Диссертация (1155081), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Отсюда,Zρ (g) = supghdµ :h ∈ K,SρK (h) 6 1 6 ρ0 (g) .(1.4.19)Получим обратное неравенство. Для g ∈ M + (S; µ) имеем равенство (1.4.6). Но,как в (1.4.17)ZZ0λ< (g)dν = ghdµ; λ ∈ E0 ,DSгде h = < (λ) ∈ K. Отсюда, с учетом неравенства ρK (h) 6 kλkE 6 1 следует, чтоZλ<0 (g)dν 6 ρ (g) .DЭто верно для любой функции λ ∈ E0 , kλkE 6 1. Следовательно,ρ0 (g) 6 ρ (g) .(1.4.20)Из (1.4.19) и (1.4.20) следует совпадение функциональных норм (1.4.5) и (1.4.6).Из него по теореме 1.3.1 сразу следуют остальные выводы теоремы 1.4.1.∆32Глава 2Ассоциированные нормы иоптимальные вложения для одногокласса двухвесовых интегральныхквазинорм.В данной главе рассмотрены пространства измеримых функций, заданных с помощьюдвухвесовых интегральных (квази)норм.

Для них установлены точные описания ассоциированных норм и в случае исходных квазинорм решена задача об описании оптимальных (то есть минимальных) обобщенных функциональных пространств, в которыевложены исходные пространства. Здесь мы кратко используем основные понятия и факты теории БФП и ОБФП, изложенные в Главе 1. В разделе 2.1 сформулированы основные результаты. Выделены два варианта двухвесовых интегральных квазинорм.

Дляпервого из них описания ассоциированных обобщенных функциональных норм (кратко:ОФН) приведены в Теоремах 2.1.1 и 2.1.2 (в зависимости от условий на весовые функции). Для второго случая соответствующие описания даны в Теоремах 2.1.3 и 2.1.4. Наконец, Теоремы 2.1.5 и 2.1.6 дают решения задач об оптимальных ОБФП, содержащихзаданные квазинормированные пространства, описываемые с помощью интегральныхдвухвесовых квазинорм.Раздел 2.2 содержит доказательства основных результатов. Для их получения мы развиваем методы дискретизации интегральных весовых квазинорм и строим их эквивалентные дискретные аналоги в терминах весовых последовательностей (леммы 2.2.1,2.2.10 , 2.2.100 ).

Описание ассоциированных дискретных весовых норм получено в леммах2.2.2, 2.2.20 , 2.2.200 . Наконец, переход от дискретных аналогов ассоциированных норм кинтегральным нормам с помощью процедуры ”антидискретизации” проведен в леммах2.2.3, 2.2.30 , 2.2.300 .Синтез описанных выше результатов дает доказательство Теорем 2.1.1 и 2.1.2. Теоремы 2.1.3 и 2.1.4 доказываются сведением к Теоремам 2.1.1 и 2.1.2. (соответственно) спомощью замен переменных.332.1Основные определения, обозначения и формулировка результатов.1 − p1 , 1 < p ≤ ∞,0, 0 < p ≤ 1.111 ≤ q ≤ ∞, q0 = 1 − q , 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞; ϕ, ψ-непрерывные функции на (t0 , T0 );ϕ > 0, ψ ≥ 0.

При t ∈ (t0 , T0 ) обозначимZ t1Ψp (t) = ( ψ p dτ ) p , 0 < p < ∞;(2.1.1)Пусть 0 < p ≤ ∞,1p01)p += (1 −=t0p = ∞;(2.1.2)Ψp (T0 ) = lim Ψp (t);(2.1.3)Ψ∞ (t) = sup ψ(τ ),τ ∈(t0 ,t]Ψp (t0 ) = lim Ψp (t);t→T0 −0t→t0 +0и для f, g ∈ M + (t0 , T0 ) введемZT0ρpq (f ) =t0kf ϕkpLq (τ,T0 ) p1pψ (τ )dτρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·)0 < p < ∞;,,p = ∞;(2.1.4)(2.1.5)L∞ (t0 ,T0 ) 10#p0" pdΨ(t)gp Ψp (t)−1, 1 < p ≤ ∞;ρ̇0pq (g) = t0 ϕ L 0 (t0 ,t)Ψp (t) q g −1 ρ̇0pq (g) = Ψ(·), 0 < p ≤ 1. ϕ L 0 (t0 ,·) pqZT0(2.1.6)(2.1.7)L∞ (t0 ,T0 )Кроме того, мы используем терминологию и обозначения Главы 1 (см.

