Диссертация (1155081), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Для них установлены точные описания ассоциированных норм и в случае исходных квазинорм решена задача об описании оптимальных (то есть минимальных) обобщенных банаховых функциональных пространств,в которые вложены исходные пространства. Здесь мы используем основные понятия ифакты теории БФП и ОБФП, изложенные в Главе 1. В разделе 2.1 сформулированыосновные результаты. Выделены два варианта двухвесовых интегральных квазинорм.Для первого из них описания ассоциированных обобщенных функциональных норм(кратко: ОФН) приведены в Теоремах 2.1.1 и 2.1.2 (в зависимости от условий на весовые функции).1 − p1 , 1 < p ≤ ∞,11Пусть 0 < p ≤ ∞, p0 = (1 − p )+ =0, 0 < p ≤ 1.111 ≤ q ≤ ∞, q0 = 1 − q , 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞; ϕ, ψ-непрерывные функции на (t0 , T0 );ϕ > 0, ψ ≥ 0.
При t ∈ (t0 , T0 ) обозначимZ t1Ψp (t) = ( ψ p dτ ) p , 0 < p < ∞;t0Ψ∞ (t) = sup ψ(τ ),p = ∞;τ ∈(t0 ,t]Ψp (t0 ) = lim Ψp (t);t→t0 +0Ψp (T0 ) = lim Ψp (t);t→T0 −0+и для f, g ∈ M (t0 , T0 ) введемZT0ρpq (f ) =t0kf ϕkpLq (τ,T0 ) ψ p (τ )dτρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·) p1L∞ (t0 ,T0 )100 < p < ∞;,,p = ∞;ρ̇0pq (g) =ZT0t0 10" #p0pgdΨ(t)p−1 ,Ψp (t)ϕΨp (t) Lq0 (t0 ,t) g −1 ρ̇0pq (g) = Ψ(·) ϕ L 0 (t0 ,·) pq,1 < p ≤ ∞;0 < p ≤ 1.L∞ (t0 ,T0 )Теорема 2.1.1.В приведенных обозначениях пусть 0 < Ψp (t) < ∞, t ∈ (t0 , T0 ); Ψp (T0 ) = ∞.
Тогда,ρpq есть идеальная квазинорма (ИКН в терминологии Гл. 1) при 0 < p < 1, илиобобщенная функциональная норма (ОФН) при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированнойОФНZρ0pq (g) := supT0gf dt : f ∈ M + (t0 , T0 ),ρpq (f ) ≤ 1t0справедлива двусторонняя оценкаρ0pq (g) ∼= ρ̇0pq (g).Постоянные в последней двусторонней оценке положительные, конечные, зависяттолько от p.В Теореме 2.1.2 получены описания ассоциированных ОФН при условии на вес:Ψp (T0 ) < ∞. Для второго варианта задания двухвесовых интегральных квазинорм соответствующие описания даны в Теоремах 2.1.3 и 2.1.4. Наконец, Теоремы 2.1.5 и 2.1.6дают решения задач об оптимальных ОБФП, содержащих заданные квазинормированные пространства, описываемые с помощью интегральных двухвесовых квазинорм.Пусть 0 < p < 1, 1 ≤ q < ∞; 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞, ϕ, ψ > 0 - непрерывныефункции на (t0 , T0 ).
Через Kpq = Kpq (t0 , T0 ) обозначим векторное квазинормированноепространство:Kpq = {f ∈ M (t0 , T0 ) : ρpq (|f |) < ∞} ,где ρpq - ИКН, определенная выше.Задача: найти оптимальное (наименьшее) ОБФП Ǩpq = Ǩpq (t0 , T0 ), такое что Kpq ⊂ Ǩpq .Теорема 2.1.5.В приведенных обозначениях ОБФП Ǩpq имеет ОФН:ZT0kf ϕkLq (τ,T0 ) ψ̌p (τ )dτ,ρ̌pq (f ) =t01где ψ̌p (τ ) =pZ p1 −1τpψ (ξ)dξψ p (τ ),τ ∈ (t0 , T0 ).t0Результаты Теоремы 2.1.5 получаются двукратным применением Теоремы 2.1.1 (сначала для описания ρ0pq , а затем для описания ρ00pq ) так же, как и Теорема 2.1.6 - двукратнымприменением Теоремы 2.1.3.11Раздел 2.2 содержит доказательства основных результатов.
