Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей (4-е изд., 1975) (1152146), страница 38
Текст из файла (страница 38)
6-9). При выбранных положительных направлениях токов и напряжения г'г 7=7, + 7я; (6-8) ()=ЛА+Ем!б (6-9) 0= 2,А+ 2,,!я, (6-19) где Я, = г, + )гв1.,; Ля = г, + ро7-я; г =(ыМ, В этих уравнениях комплексные напряжения Уи7, и Ямlз взяты со знаком плюс, так как положительные направления этих напряжений (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых эти напряжения зависят, ориентированы относительно одноименных зажимов одинаково.
Решая уравнения, получаем: При Ем — — О, т. е. при отсутствии индуктивной связи между ветвями, это выражение принимает знакомый вид: Я= —. ЕгЕг 1г 1" Ег Рассмотрим теперь случай включения, когда одноименные зажимы присоединены к разным узлам, т. е. Ег и Ь, присоединены к узлу разноименными зажимами, а не как указано на рис. 6-9. Тогда положительные направления напряжений взаимной индукции (выбранные сверху вниз) и тех токов, от которых они зависят, ориентированы относительно одноименных зажимов неодинаково и комплексные напряжения Я,иУ, и ЯмУ, войдут в уравнения (6-9) и (6-10) со знаком минус. Лля /„1, и! получатся выражения, аналогичные (6-11), с тем отличием, что Ем заменяется на — Лги и входное сопротивление цепи 1 1 21 (6-13) 6-5. Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов.
Метод узловых потенциалов непосредственно непригоден. ОбъГа ясняется это тем, что ток в любой гт ~1Г ветви зависит не только от э. Д. с находящегося в ней источника и от потенциалов тех узлов, к которым !г ь„ь ветвь присоединена, но н от токов гтагГ мга других ветвей, которые наводят мас э. д. с. взаимной индукции. По- этому нельзя простым путем вы- ° ь в ь разить токи ветвей через потенг„14 гь 14 г; С циалы узлов и э. д, с. источников, ~И г! ~ как в цепях без индуктивно свя1д Я "'р ванных элементов. 11 Сь1 гд Применение метода узловых по- тенциалов требует особых приемов ьв и здесь не рассматривается.
Теорему об активном двухпоЕл гь Гг люснике можно применять, если внешняя по отношению к двухполюснику часть цепи не имеег Рис 6-10. индуктивных связей с той частью цепи, которая входят в состав двухполюсника, Разумеется, что нельзя пользоваться выведенными ранее формулами для преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно. 192 Цтобы обойти указанные выше ограничения в применении расчетных методов, в ряде случаев целесообразно исключить индуктивные связи, перейдя к эквивалентным схемам без индуктивных связей (см. следующий параграф). При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа з.
д с. взаимной индукции обычно учитываются как соответствующие напряжения. Знак комплексного напряжения -~- 1ыМ„.1, на элементе Ф определяется на основания сопоставления направления обхода элемента Ф и положительного направления тока в элеменге ьт Есгги эти направления относительно одноименных зажимов одинаковы, то напряжение равно 1ОЬМ„1,. В противном случае напряжение равно — 1ОЬМь,1,. Это правило знаков вытекает из обоснований, приведенных в з 6-2. В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис.
6-!О. Для большей ясности напряжения в уравнениях выпишем в порядке расположения элементов контура без приведения подобных членов: 1а+1Ь+1,= — О; за~а | 1Ог( а1а 1ОггИас1с '1гйгт атг! а Гь(, + у!ь1ОЬСь — 1ОО1 ь1ь = = 1са Е ь' ра1 ь1ь 1~ь1ЬОСь+ г ь ь гоге.с с + 1оьгИа.1а !Оггт)саг» г с с = ЕЬ+ Ес «г1а+ 1ы1 а!а — 1ОиИЬЬ1 + 1ОЬМ,ь!с = Еш Приведем также уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для контурных токов: (Га+ ГЬ + 1 (ОЬ1 а+ ОЬ1 Ь вЂ” 1 ГОЬСЬЦ 1г + +( — «,+1( — ы~ь+ (1ыСь+ .И.,)) 1з — 1 Ма„~з=Е.— Еь; [ — «О+1 ( — Ог~.ь+ ! 1ИСь+ ОЬМас)) 1„+ +(» +,+1(ОЬЕ +ОЬЕс — !1ОЬСОЯ 1з — 1 М, 1з —— Ее+ Е,', — 1ыМаа1г 1йтМстг1г+(«ь+1ОЬ1,а) 1з= Еа. Сокращенно последние уравнения можно записать так: 2гг1г+ Ягз1г+ 2г г1з = Ег: 2зг1г+ Лзз/з+ 2зз1з = Ез', 2„1г+ 2зз1з+ 2з,!з = — Е«а где 7„, Яе„2„— комплексные сопротивления контуров 1, 2 и 3; Ягг а зг Лзз Язз Язг Лгз комплексные взаимные (общие) сопротивления контуров 1 и 2, 2и3,3 и 1; 7 Остговвг теории цепей !93 Е„Е„Ез — комплексные контурные э, д.
