Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 76
Текст из файла (страница 76)
й 12.2. Проекционные методы. Процесс Бубнова — Галеркина 12.2.1. Основная проекционная схема: процесс Бубнова — Галеркина. Выше в п. 11.0.3 при обсуисдеяии рядов Фурье уже было введено представление о проецировании в фупкцпопалыюм пространстве. В сущности. была лишь намечена главная мысль, поскольку последовательное изложение всех сопутствующих понятий составило бы обшпрпый математический материал. Однако уже на атой основе можно понять сущность проекционных методов.
Большой общностью обладает подход, называемый методом, или процессоз! Бубнова — Галеркина по именам двух выдающихся инженеров я учекых, нашвх соотечественников, прпшедших к центральной идее в !913 — 15 г. [И.2). Непосредственным предметом были задачи технической механики. Рассмотрим процесс Бубнова — Галеркина, т. е. построение основной проекционной схемы. Поставленную задачу сжато сформулируем в виде равенства: 2'и = (. (12,3) Здесь 2' — какой-либо оператор задачи, например, дифференпиальный (с заданием граничных условий), интегральный или икон; будем полагать его линейным. В правой части — заданная функция 7'.
выражающая обычно то или иное внешнее воздействие на объект. Символом и обозначено неизвестное решение задачи. Рассмотрим тождественно равную нулю функцию 2'и — )' = О. 1'и.!латая се в ряд 11[урье типа (11.20) по полной ортогональной системе (и„), мь! должны положить все коэффициенты Фурье рав- ными нулю (2'и — 7, иа)=0, й=1, 2, ..., с . (12.4)' Приближенное решение задачи будем искать в виде ортогонального представления: н Н Ча Н и = Е/ алию и 1 (12.5) где аи — неизвестные коэффициенты; систему У функций (и )„ н и будем называть базисом процесса Бубнова — Галеркина. Для каждой базисной функции и„должно иметь смысл выражение 2'и„, т. е. и ~ Яо (обозначение употреблялось в и.
11.0.1). Тогда представление и» (12.5) можно подставить в (12.4)' вместо и. Сохраняя У таких соотношений, имеем: (2'и" — )', и,)'=О, Й= 1, 2, ..., № '(12.6)' (2аи„им) а1 + (2'иа, ин) аа + ... + (2'ик, иь) ал = (г'. и12), или в краткой записи: ла»=7, (12.8)' где а — вектор коэффициентов аи (столбец чисел а[, а,, ..., ан), п и вектор правой части ) имеет компоненты (), и ), а матрица Б— элементы Ба =(2'и„, иа). Назовем систему уравнений (12.7)' (или (12.8))' проекционной моделью физической системы, которую отображает задача (12.3)'. Нахождение коэффициентов а„(и последующее построение приближенного решения (12.5)) сведено, таким образом, к решению алгебраической задачи.
Можно представить себе серию проекционных моделей (12.8)', построенных при неограниченном возрастании № В этом смысле можно говорить о переходе к пределу при )у- . В пределе невязка 2'и" — 7 оказывается ортогональной системе (и ), как и точный 27 в, в.пиаоласиив, т. И,николас»а» Это и есть требование, налагаемое на приближенное решение. В сущности, совокупность равенств (12.6) — это условия ортогональности невязки 2'й — ) функциям и„, принадлежащим базису н (и„)„,. Выполнение требования (12.6)' должно привести к определенному выбору коэффициентов а„и, следовательно, формированию приближенного решения и" (12.5). Как видно иэ (12.6), при подстановке (12.5)' возникает следующая система линейных алгебраических уравнений: (2'и„и,) а1 + (2'иэ, и,) аа, + ...
+ (22ин, и,)ай = (7', и,), (2иа иа)а1 + (21'2 и2)а2 + ' ' ' + (2ь'нс и2)аи (! П2) (12. 7) Э 12.2, ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 419 (.Х вЂ” гоп) Р = Х, (12.15)' (12ЛЗ) Пе(!А — х"В! = 0 418 ГЛ. 12. ОВЩИИ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ к нуль и'и — (. Можно ожидать, что представление Пш и в опреде- 12»» ленном смысле не отличается от точного решения. Если это ожидание оправдывается, то говорят, что процесс Бубнова — Галеркина (или прое1щионная модель) сходится к решению задачи (12.3).
Обычно при этом а„-».а„при Х-»со, п = 1, 2, ..., (12.9) где а„=(и, и„) — коэффициенты Фурье решения и задачи '(12.3)'. Следует подчеркнуть, что вообще а» Фа» при УФ%'. Строгое доказательство сходпмости процесса Бубнова — Галеркина для того или иного класса задач может оказаться трудной проблемой. Рассмотрим процесс Бубнова — Галеркина в случае задачи на собственные значения ,Фи — хЯи = О. (12ЛО) Можно сказать, что (12ЛО) получается из (12.3) при (=О и 2'= =.2в — хЯ, где х — параметр; в частности, Яи= и (т. е.
Я вЂ” единичный оператор). Задача на собственные значения имеет серию решений и =и11п и12О ..., которые реализуются при соответствующих значениях параметра х: х1, хт, ... По определению, иио — собственные функции, а х — отвечающие им собственные значения задачи (12.10). И те, и другие необходимо найти.