Для их получения мыразвиваем методы дискретизации интегральных весовых квазинорм и строим их эквивалентные дискретные аналоги в терминах весовых последовательностей (леммы 2.2.1,2.2.10 , 2.2.100 ). Описание ассоциированных дискретных весовых норм получено в леммах2.2.2, 2.2.20 , 2.2.200 . Наконец, переход от дискретных аналогов ассоциированных норм кинтегральным нормам с помощью процедуры ”антидискретизации” проведен в леммах2.2.3, 2.2.30 , 2.2.300 .
Синтез описанных результатов дает доказательство Теорем 2.1.1 и2.1.2. Теоремы 2.1.3 и 2.1.4 доказываются сведением к Теоремам 2.1.1 и 2.1.2. (соответственно) с помощью замен переменных.В Разделе 2.3 рассмотрена задача построения оптимальной банаховой оболочкидля конуса неотрицательных убывающих функций из весового пространства Lp,u (0, T ), 0 <p < ∞.
Основной результат представлен в Теореме 2.3.1.Пусть T ∈ R+ , u-положительная, измеримая функция:K0 = {h ∈ Lp,u (0, T ) : 0 ≤ h ↓, t ∈ (0, T )},(1)снабженный естественным функционалом ZTρK0 (h) = khkLp,u (0, T ) = p1h u dt .p(2)0Теорема 2.3.1R t Пусть дан конус K0 (1), снабженный функционалом ρK0 (2). Обозначим U (t) =udτ, 0 < U (t) < ∞, t ∈ (0, T ). Тогда оптимальное ОБФП X0 , содержащее конус K00(1), имеет нормуTZkf kX0 (0,T ) =kf kpL∞ (t,T )0Zkf kX0 (0,T ) =0 p1u(t)dt , 1 ≤ p < ∞;Tkf kL∞ (t,T ) ũ(t)dt, 0 < p < 1,11ũ(t) = U (t) p −1 u(t).pВ случае U (T ) = ∞ X0 является ОБФП, не БФП.
В случае U (T − 0) < ∞ X0p0является БФП при выполнении условия: u− p ∈ Lloc1 (0, T ).Глава 3 посвящена проблеме построения оптимальной квазибанаховой оболочкидля заданного конуса неотрицательных измеримых функций методом нестягивающихоператоров. Установлены общие результаты, описывающие конструкцию минимальныхИП, и разобраны некоторые конкретные реализации подобных конструкций. Следуетотметить, что в зависимости от конкретных конусов и классов ИП, в которых строится оптимальная оболочка, конструкции нестягивающих операторов могут быть весьмаразнообразны. В Разделе 3.1 приведены основные определения и формулировки результатов. Раздел содержит две основные теоремы, описывающие конструкцию минимального ИП, которое содержит заданный конус неотрицательных функций, изначально12принадлежащих некоторому идеальному квазинормированному пространству.
В Теореме 3.1.1 решена общая задача о построении минимального ИП, содержащего данныйконус, в котором квазинорма согласована с нестягивающим оператором.Теорема 3.1.1.1. Пусть Y = Y (S, µ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; A0 : M (S, µ) → M + (S, µ)- оператор со следующими свойствами:A0 (|f |) = A0 f ;A0 (αf ) = αA0 ff ∈ M, α ≥ 0;∃c0 ∈ R+ : ρ(f ) ≤ c0 ρ(A0 f ), f ∈ M ;∃c1 ∈ [1, ∞] :(3)ρ(A0 (f + g)) ≤ c1 [ρ(A0 f ) + ρ(A0 g)];|f | ≤ |g| µ-п.в.
⇒ ρ(A0 f ) ≤ ρ(A0 g), f, g ∈ M ;0 ≤ fn ↑ fµ-п.в. ⇒ A0 fn ↑ A0 fµ-п.в.Тогда, отображениеρ0 (f ) := ρ(A0 f ), f ∈ M + ,есть ИКН, а порожденное этой квазинормой пространствоX0 = X0 (S, µ) = f ∈ M : kf kX0 = ρ0 (|f |) < ∞ ⊂ Yесть ИП, причемkf kX0 ≤ c0 kA0 f kX0 , f ∈ M.2. Пусть, дополнительно, K0 - некоторый конус из Y+ = {g ∈ Y : g ≥ 0} , снабженныйфункционалом ρK0 := ρ, и выполнены условия согласования конуса K0 с операторомA0 :∃c2 ∈ R+ : ρ(A0 h) ≤ c2 ρ(h), h ∈ K0 ;A0 (X0 ) ⊂ K0 .Тогда X0 = X0 (S, µ) есть минимальное ИП для вложенияX, в которых квазинормы связаны с A0 соотношением:K0 7−→ X среди всех ИП∃cX ∈ R+ : kf kX ≤ cX kA0 f kX , f ∈ M,(4)аналогичным (3).Отметим, что если в Теореме 3.1.1 заменить условие (3) нестягивания для оператора A0 на более жесткое требование накрывания∃c0 ∈ R+ :|f | ≤ c0 A0 fµ − п.в.,∀f ∈ M,то свойство (4) будет выполнено для всех ИП X с постоянной cX = c0 .