разделы 1.1,1.2)Теорема 2.1.1.В приведенных обозначениях пусть 0 < Ψp (t) < ∞, t ∈ (t0 , T0 ); Ψp (T0 ) = ∞. Тогда,ρpq есть идеальная квазинорма (ИКН в терминологии Гл. 1) при 0 < p < 1, илиобобщенная функциональная норма (ОФН) при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированнойОФНZ T00+ρpq (g) := supgf dt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρpq (f ) ≤ 1(2.1.8)t0справедлива двусторонняя оценкаρ0pq (g) ∼= ρ̇0pq (g).(2.1.9)Постоянные в двусторонней оценке (2.1.9) положительные, конечные, зависят только от p.34Теорема 2.1.2.В приведенных обозначениях пусть Ψp (t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ); Ψp (T0 ) < ∞.

Тогда, ρpqесть ИКН при 0 < p < 1, или ОФН при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированной ОФН(2.1.8) справедливы соотношения:1)если p = ∞ и Ψ∞ (t0 ) > 0, то gg110 ≤ ρ∞q (g) ≤;(2.1.10)Ψ∞ (T0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )Ψ∞ (t0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )2)если p = ∞ и Ψ∞ (t0 ) = 0, или 1 < p < ∞, то∼= ρ˙pq 0 (g) +ρ0pq (g) 1 g,Ψp (T0 ) ϕ Lq0 (µ1 ,T0 )(2.1.11)где Ψp (µ1 ) = 21 Ψp (T0 );3)если 0 < p ≤ 1, то имеет место оценка (2.1.9).Постоянные в двусторонних оценках положительные, конечные, зависят только отp.При t ∈ (t0 , T0 ) обозначимZ T01ψ p dτ ) p , 0 < p < ∞;(2.1.12)Ψ̂p (t) = (tp = ∞;(2.1.13)Ψ̂p (T0 ) = lim Ψ̂p (t);(2.1.14)Ψ̂∞ (t) = sup ψ(τ ),τ ∈[t,T0 )Ψ̂p (t0 ) = lim Ψ̂p (t);t→T0 −0t→t0 +0и для f, g ∈ M + (t0 , T0 ) введемZT0ρ̂pq (f ) =t0kf ϕkpLq (t0 ,τ )p p1ψ (τ )dτ,0 < p < ∞;, p=∞ρ̂∞q (f ) = kf ϕkLq (t0 ,·) ψ(·)L∞ (t0 ,T0 ) g 0−1 ˆρ̇pq (g) = Ψ̂ (·) , 0 < p ≤ 1; ϕ L 0 (·,T0 ) pqρ̇ˆ0pq (g) =ZT0t0(2.1.15)(2.1.16)(2.1.17)L∞ (t0 ,T0 )" #p0 "# p10gdΨ̂p (t) −1 Ψ̂p (t)−,ϕΨ̂p (t) Lq0 (t,T0 )1 < p ≤ ∞.(2.1.18)Теорема 2.1.3.В приведенных обозначениях пусть 0 < Ψ̂p (t) < ∞, t ∈ (t0 , T0 ), Ψ̂p (t0 ) = ∞.

