Диссертация (1155081), страница 5
Текст из файла (страница 5)
f =∞P! p1∞X1pkfk kpX.k=m+1fk (сходимость в X).k=12. Докажем полноту пространства X. Пусть последовательность {gn } фундаментальнав X. Покажем, что ∃f ∈ X, такая что gn → f (n → ∞) в X. Имеем kgn − gm kX →0(n, m → ∞). Можно построить последовательность номеров {nk }∞чтобы nk+1 ≥k=1 , такk−nk + 1; gn − gnk−1 X ≤ 2 p , ∀n ≥ nk−1 , k = 2, 3, .
. .. В частности, gnk − gnk−1 X ≤k2− p ,k = 2, 3, . . . . Обозначим fk = gnk − gnk−1 , k = 2, 3, . . .. Тогда, положив еще f1 =∞ p1∞PPpgn1 , видим, чтоkfk kX< ∞. Значит, согласно результату шага 1,fk сходится вk=1X к некоторой функции f ∈ X. Но при m ≥ 2 Sm =mPfk = gn1 +k=1mPk=1(gnk −gnk−1 ) = gnm .k=2Итак, gnm → f (m → ∞) в X.
Для любого > 0 ∃M ∈ N :gn − f < 2 ;MX2pgi − gn < 2 ,M X2p∀i ≥ nM(второе соотношение следует из фундаментальности {gi } в X). Тогда, при всех i ≥ nM ,получимpp 11 1kf − gi kX = (f − gnM ) + (gnM − gi )X ≤ 2 p f − gnM X + gi − gnM X p ≤ 2 pЗначит, gi → f (i → ∞) в X. Итак, X - полно. ∆21p p+44 p1= .1.2Сопоставление с концепциями БФП, ОБФП.Напомним определения функциональной нормы (кратко: ФН) и порожденного ею банахова функционального пространства (кратко: БФН) (см. Беннетт-Шарпли, гл.1).Определение 1.2.1. Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть ФН, если для всехf, g, fn (n ∈ N) из M + , всех констант a ≥ 0 и всех µ-измеримых подмножеств E ⊂ Sвыполнены следующие условия:(P̃ 1) ρ(f ) = 0 ⇔ f = 0 µ -п.в.; ρ(αf ) = αρ(f ); ρ(f + g) ≤ ρ(f ) + ρ(g);(P 2) 0 ≤ g ≤ fµ-п.в.
⇒ ρ(g) ≤ ρ(f )(1.2.1)(P 3) 0 ≤ fn ↑ fµ-п.в. ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f )(1.2.2)(монотонность);(свойство Фату);Zf dµ ≤ CE ρ(f )(P̃ 4) µ(E) < ∞ ⇒(1.2.3)E(локальная интегрируемость)для некоторой CE ∈ R, зависящей от E и ρ, но не от f ;(P 5) µ(E) < ∞ ⇒ ρ(χE ) < ∞(1.2.4)Замечание 1.2.1.
Условие (P̃ 1) является усилением условия (P 1) из Определения1.1.1, когда C = 1, то есть квазинорма превращается в норму.Замечание 1.2.2. Условие (P̃ 4) является усилением требования (P 4) из Определения 1.1.1. Действительно, из (1.2.3) следует, что при ρ(f ) < ∞ функция f конечнаµ-п.в. на любом множестве E с µ(E) < ∞ а значит f < ∞ µ - п.в.
на S (с учетом σ конечности меры µ).Определение 1.2.2 Пусть ρ есть ФН. Множество X = X(ρ) всех функций изM, для которых ρ(|f |) < ∞, называется банаховым функциональным пространством(кратко: БФП), порожденным ФН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).Мы обобщим эти определения, ослабляя (P̃ 4) и (P 5).Определение 1.2.3. Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть обобщенная функциональная норма (кратко: ОФН), если оно удовлетворяет (P̃ 1)-(P3) из определения1.2.1, а также условиям:(P 4)0µ(E) < ∞ ⇒ ∃hE ∈ M + , hE > 0 µ-п.в. на E, такая чтоZf hE dµ ≤ ρ(f ).EЗдесь функция hE зависит от E и ρ, но не отf ∈ M + .(P 5)0µ(E) < ∞ ⇒ ∃fE ∈ M + , fE > 0 µ-п.в.
