Диссертация (1155081), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Главу 2 в[33]). Например,ZZlocn∗pf ∈ L1 (R ) ⇔ f ∈ L1 (0, t), t ∈ R+ ;|f | dµn =(f ∗ )p dµ1 , p > 0,RnnR+где µn , µ1 - мера Лебега на R или на R+ = (0, ∞) соответственно.Интегральные свойства максимальной функции Харди-Литтлвуда M f играют важнуюроль в проблемах теории функциональных рядов, в Фурье-анализе, в теории приближений и т.д. Интегральные свойства M f определяются ее убывающей перестановкой. Но5Rtсуществует двухсторонняя оценка: (M f )∗ ∼= f ∗∗ , где f ∗∗ (t) = t−1 0 f ∗ dτ - элементарнаямаксимальная функция, которая является двояко монотонной, то есть f ∗∗ ↓, tf ∗∗ (t) ↑ .Например,ZZp∼|M f | dµn =(f ∗∗ )p dµ1 , p > 0.RnR+Тем самым, изучение интегральных свойств M f сводится к оценкам оператора типаХарди на конусе монотонных функций.Интегральные свойства операторов типа Харди на конусах убывающих функцийиграют также важную роль в теории вложения для пространств Лоренца.
Рассмотримпространства Лоренца с общими весами v, w, которые являются положительными иконечными µ1 -п. в. :()Z1∞Λp (v) =(Γq (w) =<∞ ,0∞Zkf kΓq (w) =f:p(f ∗ )p vdtkf kΛp (v) =f:) 1q(f ∗∗ )q wdt<∞ ,0где 0 < p, q < ∞. Так как f ∗ ≤ f ∗∗ , то Γp (v) ⊂ Λp (v). Но из определений также следует,например:Λp (v) ⊂ Γq (w) ⇔ HΩ0 (p, q) < ∞, 0 < p, q < ∞,где" Z∞qtZHΩ0 (p, q) = supgdτg∈Ω00Ω0 = {g : 1q Zt wdt−q∞− p1 #g vdt,p000 ≤ g(t) < ∞,g(t) ↓ на R+ } .Проблема вложения сведена к вопросу об ограниченности оператора Харди на конусеΩ0 ∩ Lp (v).Вопросы вложения для пространств Бесова могут быть сведены к изучению свойствположительного оператора на конусе монотонных функций. А именно, пусть f ∈ Lp (Rn ),1 ≤ p ≤ ∞.
Рассмотрим модули непрерывности порядка k в Lp (Rn ) :noωpk (f ; t) = sup ∆kh f Lp : h ∈ Rn , |h| ≤ t , t ∈ R+ .Определим пространство Бесова обобщенной гладкости (см., например, М. Л. Гольдман[34, 35], Г. А. Калябин [36]):nov(·)Bpθ (Rn ) = f ∈ Lp : kf kB v(·) = kf kLp + kf kb < ∞ ,pθZkf kb = θ1∞ωpk (f ; t)θ v(t)dt06,αполучим в случае степенногогде 0 < θ < ∞. Классические пространства Бесова Bpθ−αθ−1kвеса v(t) = t, 0 < α < k. Известно, что 0 ≤ ωp (f ; t) ↑, t−k ωpk (f ; t) ≈ g(t) ↓ .Более того, имеет место эквивалентность:Ω0k ≈ Ω ≡ h(t) = ωpk (f ; t); f ∈ Lp (Rn ) ,гдеΩ0k = g :0 ≤ g(t) < ∞,g(t) ↑,t−k g(t) ↓ на R+ .v(·)Условие вложения Bpθ (Rn ) в Lq (Rn ) при 1 ≤ p < q ≤ ∞,сформулировано следующим образом:k > n( p1 − 1q ) может бытьv(·)Bpθ (Rn ) ⊂ Lq (Rn ) ⇔ G̃Ω0k < ∞,где"ZG̃Ω0k = supg∈Ω0k∞0q∗ dtg(t)t−αt q1∗ Z∞− θ1 #,g θ vdt01 1α = n( − ).p qТем самым, проблема вложения сведена к оценке интегральной нормы для функцииg ∈ Ω0k ∩ Lθ (v).q ∗ = q,1 ≤ q < ∞;q ∗ = 1,q = ∞,При изучении симметричной оболочки для обобщенных потенциалов Бесселя, задачу удалось редуцировать к задаче об описании оптимального перестановочно инвариантного пространства, содержащего конус убывающих функций, построенный набазе ядер потенциалов.
