Диссертация (1155081), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В силу аксиомы (P 2), любая ИКН согласована со следующимотношением порядка для измеримых функций:f ≺ g ⇔ |f | ≤ |g| ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g).Во многих случаях ИКН оказываются согласованными с менее жесткими отношениями порядка, например, такими как неравенства для убывающих перестановок или длямаксимальных функций Харди-Литтлвудаf ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g∗;f ≺ g ⇔ f ∗∗ ≤ g ∗∗ ;f ≺ g ⇔ M f ≤ M g.Общая теория таких пространств, в которых (квази)норма согласована с введеннымотношением порядка (нормированных решеток) создавалась в исследованиях ряда известных специалистов в нашей стране, связанных со школами Л.
В. Канторовича, М. Г.Крейна, С. Г. Крейна, М. А. Красносельского, таких как Г. П. Акилов, А. В. Бухвалов,Б. З. Вулих, П. П. Забрейко, Г. Я. Лозановский , В. И. Овчинников, А. Г. Пинскер, Е. М.Семенов, А. И. Юдин и др., а также за рубежом, в работах авторов, таких как Амемия,Бирхгоф, Бохнер, Дьедоне, Заанен, Иосида, Люксембург, Л. Малигранда и др. Развитиетеории операторов в нормированных решетках до середины 80-х годов представлено в15монографии Л. В.
Канторовича и Г. П. Акилова [54]. Современные достижения и состояние этой теории отражены в работах А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе [55]-[57],М. Ф. Сухинина [58].В теореме 3.1.2 приведена модификация общей теоремы 3.1.1 в случае, когда исходная квазинорма согласована с некоторым отношением порядка. Она дает конструкциюоптимальной оболочки в классе всех ИП, у которых их квазинормы согласованы с этимотношением порядка.
Рассмотрены различные отношения порядка и различные конусыфункций со свойствами монотонности. Приведем конкретную реализацию этой теоремы.Пусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, причем считаем,что ρ согласована со следующим отношением порядка:для f, g ∈ M + (0, T0 )ZtZtf ≺ g ⇔ f dτ ≤ gdτ, t ∈ (0, T0 ).(9)00Зафиксируем β ∈ (0, 1) и рассмотрим конусZtK0 = h ∈ Y : h ≥ 0; t−1 hdτ ↓,t−β0Zthdτ ↑0,(10)снабженный функционалом ρ :ρK0 (h) = ρ(h), h ∈ K0 .(11)Наша цель - найти оптимальное ИП X0 , порожденное ИКН, которая согласованас отношением порядка (9), для конуса K0 .Рассмотрим оператор A0 : M (0, T0 ) → M + (0, T0 )Zτ −ββ−1(A0 f )(t) = τ(t+τ)|f|dξ, t ∈ (0, T0 )(12)0L∞ (0,T0 )(норма в L∞ (0, T0 ) берется по τ ).
Функция под знаком нормы является непрерывной попеременной τ ∈ (0, T0 ), если f ∈ Lloc1 (0, T0 ) (иначе, норма бесконечна), так чтоZτ(A0 f )(t) = sup τ −β (t + τ )β−1 |f |dξ , t ∈ (0, T0 ).τ ∈(0,T0 )0В этом случае выполняются все условия Теоремы 3.1.2 и основной результат формулируется следующим образом.Теорема 3.2.3.Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, которая согласована с отношением порядка (9). Пусть K0 есть конус (10). Для f ∈ M + (0, T0 ) введем функционалρ0 (f ) = ρ(A0 f ), где A0 f -оператор (12).16Тогда, ρ0 есть ИКН, согласованная с отношением порядка (9), а порожденное ею пространствоX0 = X0 (0, T0 ) = {f ∈ M (0, T0 ) : ρ0 (|f |) < ∞}есть ИП, причем X0 ⊂ Y и X0 является оптимальным ИП с нормой, согласованной сотношением порядка (9), для вложения K0 7−→ X среди всех ИП X с ИКН, котораясогласована с отношением порядка (9).17Глава 1Метод ассоциированных норм дляпостроения идеальных оболочек.В данной главе рассмотрена проблема построения оптимального (т.е.