на E; ρ(fE ) < ∞.22(1.2.5)Определение 1.2.4. Пусть ρ есть ОФН. Множество X = X(ρ) всех функцийиз M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется обобщенным банаховым функциональнымпространством (кратко: ОБФП), порожденным ОФН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).(1.2.6)Отметим, что (P̃ 4) ⇒ (P 4)0 ; (P 5) ⇒ (P 5)0 . Действительно, если выполнено (1.2.3),то при hE = CE−1 χE получим (1.2.5); если выполнено (1.2.4), то положим fE = χEи получим свойство (P 5)0 . Таким образом понятие БФП есть конкретизация понятияОБФП.Замечание 1.2.3. Отметим, что ОФН является частным случаем ИКН (с C = 1 внеравенстве треугольника). Следовательно, ОБФП является ИП.
Поэтому из Теоремы1.1.1 следует полнота ОБФП X, причем неравенство (1.1.2) справедливо с постоянной11 вместо 2 p . Это же верно в случае БФП.Пример 1.2.1. Пусть X = X(S; µ) есть БФП с нормой k·kX ; u ∈ M + , 0 < u <∞ µ-п.в. на S. Тогда пространствоXu = {f ∈ M : kf ukX < ∞}с нормойkf kXu = kf ukXесть ОБФП. Выполнение свойств (P̃ 1) − (P 3) для Xu сразу следует из справедливостиэтих свойств для X. Из свойства (P̃ 4) для X следует свойство (P 4)0 для Xu с функциейhE = cuE . Cвойство (P 5) для X влечет свойство (P 5)0 для Xu с функцией fE = χuE .В частности, пусть X = Lp (S), 1 ≤ p ≤ ∞. Тогда при любом весе u ∈ M + , 0 < u <∞ µ-п.в., весовое пространство Xu = Lp,u (S) с нормойkf kLp,u (S) = kf ukLp (S)есть ОБФП.
Для того, чтобы оно было БФП необходимо выполнение более жесткихусловий на вес. Именно, при p1 + p10 = 1(P̃ 4) ⇔1∈ Llocp0 (S);u(P 5) ⇔ u ∈ Llocp (S).RДействительно, (P̃ 4) ⇔ E f dµ < CE kf kLp,u (S) . Применяя неравенство Гельдера, имеемRRR11 R11 p0pp(p0 . Откуда видим, что (P̃ 4) ⇔ 1 ∈ Lloc (S).fdµ=fu·dµ≤(|fu|dµ)()dµ)0uEEEE uR u p p1Аналогично, (P 5) ⇔ ρ(χE )dµ < ∞. В нашем случае ρ(χE ) = k1kLp,u (S) = ( E u dµ) p , тоесть (P 5) ⇔ u ∈ Llocp (S).Определение 1.2.5 Для ОФН ρ введем ρ0 на M + формулой: для g ∈ M +Z0+ρ (g) = supf gdµ : f ∈ M , ρ(f ) ≤ 1 .(1.2.7)S23Теорема 1.2.1 Пусть ρ есть ОФН.
Тогда ассоциированная норма ρ0 также естьОФН; порожденное ею пространство X 0 = X(ρ0 ) есть ОБФП.Доказательство Теоремы 1.2.1.1. Отметим, что справедливо неравенствоZf gdµ ≤ ρ(f )ρ0 (g), ∀f, g ∈ M + .(1.2.8)SЕсли f = 0 ⇔ ρ(f ) = 0, то (1.2.8) примет вид: 0 ≤ 0.Если g = 0, то из (1.2.7) ⇒ ρ0 (g) = 0, т.е.
(1.2.8) снова примет вид: 0 ≤ 0.Пусть теперь f 6= 0, g 6= 0. Если ρ(f ) = ∞, то (1.2.8), очевидно, выполнено. Итак,f. Тогда ρ(f˜) = 1 и, согласноостается случай, когда 0 < ρ(f ) < ∞. Положим f˜ = ρ(f)(1.2.7),Zf˜gdµ ≤ ρ0 (g).SОтсюда сразу следует (1.2.8).2. Покажем, что ρ0 (g) = 0 ⇒ g = 0 µ-п.в. на S.Из (1.2.8) видим, чтоZ0f gdµ = 0 ∀f ∈ M + .ρ (g) = 0 ⇒(1.2.9)SДля любого множества E ⊂ Sучетом (1.2.9), имеемс µ(E) < ∞ берем f = hEZ0≤из условия (P 4)0 . Тогда, сZhE gdµ ≤EhE gdµ = 0.SRИтак, E hE gdµ = 0, hE > 0 µ-п.в. на E ⇒ g = 0 µ-п.в. на E. В силу σ-конечностимеры µ отсюда следует, что g = 0 µ-п.в.