Решение последней задачи позволило получить решение общейпроблемы об оптимальном вложении (см., например [37, 38]). В случае вложения обобщенных потенциалов Бесселя в пространство ограниченных непрерывных функций,возникает задача о точном описании равномерных модулей непрерывности потенциалов. Она решается в терминах построения оптимальных пространств типа Кальдерона,в которые вложены пространства потенциалов.
Важным этапом в ее решении являетсяпостроение идеальной оболочки для конуса двояко монотонных функций, к которомуудается свести конус модулей непрерывности потенциалов (см. [39, 40]).Таким образом, решение ряда задач современной теории функциональных пространств сводится к получению результатов о точных оценках операторов на конусахфункций со свойствами монотонности и, в частности, к описанию идеальных оболочек для таких конусов. При этом стоит отметить, что оценки операторов на конусахмонотонных функций существенно отличаются от оценок на множестве всех неотрицательных µ− почти всюду конечных функций.Рассмотрим следующий пример.Пусть 0 < p ≤ ∞, f ∈ M0+ , где M0+ = {f ∈ M : 0 ≤ f < ∞ µ − п.
в.} ."Z Z 1#A(f ; p) = supg∈M0+R+" ZB(f ; p) = supg∈Ω0g p dtf gdt−p,R+ Zf gdtR+R+7− p1 #g p dt.Классические результаты таковы:(∞, 0 < p < 1, f 6= 0;A(f ; p) =kf kLp0 , 1 ≤ p ≤ ∞ p1 +10p= 1.Первое утверждение иллюстрирует несуществование ограниченного линейного функционала, отличного от нуля, на Lp (R+ ) при 0 < p < 1. Второе показывает, как можновычислить ассоциированную норму для нормы в Lp (R+ ), 1 ≤ p ≤ ∞.Результаты на конусе существенно отличаются:Z t− p1B(f ; p) = sup tf dτ , 0 < p ≤ 1.t>0B(f ; p) ∼=(Z0∞0) p1 0p0Z t1,t− pf dτt−1 dt01<p≤∞1 10+ = 1.p pПервое утверждение является следствием более общего результата, полученного в работах [41, 42, 43]. Второе утверждение -двухсторонняя оценка, полученная в [44]. Отметим,что A(f ; p) = B(f ; p), f ∈ Ω0 , но несложно построить функцию: f0 ∈ M0+ /Ω0 такую,что A(f0 ; p) = ∞, B(f0 ; p) < ∞.В диссертационной работе рассмотрены два общих подхода для построения оптимальных оболочек конусов функций.
Один из них базируется на методе ассоциированной двойственности. При его применении строится ассоциированное пространствоограниченных интегральных функционалов для заданного конуса. Доказывается, чтооно представляет собой банахово идеальное пространство (кратко: ИП).
С помощьюпринципа двойственности устанавливается, что ассоциированное к нему банахово ИПявляется минимальным, в которое вложен данный конус. Этот метод позволил решитьряд важных конкретных задач такого типа (см., например, [45, 46, 47]). В то же время, его использование связано с наличием определенных трудностей и ограничений. Помере усложнения рассматриваемых задач существенно усложняются конструкции ассоциированных норм, которые в данном подходе необходимо строить на обоих этапах.Конечно, развиваются и совершенствуются методы таких построений (см.[48, 49, 50]).Для описания ассоциированных норм мы используем методы дискретизации и антидискретизации (подробнее см. [51, 52] ). На этом пути есть, однако, и принципиальноеограничение.
