ибоkhkX0 6 ρK (h) sup {kgkK 0 :g ∈ M (S; µ) ; kgkK 0 6 1} = ρK (h) .Итак, K 7→ X0 . Далее, если банахово функциональное пространство X таково, чтоимеет место вложение (1.3.1) , то X 0 ⊂ X00 = K 0 . Действительно, согласно (1.3.1) , еслиh ∈ K, то h ∈ X (S; µ) , khkX(S;µ) 6 cK ρK (h). Тогда, для любой f ∈ M (S; µ),Rkf kX 0 (S;µ) = sup|f g| dµ : g ∈ X (S; µ) , kgkX(S;µ)SR> sup|f | hdµ : h ∈ K, khkX(S;µ) 6 1 >SR−1> sup|f | hdµ : h ∈ K, ρK (h) 6 cK =S R−1= cK sup|f | h̃dµ : h̃ ∈ K, ρK h̃ 6 1 .SЭто означает, что для любой f ∈ M (S; µ),−1kf kX 0 (S;µ) > c−1K kf kK 0 = cK kf kX 0 (S;µ) .02861 >Следовательно,X 0 (S; µ) ⊂ X00 (S; µ) ;kf kX 0 (S;µ) 6 cK kf kX 0 (S;µ) .0По принципу двойственности для ОБФП отсюда следует, что X0 (S; µ) = X000 (S; µ) ⊂X 00 (S; µ) = X (S; µ) причем kJk 6 cK , где J — оператор вложения.

Итак, при X0 (S; µ) =X (S; µ) вложение (1.3.1)справедливо, и, если (1.3.1) имеет место для некоторого ОБФПX (S; µ), то X0 (S; µ) ⊂ X (S; µ). Это означает, что X0 (S; µ) есть оптимальное ОБФП(1.3.1).∆1.4Оптимальное банахово функциональное пространство для конуса, заданного интегральным представлением.Приведем конкретизацию теоремы 1.3.1, когда конус K описывается действием интегрального оператора с неотрицательным ядром на функции из некоторого конуса E0неотрицательных функций.

Пусть заданы два пространства с мерами (S; µ) , (D; ν) .Мерымы считаем неотрицательными и σ — конечными. Пусть E = E (D; ν) — ОБФП, E0 =E0 (D; ν)— некоторый конус неотрицательных функций из E = E (D; ν).Далее, пусть ядро Ω (t, τ ) неотрицательно и измеримо на пространстве (S; µ) ×(D; ν). Рассмотрим интегральные операторыZ< (λ; t) = Ω (t, τ )λ (τ ) dν (τ ) , t ∈ S, λ ∈ E0 (D; ν)(1.4.1)D<0 (g; τ ) =ZΩ (t, τ )g (t) dµ (t) ,τ ∈ D,g ∈ M + (S; µ) .(1.4.2)SВведем конус функций, имеющих интегральное представление:K = {h (t) = < (λ; t) :t ∈ S,λ ∈ E0 (D; ν)} ,(1.4.3)снабженный функционаломρK (h) = inf {kλkE :λ ∈ E0 ; < (λ) = h} .Над этим конусом определим ОФН как в теореме 1.3.1:Zghdµ : h ∈ K, ρK (h) 6 1 , g ∈ M + (S; µ) ,ρ (g) = sup(1.4.4)(1.4.5)SВведем также другой вариант нормыZρ0 (g) = sup<0 (g) λdν : λ ∈ E0 ,D29kλkE ≤ 1 , g ∈ M + (S; µ) .(1.4.6)В приведенных обозначениях имеем следующий результат.Теорема 1.4.1.

Пусть E0 = E0 (D; ν) — некоторый конус неотрицательныхфункций из ОБФП E = E (D; ν); пусть ядро Ω (t, τ ), описанное выше таково, чтодля любого множества B ⊂ S, µ (B) < ∞ существуют функцииfB ∈ M + (S; µ), λB ∈E0 (D; ν), такие чтоZ(1.4.7)1) fB > 0 µ − п.в на B; cB := Ω (t, ·) fB (t)dµ (t) < ∞; 0B2)E< (λB ; t) > 0, для µ — почти всех t ∈ B.(1.4.8)Тогда, (1.4.6) есть ОФН, совпадающая с (1.4.5), а порожденное ею ОБФПK00 = K00 (S; µ) = {g ∈M (S; µ) :ρ0 (|g|) < ∞}(1.4.9)совпадает с ассоциированным ОБФП к оптимальному ОБФП X0 = X0 (S; µ) длявложения (1.3.1).Замечание 1.4.1.