на S. Остальные свойства из (P̃ 1)для ρ0 ,очевидно выполнены:ρ0 (αg) = αρ0 (g), α ≥ 0; ρ0 (g1 + g2 ) ≤ ρ0 (g1 ) + ρ0 (g2 )(см.(1.2.7)). Очевидно, выполнено также условие (P 2). Итак, ρ0 удовлетворяет условиям (P̃ 1), (P 2).3. Покажем выполнение свойства Фату (P 3). Пусть gn , g ∈ M + и 0 ≤ gn ↑ g µ-п.в.По уже доказанному свойству (P 2) для ρ0 имеем: ρ0 (gn ) ↑, ρ0 (gn ) ≤ ρ0 (g), n ∈ N. Еслиρ0 (gn ) = ∞ при некотором n ∈ N, то доказывать нечего. Пусть ρ0 (gn ) < ∞, n ∈ N.0Для любогочисла ξ ∈ (0,(1.2.7) найдется f ∈ M + , ρ(f ) ≤ 1, таRR ρ (g)), согласноRкаячто S f gdµ > ξ.
Но S f gn dµ ↑ R S f gdµ. Следовательно, ∃N = N (ξ), такое чтоRf gn dµ > ξ, ∀n ≥ N . Тогда ρ0 (gn ) ≥ S f gn dµ > ξ, ∀n ≥ N . Значит, ρ0 (gn ) ↑ ρ0 (g), что иAдает свойство(P 3).4. Докажем свойство (P 4)0 для нормы ρ0 . Согласно свойству (P 5)0 для нормы ρ, длялюбого E ⊂ S с µ(E) < ∞ найдется fE ∈ M + , fE > 0 µ − п.в. на E, ρ(fE ) < ∞. Ясно,fEчто ρ(fE ) > 0. Рассмотрим f˜E = ρ(f. Имеем, ρ(f˜E ) = 1 и, согласно (1.2.7), для любойE)g ∈ M+ZZ˜fE gdµ ≤f˜E gdµ ≤ ρ(f˜E )ρ0 (g) = ρ0 (g),ES24причем f˜E > 0 µ − п.в. на E.
Это и есть свойство (P 4)0 для нормы ρ0 .5. Осталось проверить (P 5)0 для нормы ρ0 . Согласно (P 4)0 для нормы ρ при E ⊂ Sс µ(E) < ∞ ∃hE ∈ M + , hE > 0 µ − п.в. на E, такая что верно (P 4)0 . Положимh̃E = hE χE ∈ M + .Для любой f ∈ M + с ρ(f ) ≤ 1 имеемZZh̃E f dµ =hE f dµ ≤ ρ(f ) ≤ 1.SEЗначит,Z0ρ (h̃E ) = suph̃E f dµ : f ∈ M , ρ(f ) ≤ 1 ≤ 1.+SИтак, ∃gE = h̃E ∈ M , gE > 0 µ − п.в. на E; ρ0 (gE ) < ∞, т.е. имеет место свойство(P 5)0 для нормы ρ0 .+Замечание 1.2.4. Как следствие Теоремы 1.2.1, получаем, что если X -БФП, тоX 0 = X(ρ0 ) есть ОБФП.
В книге К. Беннетта и Р. Шарпли [33] показано, что если XБФП, то X 0 также есть БФП. Кроме того, БФП и ОБФП представляют собой идеальныеструктуры со свойством Фату ( в терминологии книги С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина иЕ. М. Семенова [53],стр. 59-65 ). Как отмечено на стр. 65 [53] или стр. 33 [33] для нихсправедлив принцип двойственности: (X 0 )0 = X.1.3Оптимальное обобщенное банахово функциональное пространство для заданного конуса функций.Пусть (S; µ) - пространство с мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.Через = (S; µ) = {K = K (S; µ)} обозначим множество конусов, K = K (S; µ) ⊂ M0+ (S; µ),снабженных положительно однородными функционалами ρK : K → [0, ∞) со свойствами:i) h ∈ K,α>0ii) ρK (h) = 0⇒⇒αh ∈ K,ρK (αh) = αρK (h) ;h = 0 почти всюду на S.Рассмотрим проблему построения оптимального (т.е.
минимального) ОБФП X0 ≡ X0 (S; µ)для вложения конуса K ∈ = (S; µ) в ОБФП X ≡ X (S; µ):K 7→ X.(1.3.1)Определение 1.3.1. Вложение K 7→ X (1.3.1) означает, что K ⊂ X и существует постоянная cK ∈ R+ , такая чтоkhkX 6 cK ρK (h) ,h ∈ K.(1.3.2)Определение 1.3.2. ОБФП X0 = X0 (S; µ) называется оптимальным (минимальным) для вложения (1.3.1), если1) K 7→ X0 ;252) если для некоторого ОБФПX0 ⊂ X.X = X (S; µ) справедливо вложение (1.3.1), тоТеорема 1.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