Тогда,ρ̂pq есть ИКН при 0 < p < 1, или ОФН при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированной ОФНZ T00+ρ̂pq (g) := supgf dt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ̂pq (f ) ≤ 1(2.1.19)t035справедлива двусторонняя оценкаρ̂0pq (g) ∼= ρ̇ˆ0pq (g),(2.1.20)с положительными конечными постоянными, зависящими только от p.Теорема 2.1.4.В приведенных обозначениях пусть Ψ̂p (t) > 0, t ∈ (t0 , T0 ), Ψ̂p (t0 ) < ∞. Тогда ρ̂pqесть ИКН при 0 < p < 1, или ОФН при 1 ≤ p ≤ ∞, а для ассоциированной ОФН ρ̂0pqсправедливы следующие соотношения:1)если p = ∞ и Ψ̂∞ (T0 ) > 0 то gg110 (g)≤≤ρ̂;(2.1.21)∞qΨ̂∞ (t0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )Ψ̂∞ (T0 ) ϕ Lq0 (t0 ,T0 )2)если p = ∞ и Ψ̂∞ (T0 ) = 0 или 1 < p < ∞, то g100 ,ρ̂pq (g) ∼= ρ̇ˆpq (g) +Ψ̂p (t0 ) ϕ Lq0 (t0 ,µ1 )(2.1.22)где Ψ̂p (µ1 ) = 21 Ψ̂p (t0 );3)если 0 < p ≤ 1, то имеет место оценка (2.1.20).Постоянные в двусторонних оценках (2.1.20),(2.1.22) положительные, конечные, зависят только от p.Полученные результаты позволяют решить следующую задачу.Пусть 0 < p < 1, 1 ≤ q < ∞; 0 ≤ t0 < T0 ≤ ∞, ϕ, ψ > 0-непрерывные функциина (t0 , T0 ).

Через Kpq = Kpq (t0 , T0 ) обозначим векторное квазинормированное пространство:Kpq = {f ∈ M (t0 , T0 ) : ρpq (|f |) < ∞} ,где ρpq -ИКН (2.1.4).Задача: найти оптимальное (наименьшее) ОБФП Ǩpq = Ǩpq (t0 , T0 ), такое что Kpq ⊂ Ǩpq .Теорема 2.1.5.В приведенных обозначениях ОБФП Ǩpq имеет ОФН:ZT0kf ϕkLq (τ,T0 ) ψ̌p (τ )dτ,ρ̌pq (f ) =t01где ψ̌p (τ ) =pZ p1 −1τpψ (ξ)dξψ p (τ ),τ ∈ (t0 , T0 ).(2.1.23)(2.1.24)t0ˆ , содержащем квазибанаАналогично решается задача о минимальном ОБФП K̈pqхово пространство:K̂pq = {f ∈ M (t0 , T0 ) : ρ̂pq (|f |) < ∞} ,где ρ̂pq -ИКН (2.1.15) при 0 < p < 1,1 ≤ q ≤ ∞.36Теорема 2.1.6.ˆ имеет ОФН:В приведенных обозначениях ОБФП K̈pqZ T0kf ϕkLq (t0 ,τ ) ψ̈ˆp (τ )dτ,ρ̈ˆpq =(2.1.25)t0 p1 −1Z T01ˆpгде ψ̈p (t) =ψ (τ )dτψ p (t), t ∈ (t0 , T0 ).(2.1.26)ptВ заключение приведем известную лемму, которая полезна при рассмотрении дискретных квазинорм.≥ B > 1, m ∈ ZЛемма 2.1.1.

Пусть 0 < p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞; βm > 0, ββm+1m(или m ∈ N). Тогда для любых am ≥ 0 справедливы оценки:! p1"#p ! p1XX q 1Xβm (al ) q;(2.1.27)≤ c(B, p)[βm am ]pmml≥m#p ! p1"Xm−1βm(Xaql )1q! p1≤ c(B, p)X−1βmamp,(2.1.28)ml≤mгде c(B, p) ∈ R+ (с естественной модификацией при p = ∞ и/или q = ∞).2.22.2.1Доказательство результатов.Доказательство Теоремы 2.1.1.Основной случай.Доказательство основного случая, когда Ψp (t0 ) = 0, опирается на следующие три леммы.Лемма 2.2.1.Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.1 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0. Введемпоследовательность {µm }m∈Z , где Z = {0, ±1, ±2, ±3, . .