Если еще конус E0 = E0 (D; ν) согласован с множествомG0 = ϕ = <0 (g) : g ∈ M + (S; µ) ,(1.4.10)в том смысле, что для любой ϕ ∈ G0 ,ZkϕkE 0 = sup|ϕ| λdν :λ ∈ E0 ,DkλkE 6 1 ,(1.4.11)то справедлива формулаρ0 (g) = k<0 (g)kE 0 ,g ∈ M + (S; µ) .(1.4.12)Пример 1.4.1 Важный в приложениях пример реализации формулы (1.4.12) получим в случае, когда (D; ν) = (R+ ; m) (с мерой Лебега m на полуоси R+ ),E = E (R+ ; m) есть перестановочно инвариантное пространство,E0 = {λ ∈ E (R+ ; m) :0 6 λ ↓,а ядро Ω (t, τ ) убывает по τ ;Действительно, в этом случаеλ (τ + 0) = λ (τ ) ,(1.4.13)Ω (t, τ + 0) = Ω (t, τ ) для µ−почти каждого t ∈ S.σ ∈ E (R+ ; m) ⇔ λ = σ ∗ ∈ E0 (R+ ; m) ,0 ≤ <0 (g; τ ) ↓,τ ∈ R+ } ,kλkE = kσ ∗ kE ,<0 (g; τ + 0) = <0 (g; τ ),τ ∈ R+(1.4.14)(1.4.15)(см.

(1.4.2)), так что<0 (g)∗ = <0 (g)30(1.4.16)и по формуле для ассоциированной нормы в случае перестановочно инвариантного пространства (с учетом (1.4.14) и (1.4.16))Z ∞000∗ ∗k< (g)kE = sup< (g) σ dτ : σ ∈ E, kσkE ≤ 1 =0Z∞0< (g)λdτ :supλ ∈ E0 ,kλkE ≤ 1 = ρ0 (g).0Доказательство теоремы 1.4.1.1. Сначала проверим, что конус (1.4.4)-(1.4.5) удовлетворяет всем условиям теоремы 1.3.1. Для h ∈ K, α > 0 имеем: h = < (λ) , λ ∈ E0 ⇒ αh = < (αλ) ∈ K, т.к.αλ ∈ E0 иρK (αh) = inf {kαλkE : λ ∈ E0 ; < (λ) = h} = αρK (h) .Далее, для любого множества B ⊂ S с µ (B) < ∞ рассмотрим функцию fB ∈ M + (S; µ)из условия теоремы.

Тогда, для любого h ∈ K при λ ∈ E0 : < (λ) = h, имеемZZ ZhfB dµ (t) =  Ω (t, τ ) λ (τ ) dν (τ ) fB (t)dµ (t).BBDЗдесь Ω (t, τ ) λ (τ ) fB (t) > 0 — измерима на (S; µ) × (D; ν); меры µ и ν неотрицательныи σ-конечны. По теореме Фубини можно переставить порядок интегрирования, и мыполучим, применив еще неравенство Гельдера и условие (1.4.7), чтоZZ ZhfB dµ (t) =  Ω (t, τ ) fB (t)dµ (t)λ (τ ) dν (τ ) 6 cB kλkE .BDBЗдесь λ ∈ E0 — любая функция, для которой < (λ) = h. Переходя к нижней грани повсем таким λ, получимZhfB dµ (t) ≤ cB ρK (h) , h ∈ K.BЭтим доказано включение K 7→ L1 (B; fB ), а также с учетом (1.4.7) и произвольностимножества B ⊂ S с µ(B) < ∞, что ρK (h) = 0 ⇒ h = 0 µ- п.в. на B ⇒ h = 0 µп.в. на S.

Итак, K ∈ J (A; µ), более того K 7→ L1 (B; fB ). Наконец, в силу (1.4.8),положив hB = < (λB ) ∈ K, имеем hB > 0; hB (t) > 0, для почти всех t ∈ B. Такимобразом, выполнены все условия теоремы 1.3.1 и (1.4.5) есть функциональная норма,порождающая ОБФП K 0 , ассоциированное с оптимальным ОБФП X0 .2. Остается показать совпадение функционалов (1.4.6) и (1.4.5). Тогда мы получимпо теореме 1.3.1, что X0 = (K00 )0 есть оптимальное ОБФП для вложения (1.3.1).Подставим в интеграл в (1.4.5) формулы (1.4.3) и (1.4.1) и получим для g ∈+M (S; µ)ZZZZghdµ = g< (λ) dµ = g (t)  Ω (t, τ ) λ (τ ) dν (τ )dµ (t) .SSSD31Применим теорему Фубини для неотрицательной измеримой на (S; µ) × (D; ν) функцииg (t) Ω (t, τ ) λ (τ ) и получимZZZZ(1.4.17)Ω (t, τ ) g (t) dµ (t) dν (τ ) = λ<0 (g)dν.ghdµ = λ (τ )SDSDДалее, используя определение ρ0 (1.4.6), и учитывая, что λ ∈ E0 , получимZλ<0 (g)dν 6 kλkE ρ0 (g) .DТаким образом,Zghdµ 6 kλkE ρ0 (g) .SПереходя здесь к нижней грани по λ ∈ E0 , таким что < (λ) = h, получимZghdµ 6 ρK (h) ρ0 (g)(1.4.18)Sдля любого h ∈ K.

Характеристики

Список файлов диссертации