Тогда, в условияхчасти 2 Теоремы 3.1.1 X0 будет оптимальным ИП для вложения K0 7−→ X среди всехИП.Раздел 3.2 содержит конкретизации этих общих конструкций. В Секции 3.2.1 проведено построение оптимального ИП для конуса неотрицательных убывающих функций. Получена Теорема 3.2.1, описывающая оптимальную квазинорму в этом случае.13Соответствующий нестягивающий оператор строится с помощью убывающей оболочкидля существенно ограниченных измеримых функций.
Секция 3.2.2 посвящена построению оптимального ИП для конуса положительных двояко монотонных функций. В немпостроен нестягивающий оператор, согласованный с этим конусом, и доказана Теорема3.2.2, описывающая максимальную квазинорму. В Секции 3.2.3 строится оптимальнаяоболочка для конуса обобщенно двояко монотонных функций, в котором обычное условие монотонности заменено условием монотонности интегральных средних.
Оболочкизаданных конусов могут строиться на базе тех или иных классов нормированных (вобщем случае, квазинормированных) идеальных пространств.Приведем конкретный вариант такого построения. Пусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 )есть ИП, порожденное ИКН ρ; K1 - конус двоякомонотонных функций из Y , т.е.h(t)h(t)↓,↑ ; ρK1 (h) := ρ(h), ∀h ∈ K1 .(5)K1 = h ∈ Y : 0 ≤ h(t),ϕ(t) ψ(t)Здесь ϕ, ψ ∈ C(0, 2T0 )- заданные функции,λ(t) :=Здесь λ ∈ (∆2 ) ⇔ supt∈(0,T0 )hλ(2t)λ(t)h ∈ K1 ,iϕ(t)↑;ψ(t)λ ∈ (∆2 ) .(6)< ∞. Отметим, чтоh 6= 0 ⇒ h(t) > 0, ∀t ∈ (0, T0 ).Далее фиксируем t0 ∈ (0, T0 ) и рассмотрим функциюh0 (t) =Имеем 0 <h0 (t)ϕ(t)↓,ϕ(t),ϕ(t0 )0<t ∈ (0, t0 ];h0 (t)ψ(t)h0 (t) =ψ(t),ψ(t0 )t ∈ (t0 , T0 ).↑ .
Потребуем еще, чтобы выполнялось условиеρ(h0 ) < ∞.(7)Тогда h0 ∈ K1 . При нарушении условия (7) K1 = {0} .Рассмотрим оператор A0 : M (0, T0 ) → M + (0, T0 ) (норма по τ ):f(τ)(A0 f )(t) = ϕ(t) . λ(t + τ )ψ(τ ) L∞ (0,T0 )(8)Теорема 3.2.2.Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ; пусть выполнены условия (6),(7), а также : при любом τ ∈ (0, T0 )λ(t)↑λ(t + τ )на (0, T0 )14(по t).Пусть K1 есть конус двоякомонотонных функций (5).
Введем функционалρ0 (f ) = ρ(A0 f ), где A0 − оператор (8).Тогда, ρ0 есть ИКН, а порожденное ею пространствоX0 = X0 (0, T0 ) = f ∈ Y : kf kX0 = ρ(A0 f ) < ∞есть ИП, причем X0 ⊂ Y ; более того X0 - минимальное среди всех ИП X = X(0, T0 )для вложения K1 7−→ X.ψ(t) = t−1 , мы получим конус K1Замечание 3.2.3. В частности, при ϕ(t) = 1,квазивогнутых функций.K1 = {h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓, th(t) ↑} ,ρK1 (h) = ρ(h),h ∈ K1 ,и в формуле (8) τ f (τ ) (A0 f )(t) = .t+τ L∞ (0,T0 )Замечание 3.2.4. При ϕ(t) = 1, ψ(t) = tβ−1 , 0 < β < 1, получим конусK1 = h ∈ Y : 0 ≤ h(t) ↓, t1−β h(t) ↑ , ρK1 (h) = ρ(h), h ∈ K1 ,и в формуле (8) 1−β τ f (τ ) (A0 f )(t) = (t + τ )1−β .L∞ (0,T0 )Часть результатов главы 3 посвящена изучению вопросов об оптимальных оболочкахдля конусов на классе ИП, являющихся векторными решетками, при различных вариантах отношений порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