с. Например, 7гг = ха + гь+ ! гггоЕь+ гоЕь 1/отСь) тгз =- — гь-1- ! гг — отЕь + 1угоСь+ гоМаг); л.гз = — !огМ,н; Е, = ń— ' Е,. Заметим, что в комплексные сопротивления контуров и в комп. лексные взаимные сопротивления двух контуров слагаемые !отМьь входят со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным зажимам элементов цепи )е и з направление обхода контура через элемент й и положительное направление тока через элемент з.
Для цепей, содержащих индуктивно связанные элементы, справедливо свойство взаимности. Доказательство этого положения ничем не отличается от приведенного для цепей постоянного тока. Пример 6-1. К зажимам ! — !' цепи (рис 6-11) подведено питание Определить напряжение между разомкнутыми аалгимами 2 — 2'. Дано. г, = гз = 3 Ом; ьг!з —— = ьь!.з = 4 Ом; ыМ вЂ” 2 Оьи Уг — !О В. г — о Г 1 ® 1 1 Рис, 6-12. Рис. 6-1!. Р е пг е и и е.
Полагаем У, = У, = 10 В Находим: = — =1,2 — !'1,6 А. У 10 гз '!ы!.з 3+ !4 Напряжение Уз определяем, обходя схему от эагкима 2 к зажиму 2", У~= !гьМ1,+г)~=13 4 Х !О'18' В. Если бы нижний конец инлуктивности ьз был одноименным с верхним концом нндуктивности Вм то направление обхода элемента Ьз и направление тока в элементе ьз относительно одноименных зажимов были бы различными. тогда перед слагаемым !ыМуг следовало бы поставить анан минус и напряжение Уз было бы равно 7,21 д — !9' 26' В. Пример 6-2.
Определить входное сопротивление цепи, понаэанной на =-Чьис:зж12-гйанп=.л~;гл хЬ 194 Р е ш е н и е. Зададимся напряжением ()„подсчитаем ток 1г и затем наадезг з „. =- Гггггг. Заметим, что если бы не было взаимной игпУктивности, .ю ток 1з б„',л бы равен нулю, ток 1з равнялся току 1, и Лзз было бы равно Н + 1ы(ч. Для контура 1 — 3 — 2 — 2' — 1' (гг+1ог(.,) гг+1огМ)з= ()з. Для контура а — 3' — 2' — 2 — 8 (ге+ 1езг.з) гз ) 1еизз)г =О (б) откуда 1з= — 1ыМ(гдгз+Мз) (в) Подставив (в) в (а), получим: (,—, ) озган з ., Р)ыГ,+ — — -) 1,=и„ гз+1оз1-з 1 откуда ()г ез)нз хзз= — = гг+1оз(ч+ !г гз+1юГ.з (см, такаге пример б-а). (г) 6-6, Эквивалентная замена индуктивных связей Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощаются, если часть схемы, содержащуго индуктивные связи, заменить эквивалентной схемой без индуктивных связей.
Этот прием называют эквцвалентной заменой, устранением или р а з в я з к о й и н д у ктивных связей. гг) Рис. 6.13. Найдем схему оез индуктивных связей, эквивалентную двум индуктивно связанным элементам цепи, присоединенным к общему Узггу 3 (рис. б-!3, а). При этом учтем два возможных случая: когда в общем узле элементы цепи соединены одноименными зажимами и когда разноименными. Введем дополнительную ветвь без сопротивления, соединяющую нндуктивно связанные элементы цепи с узлом 8 (рис. 6-13, б).