Применяя метод Бубнова — Галеркина, вместо (12.6) имеем: (Рэи" — х"Яи'", и„)=О, й=1, 2, ..., У, (12.11) где х» означает приближенное значение и, которое будет получено прн реализации метода. Далее вместо (12.8) будем иметь Аа — х"Вал = О, (12.12)' где матрицы А и В имеют элементы А» =(2'и», и„) и В„„= =(Яи„, и,), соответственно. Из условия совместности системы уравнений (12.12) следует характеристическое уравнение относительно х", являющеей и ся алгебраическим уравнением степени Ж.
Его корни х1, хз, ...— это приближенные значения искомых величин хь хм .... При решении системы уравнений (12Л2) находятся отвечающие этим приблия1енным собственным значениям векторы а". Внося соответствующие наборы коэффициентов в представление (12.5), получа- 1» л ют собственные функции и1п, и1ю, .... В заключение сделаем несколько замечаний. 1. Нетрудно замотить, что все операции процесса Бубнова— Галеркина, а также впд окончательной алгебраической формы (12.8) или (12.10) не изменятся, если система (и„) будет неортогональной.
Действительно, ортогональпость базиса Бубнова — Галеркина не является необходимой. 2. Применяются и такие базисные функции и„, которые не входят в область определения оператора 2', но в этом случае используется специальный прием, который будет продемонстрирован на примере электродинамических задач ниже в п. 12.2.2. 3.
Проекционная модель (12.8) или (12.10) моясет быть получена и совершенно иным путем. Главная альтернатива — применение вариационного исчисления. Не останавливаясь на этом, отметим только, что приводящий к (12.8) или (12ЛО) вариационный подход называется методом Ригиа. Иногда проекционные методы называют вариациониыми. Для детального ознакомления с проекционными методами как инструментом математической физики рекомендуется монография (И.2); применение проекционных методов в электродинамике изложено в (И.З).
12.2.2. Основная проекционная схема для уравнений Максвелла. Электродинамическую задачу того или иного типа, сформулированную для некоторой области (г, нетрудно выразить в форме (12.3)'. Для этого достаточно применить так называемый оператор Максвелла .я, ввести обобщенную проницаемость х и вместо Е и Н рассматривать столбцы Р; применение такого аппарата наряду с другими возможностями подробно обсуждалось в [И.З). Вводится символика: Прн этом уравнения Максвелла (3.34) принимают вид: где з — столбец с компонентами — 1(" и О.
Но в последующих действиях мы ие воспользуемся аппаратом оператора Максвелла. Чтобы сохранить легко обозримую преемственность с предшествующим материалом этой книги, будем строить основную проекционную схему, отправляясь непосредственно от уравнении Максвелла в форме (324) . Йтак, пусть некоторое электромагнитное поле в виде комплексных амплитуд Е„и Н„надо найти в области Р с границей В; внутренняя среда неоднородна: е и (2 — функции координат.
Постановку задачи пока уточнять не будем. В объеме К зададим системы функций (Е ) и (Н„), которые не являются решениямп исходных уравнений Максвелла (3.34) при заданных 1о, з и р. 27» Я 12.2. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 421 ос ' н"= Х ь„"н~ со Е = ~ а„,Е„, (12.17) »=1 Рис. 12Л (12.21) 420 ГЛ. 12. ОБЩИЙ ПОДХОД. ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Применительно к уравнениям Максвелла (3.34) проекционная форма (12.4) записывается следующим образом: ) (гоС Н,„— ссое,еК„, — 1,'„') ЕосЬ = О, (12.16) ~ (гоС Е + ссорорн ) НосЬ = О, р й=1,2,..., Действительно, если системы (Е„) и (Н„) ортогональны, то записанные соотношения имеют очевидное истолкование: равны нулю "— 0 все коэффнценты Фурье функций гоС Н вЂ” ссоеоеК вЂ” 1 = 0 и ТОС Е», + со1РоРН,» —— О.
В качестве (Е„) и (Н„) удобно взять системы векторных функций, рассматривавшиеся в и. 11Л.2, для некоторого объема Сс„который в общем случае охватывает )с: Е~ Рм т. е. используется базис полей полого резонатора с объемом и'о, 'в частности, Уо= Сс, В методе Бубнова — Галеркина известное решение задачи представляется в форме: или — прп переходе к индукциям: я л Вл = е ~ р~К»„ВИ = ро ~ с7»НН„. (12.18) '»=1 » 1 Но прямая подстановка этих представлений в (12.16) допустима далеко не всегда; это может привести к неверным результатам. Действительно, рассчнтывая на сходимость процесса, надо требовать, чтобы подстановка сохраняла смысл при Ас- о . А это означает, что должно быть оправдано почленное дифференцирование (точнее, применение операции гоС) по отношению к ортогональным рядам, в которые переходят представления (12Л7).
Возникшую трудность легко обойти, выполнив в (12Л6) интегрирование по частям, т. е. надо использовать формулы (1.26) и (1.33). В последующих преобразованиях учтем также уравнения Максвелла (11.48), которым подчинены функции базиса (в них положим е = 1, Со = 1; нри этом со„вещественны). В результате соотношения (12.16) принимают вич созо ~ еЕ ЕосЬ сооро) Н Н„сЬ вЂ” 1 ~ СЕо Н |сЪ вЂ” с ~ ) "ЕосЬ,= О, (12ЛО) со, е ( К Е,',с(а + сосс ) сси Н„с1с — 1 ) (Е, По) сь = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