минимального)банахова пространства измеримых функций, содержащего заданный конус неотрицательных функций. Подобная проблема часто возникает в теории вложения пространствдифференцируемых функций. Строится оболочка конуса, принадлежащая категорииобобщенных банаховых функциональных пространств. Здесь мы расширяем аксиоматику, развитую в книге К. Беннетта и Р. Шарпли [33]. Более общая концепция идеальных пространств (векторных решеток) и, соответственно, симметричных пространствразвивалась в книге С.
Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова [53], а также вработах [59, 60, 61]. Мы развиваем некоторые результаты [45], построения которой опирались на систему аксиом [33]. Обобщение системы аксиом позволило рассмотретьсущественно более широкие классы конусов неотрицательных функций, к которым применены построения, развитые в [45].1.1Основные определения, обозначения и свойства.Через (S, Σ, µ) (кратко: (S; µ)) обозначим пространство с σ-алгеброй и мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной. Через M = M (S; µ) обозначим множество µ-измеримых функций, далее M0 = M0 (S; µ) есть множество µ-измеримых конечных почти всюду функций, M + (S; µ) = {f ∈ M (S; µ) , f ≥ 0}; M0+ (S; µ) = M0 (S; µ) ∩M + (S; µ).Определение 1.1.1 Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть идеальная квазинорма(кратко: ИКН), если для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + выполнены следующие условия:(P 1) ρ(f ) = 0 ⇒ f = 0 µ − почти всюду (кратко: µ − п.в.)ρ(αf ) = αρ(f ),α ≥ 0,ρ(f + g) ≤ C [ρ(f ) + ρ(g)] ,f, g ∈ M + ; C ≥ 118(свойства квазинормы);(P 2) f ≤ gµ − п.в.
⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g) (монотонность);(P 3) fn ∈ M + , fn ↑ f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ) (свойство Фату);(P 4) ρ(f ) < ∞ ⇒ f < ∞ µ − п.в.Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 ,lim fn = fn→∞µ − п.в.Определение 1.1.2. Пусть ρ есть ИКН. Множество X = X(ρ) всех функцийиз M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется идеальным пространством (кратко: ИП),порожденным ИКН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).В терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова [53] это есть идеальное квазибанахово пространство со свойством Фату. Понятие ИП шире понятия банахова функционального пространства (кратко: БФП), введенного Беннеттом и Шарпли [33], атакже его обобщения (ОБФП), введенного в нашей работе [46].Общие свойства ИП отражены в следующих утверждениях.
Пусть X = X(S, µ)есть ИП, порожденное ИКН ρ, т.е.X = {f ∈ M : kf kX := ρ(|f |) < ∞} ,X+ = {f ∈ X : f ≥ 0} .Предложение 1.1.1 Пусть ρ есть ИКН; X-порожденное ею ИП.Тогда X есть линейное квазинормированное пространство, причем X ⊂ M0 , где M0 =M0 (S, µ) -пространство измеримых конечных почти всюду функций.Кроме того, пусть fn ∈ X, n ∈ N.
Тогда,(i) если 0 ≤ fn ↑ f µ-п.в., то либо f ∈/ X и kfn kX ↑ ∞, либо f ∈ X иkfn kX ↑ kf kX ;(ii) если fn → fµ-п.в. иlim inf kfn kX < ∞,n→∞то f ∈ Xиkf kX ≤ lim inf kfn kX .n→∞Доказательство Предложения 1.1.1.1. Если f ∈ X, то f ∈ M, ρ(|f |) < ∞. По свойству (P 4) отсюда следует, что |f | <∞ µ-п.в. на S. Итак, f ∈ M0 .2. Свойство (i) сразу следует из (P 3). Докажем (ii). Пусть hn (x) = inf m≥n |fm (x)|, тогда0 ≤ hn ↑ |f | µ-п.в., так что ρ(hn ) ↑ ρ(|f |), согласно свойствам (P 2), (P 3).