В том стучае, когда в узле 3 соединены только три ветви, введение такой ....допозтинтельной .ветви не трейуетед 19о Напишем выражения для напряжений между зажимами 1,3 и 2, 3; ~1тз=2А ~ ~м~з, '[Узз =2зУз — 2эА Верхние знаки относятся к первому случаю (когда в узле элементы цепи соединены одноименными зажимами), а нижние — ко второму случаю. Этого порядка расположения знаков будем придерживаться н во всех последующих выражениях.
Х [у Пользуясь соотношением г, -«- гз — гз =- [гг = О, исключим из первого уравнения ток гз, а из второго уравнения ток !'ы тогда получим. +хи [)„=(г,—;2м) 1,=-К„,!„ ()гз=(яз-1- ял!) ~з +: М . Кроме того, имеем: С'хз=(2т 2 ) ~ — (2г 4 2м) 1' Рнс 6-14 Этн три уравнения справедливы и для схемы, показанной на рис 6-[4, которая, таким образом, и является искомой эквивалентной схемой без индуктивных связей.
Итак, при устранении индуктивной связи к сопротивления~ Я, и 2з добавляется 1. Улт, зажим 3 перестает быть узлом для ветвей 1 и 2, а между зажимом 3 и новым узлом 3' появляется элемент 4-2,и. Если индуктивно связанные элементы соединены трехлучевой звездой или треугольником, то, применяя последовательно рассмотренный способ эквивалентной замены, можно перейти к схемам без индуктивных связей. Развязка индуктивных связей в четырехлучевой звезде труднее, так как на промежуточном этапе получается схема, в которои индуктивно связанные элементы расположены в ветвях, не имеющих общего узла.
Две любые индуктивно связанные ветви, не присоединенные к общему узл!у, также можно заменить эквивалентной схемой без индуктивной связи, однако эта схема в достаточной мере сложна и польчонатьгя ею нецелесообразно. Пример 6-3. Найти входное сопвотнвление пепи Рис 6-15. [рис. 6-!2), применив при решении эквивалентную замену индуктивных связей Р е ш е н и е Учитывая, что индуктивно связанные элементы присоединены ч узлу 8 разноименными чаэ.чмами, получаем эквивалентную схему, представленную на рнс 6-16, для которой Рз — , '!ез [дз — , 'МЦ [ — [таМ) . мзМ~ Х,„=г,-+!ы[дз+М)-«- ' ' =.з+!ы1,+ 196 6-7. Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи рассмотрим, как передается энергия между двумя индуктивно связанными эле леяентами разветвленной испи Всю цепь, за исключением этих двух элементов, пр заставим в виде активного чстырехполюсиика (рнс 6-16) В течение каждого полУпеРиода изменениЯ токов Ц и га энеРгиа, постУпаюшая в магнитное поле индуктивно связанных элементов, возвращается обратно Однако это не означает, что равны количества энергии, поступающей в поле и возвращаемой из поля обратно для каждого элемента з отдельности Покажем, что пРи сДвиге фаз межДУ токами И н ~з, отличзюпгимися от 0 и л, от одного из элементов з магнитное поле поступает больше энергии, чем М зозврашзется, а от другого элемента, наоборот, в магнигное поле поступает меньше энергии, чем возвращается В результате энергия передается от (!г (гз одного элемента к другому Пусть известны токи 11 = 11е!$' н !з — — !ззгФ'.
Рнс 6-16 Составим выражения пля комплексных мощностей первого и второго элементов, обусловленных взаимной индукпией. 5 г эг — — Г)г зг!г = ! ЮМ !з!г =.. )ЮМ 1,1 ЕГ 1Е = — аМ!в!г зш (зйз — ф,) + !ОМ1,1г соз (ф, — ф,), Л,щ=о,м!',=! М1,!з= — б,м, откуда Р,лг — — — Рзм-— — ~М1 1 мп (ф — ф ). 17~и=- чзм="м1 1з с~'(ф~ фз). При указанных на схеме положительных направлениях токов и напряжений положительные значения мопнчосгей соответствуют притоку энергии к рассматринаемым элементам от активного четырехполюсника, а отрипательные значения мощностей — передаче энергии из рассматриваемых элементов в четырехполюсник Суммарная активная мощность, обусловленная взаимной индукцией и поступзюпгая в оба элемента, равна нулю, т е Р, + Р = О, суммарная реактивная мошностгь обусловленная вчаимяой ипдукцией, в общем случае отлична от нуля н может быть как положительной, тан и отрицательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