Ассоциированное пространство для конуса является банаховым. Соответственно, таким же является и ассоциированное к нему оптимальное ИП, содержащееданный конус. Тем самым, метод позволяет строить банаховы оболочки. В то же время,в ряде случаев эти оболочки могут быть еще сужены за счет использования квазинорм,не являющихся нормами. Таким образом, актуальной является задача о построении оптимальных квазибанаховых оболочек. Для этого развивается другой общий метод построения оптимальных оболочек с помощью специально подобранных нестягивающихоператоров. Рассматриваемая здесь аксиоматика ИП соответствует подходу, развитомуС. Г.
Крейном, Ю. И. Петуниным и Е. М. Семеновым [53]. При этом мы включаем врассмотрение квазинормированный случай. В отличие от [53] мы не постулируем полноту пространства, а доказываем ее с использованием свойства Фату. Отметим также,что эта аксиоматика обобщает систему аксиом банаховых функциональных пространств8К. Беннетта и Р. Шарпли [33]. Термин ”оптимальная оболочка” понимается здесь какминимальное банахово (в общем случае, квазибанахово) ИП, принадлежащее данномуклассу и содержащее заданный конус.Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Глава 1 посвящена методуассоциированных норм. В разделе 1.1. приведены основные определения, обозначенияи свойства идеальных пространств.Для формулировки результатов приведем некоторые необходимые обозначения иопределения. Через (S, Σ, µ) (кратко: (S; µ)) обозначим пространство с σ-алгеброй Σподмножеств множества S и мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.Через M = M (S; µ) обозначим множество µ-измеримых функций, далее M0 = M0 (S; µ)есть множество µ-измеримых конечных почти всюду функций,M + (S; µ) = {f ∈ M (S; µ) , f ≥ 0}; M0+ (S; µ) = M0 (S; µ) ∩ M + (S; µ).Определение 1.1.1 Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть идеальная квазинорма(кратко: ИКН), если для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + выполнены следующие условия:(P 1) ρ(f ) = 0 ⇒ f = 0 µ − почти всюду (кратко: µ − п.в.)ρ(αf ) = αρ(f ),α ≥ 0,ρ(f + g) ≤ C [ρ(f ) + ρ(g)] ,f, g ∈ M + ; C ≥ 1(свойства квазинормы);(P 2) f ≤ gµ − п.в.
⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g) (монотонность);(P 3) fn ∈ M + , fn ↑ f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ) (свойство Фату);(P 4) ρ(f ) < ∞ ⇒ f < ∞ µ − п.в.Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 ,lim fn = fn→∞µ − п.в.Определение 1.1.2. Пусть ρ есть ИКН. Множество X = X(ρ) всех функцийиз M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется идеальным пространством (кратко: ИП),порожденным ИКН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).В терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова [53] это есть идеальное квазибанахово пространство со свойством Фату. В Теореме 1.1.1 мы доказываем, что пространство X, порожденное ИКН ρ, удовлетворяющей аксиомам (P 1) − (P 4), обладаетсвойством полноты. Понятие ИП шире понятия банахова функционального пространства (кратко: БФП), введенного Беннеттом и Шарпли [33], а также его обобщения9(ОБФП), введенного в нашей работе [46]. Обобщенная функциональная норма, порождающая ОБФП, является частным случаем ИКН ( с C = 1 в неравенстве треугольника).Поэтому из Теоремы 1.1.1 следует полнота ОБФП X.В разделе 1.2.
представлена аксиоматика обобщенных банаховых функциональных пространств и приведены их общие свойства. ОБФП является идеальным пространством со свойством Фату в терминологии [53], поэтому к нему применим принцип двойственности: X = X 00 . В разделе 1.3. описан метод ассоциированных норм иприведен его основной результат (Теорема 1.3.1), позволяющий строить оптимальныебанаховы оболочки для заданного конуса неотрицательных функций.
Здесь мы пользуемся принципом двойственности. Мы рассматриваем конус K в ОБФП X, поэтомудважды ассоциированное к нему пространство не совпадет с K, а будет его оптимальной банаховой оболочкой. В разделе 1.4. рассмотрен важный случай, когда конус заданинтегральным представлением, получена Теорема 1.4.1 для построения оптимальныхоболочек в этом случае.В Главе 2 рассмотрены пространства измеримых функций, заданных с помощьюдвухвесовых интегральных (квази)норм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