.}, формуламиΨp (µm ) = 2m , m ∈ ZТогда, 0 < µm−1 < µm ,lim µm = t0 ,m→−∞(2.2.1)lim µm = T0m→+∞и при ∆m = [µm−1 , µm ), m ∈ Z(2.2.2)(2.2.3)имеет место эквивалентностьno m∼ρpq (f ) = ρ̃pq (f ; Z) := 2 kf ϕkLq (∆m ) .(2.2.4)lpПостоянные в двусторонней оценке (2.2.4) положительные, конечные и зависят только от р.

При 0 < p < 1 ρpq является ИКН, при 1 ≤ p ≤ ∞ ρpq является ОФН.37Лемма 2.2.2.Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.1 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0. Дляg ∈ M + (t0 , T0 ) определимZ T0+0f gdt : f ∈ M (t0 , T0 ), ρ̃pq (f ; Z) ≤ 1 ;(2.2.5)ρ̃pq (g) := supt0( g−m0ρ̃˜pq (g) := 2 ϕL)0 (∆m ),(2.2.6)g ∈ M + (t0 , T0 ).(2.2.7)qlp0где ∆m определены в (2.2.3). Тогдаρ̃0pq (g) ∼= ρ̃˜0pq (g),Лемма 2.2.3.Пусть выполнены условия Теоремы 2.1.1 и, если p = ∞, то Ψp (t0 ) = 0.

Тогда (см.(2.2.6) и (2.1.6),(2.1.7)),ρ̃˜0pq (g) ∼(2.2.8)= ρ̇0pq (g), 0 < p ≤ ∞;с положительными конечными постоянными в двусторонней оценке (2.2.8), зависящими только от p.Замечание 2.2.1. Из (2.2.4) следует эквивалентность ассоциированных норм:ρ0pq (g) ∼= ρ̃0pq (g),g ∈ M + (t0 , T0 ).Тогда из (2.2.5)-(2.2.7) получим эквивалентность (2.1.9), завершая, тем самым, доказательство Теоремы 2.1.1. Итак, нужно доказать Леммы 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3.Доказательство Леммы 2.2.1.1.

Сначала рассмотрим случай p = ∞ при Ψ∞ (t0 ) = 0.Из убывания функции kf ϕkLq (τ,T0 ) > 0 по τ следует известная формулаkf ϕkLq (·,T0 ) ψ(·)L∞ (t0 ,T0 )= kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·).L∞ (t0 ,T0 )Тогда,ρ∞q (f ) = kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·)L∞ (t0 ,T0 )= sup kf ϕkLq (·,T0 ) Ψ∞ (·).L∞ (∆m )m∈ZУчтем, что Ψ∞ (τ ) ∼= 2m , τ ∈ ∆m . Тогдаρ∞q (f ) ∼= sup 2m kf ϕkLq (µm−1 ,T0 ) .m∈ZНо при 1 ≤ q < ∞! 1qkf ϕkLq (µm−1 ,T0 ) =Xl≥m38kf ϕkqLq (∆l ),(2.2.9)так что! 1qρ∞q (f ) ∼= sup 2mXm∈Zkf ϕkqLq (∆l )∼= sup 2m kf ϕkLq (∆m ) .m∈Zl≥mВ конце мы учли, что 2m ↑↑ и применили Лемму 2.1.1.При q = ∞ имеемXkf ϕkL∞ (µm−1 ,T0 ) ≤kf ϕkL∞ (∆l ) ,(2.2.10)l≥mи снова по Лемме 2.1.1.ρ∞∞ (f ) ≤ sup 2mm∈ZXkf ϕkL∞ (∆l ) ∼= sup 2m kf ϕkL∞ (∆m ) .m∈Zl≥mОбратное неравенство очевидно, так чтоρ∞∞ (f ) ∼= sup 2m kf ϕkL∞ (∆m ) .m∈ZИтак, при всех 1 ≤ q ≤ ∞ установлено (2.2.4) с p = ∞.2.

Характеристики

Список файлов диссертации