При этом19hn ≤ |fm | µ-п.в. при всех m ≥ n. Значит, ρ(hn ) ≤ ρ(|fm |), ∀m ≥ n (по свойству (P 2)).Следовательно, ρ(hn ) ≤ inf m≥n ρ(|fm |) = inf m≥n kfm kX . Поэтомуkf kX = ρ(|f |) = lim ρ(hn ) ≤ lim inf kfm kX = lim inf kfm kX . ∆n→∞n→∞ m≥nm→∞Теорема 1.1.1 Пусть X есть ИП, порожденное ИКН ρ, и C ≥ 1- постоянная изусловия (P 1).
Пусть p ∈ (0, 1] таково, что (2C)p = 2.1. Тогда, из сходимости ряда! p1∞Xp<∞(1.1.1)kfn kXn=1дляfn ∈ X, n ∈ N, следует сходимость в∞PX рядаfn к функции f ∈ X, причемn=1∞X1pfn ≤ 2 n=1 ∞X! p1kfn kpX,(1.1.2)n=1X(аналог свойства Рисса-Фишера)2. X есть полное пространство.Замечание 1.1.1. При C = 1 в (P 1), т.е. при p = 1 оценка (1.1.2) справедлива1с постоянной 1 вместо 2 p . Это же верно при p ∈ (0, 1), если функционал k·kX обла1дает свойством p-нормы, т.е. kf + gkX ≤ (kf kpX + kgkpX ) p .
Например, это неравенствосправедливо при X = Lp (S, µ), 0 < p < 1.Доказательство Теоремы 1.1.1.1. Для 0 ≤ m ≤ n − 1, fk ∈ X, k = m + 1, . . . , n справедлива оценка! p1nnn X XX1kfk kpX.fk ≤ |fk | ≤ 2 pk=m+1k=m+1X(1.1.3)k=m+1XЛевое неравенство в (1.1.3) следует из монотонности квазинормы, а правое есть известная оценка Аоки - Ролевича [62, 63] (ее доказательство, см., например, в Лемме 3.10.1книги Й. Берга и Й. Лефстрема [64]).
При p = 1 или при p ∈ (0, 1) в случае p - нормы1в (1.1.3) можно заменить 2 p на 1.n∞PPПусть tn =|fk |, t =|fk |, тогда 0 ≤ tn ↑ t, так что по свойству (i) Предложенияk=1k=11.1.3 из (1.1.3) (с m = 0) следует1pktkX = lim ktn kX ≤ 2 limn→∞n→∞nX! p1kfk kpX≤2k=11p∞X! p1kfk kpXk=1Итак, t ∈ X. Следовательно, t ∈ M0 , т.е. |t| < ∞ µ-п.в., т.е. рядЗначит, ряд∞P< ∞.fk сходится абсолютно µ- п.в., и f =k=1∞Pk=120∞P|fk | сходится µ-п.в.k=1fk ∈ M0 . Более того, |f | ≤ t ∈ X,так что f ∈ X иkf kX ≤ ktkX ≤ 2∞X1p! p1kfk kpX(1.1.4)k=1(мы учли свойство (P 2) в X). Пусть Sn =nPfk .
Покажем, что Sn → f (n → ∞) в X.k=1Имеем: Sn → f(1.1.3),µ- п.в., так что Sn − Sm → f − Sm (n → ∞) µ- п.в. При этом, согласноn X1kSn − Sm kX = fk ≤ 2 pk=m+1так чтоsup kSn − Sm kX ≤ 2∞Xn≥m+1kfk kpX,k=m+1X1p! p1nX! p1kfk kpX< ∞.k=m+1Итак, Sn − Sm → f − Sm (n → ∞) µ- п.в., и lim inf kSn − Sm kX < ∞. Согласно Предлоn→∞жению 1.1.1 (ii) отсюда следует, чтоkf − Sm kX ≤ lim inf kSn − Sm kX ≤ sup kSn − Sm kX ≤ 2n→∞n≥m+1Значит, kf − Sm kX → 0(m → ∞), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
