Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 72
Текст из файла (страница 72)
11.12). Последнее соотношение нуждается в обосновании. ВБ!ВОД. Отмеп<м сначала, что на основании (1.27) го1Ге '"' = е '*го!Г+(ига<) е-"', Г) = е '"*(го1à — <Г [хе, Г)! (11.75) и, если Г не зависит от 2, то го! Г=гоФхГ. Поэтому при подстановко Е ь Н;" (1!.71) в однородпь<е уравнения Максвелла получаем следующие уравпепия относительно функций поперечных з 11.2.
ВьЄ1УжДВнные Волны. НзлУченпе В ВолнОВОДе 899 координат 8<, 941 .' го!АЗф -<-<Г<[З<, хэ[ = !<Аз~во; гоьА8< Т-<Г< [хэ, 6< ! = — 1<о(ААРО(ч Заменив 1 на й, запишем эти же уравнения в комплексно сопряженной форме: г0$ ЪА -~- 1ГА [ 9('А, хо ! !<Азов<Ад *< (11. ) 1 77) го!,8А" -А- <Гд [х„8„*[ = !А1)<А)<9('Ат*. Взяв первое из уравнений (11.76) и второе из (11.77), образу- ем скалярные произведения с од и йь< соответственно. Лна. о- -А А Л л- гичные действия выполним по отношению к оставшейся паре урав- нений. В каждой из пар произведем вычитание соответственных частей равенств, после чего используем тождество (1.26), произве- дем интегрирование по ЯА и применим теорему Гаусса в двумер- ном варианте (г' — ЯА, Я вЂ” ЬА).
Так как па контуре ЬА попереч- ного сечения Я волновода Е, = О, то контурный интеграл уничто- жится, и оудем иметь: ~(Г; — ГА) [ [ 6~~", 3,— — ~[в <)г= <эе е~ 8,".8~~'<)з — ыр )<~ ЗфЗ+~~<(г, вь 3, Ь (11.78) ~ (Г< — Г,") [ [8;~, З„*[2,<!з= — <эр,!< ~ Р, ЗА *(э+<езде ~ 8<У 8А *<Ь Я,< ЭА ЗА В смешанных произведениях под знаком поверхностных интегралов участвуют только поперечные компоненты векторов, которые можно выразить прп помощи формул (11.72). После вычитания соответственных частей (1!.78) сделаем замену 6,,д-~е; д и 3(,;"А-».
-А--~- Ь< А. Это дает: (Г; — Гд) ~ ([е<, Ь*,]+ [ед, !«1!) хо<)э=О. (Н.79) Как и в предшествующих выражениях, здесь подразумеваются волны обоих направлений, т. е. наряду с тройкой величины е<, Ь<, Г» Рассматривается также тройка е„— ܄— Г, (а следовательно, допускается обращение знака Г). Из (11.79) видно, что для таких волн, которым отвечают неравные Г, и Г„, должен обратиться в нуль весь интеграл. Если же заменить в (11.79) е,, через Ь< А (илп наоборот) при помощи (11.72), то выясняется, что равен куя<о интеграл от каждого слагаемого в отдельности, Этим обосновывается Ортогояальпость пе- гл.
!!. Излучение п дн<ррлкция ) [ео Ь; ], дз чь О. (11.80) Н =-,'~'„с„Н „, П=1 Е,„=- Эо с, Е... п=1 г(0, (11.81) Е =- ~с„'Е„', П вЂ” 1 Н = ~с,,Н... к=1 п=1 1 Сп = 2 (()и + Ок ")1 !Окр с Оз (11.82) ~ рук[ (11.88) где ч1» — ', [ .стР о 1 У 20 В В Прокос.,км т И Пк о.окпп вырожденных сооственпых волн в смысле соотношений (11.43) и (11.44); в случае вырождения, как ооычно, можно построить ортогопальные соостнениые функции. Остаетсн рассмотреть нормировку. Пусть волны типов ! и й имеют веЩественные постоЯппые РаспРостРанениЯ(еоьр и.
Рз).Тогла Г» = Г», так что при ! = й множитель перед интегралом в (11.79) обращается в нуль. Прн этом оба подынтегральиых слагаемых равны: [еь Ь; ], = [еоы Ь;], =- [ео Ь;), = е!/И'!пн =- й!И'!" ~~, Таким образом, Положим теперь, что Г! и Г, — мнимые (оз„л ого).При этом Г* » - - кр » вЂ” — — Г». Поэтому разность Г! — Г» в (11.79) обращается в нуль, если Г,= — Гь т. е. й-я волна есть волна типа 1, распрострапяющаясн в противоположном направлении: е, = еь Ь, = — Ь,.
Оба члена подынтегрального выражения при этом равны. Действительно, [еь Ь!',] = — [еь Ь;] и [е», Ь!] = [е, Ь!] = — [ео Ь;], так как это чисто мнимыо величины. Как видно, и н этом случае выполняется неравенство (1!.80). Подводя итог, убеждаемся, что ортонормиронка (1!.74) возможна. ° 11.2.3. Вынужденные волны полого волновода. Решение задачи. Вернемся к задаче о возбуждеппп полого волновода задаппымп источнпкамп, поставленной вьшю в п. 11.2.1 (см.
рнс. 11.12). Поле в полубесконечных каналах слева и справа от области локализации источников представляется в виде: (как отмечалось, такое представление согласуется с условяем излучонпя), Коэффициенты рядов вырая!аются следующим образом: (!,",'е — [ 1,",',Н,г'11! + ~ [Е", Н„"] с(з.
(11.83) 5 !1,г. Вынуждгнные ВОлны. излучение В ВолнОВОде 4О! В Ы В О Д. Запишем следующие две пары уравнений Максвелла: го1 Е =- — !го[то РН вЂ” 1'„', 1О1 Е» ' —— !РзР»РН» ', УП о со к|1 'х к о ~ (11 84) го1 Н = — !НоеоеЕ + 1'„, о го1Н»- =- — !Ное»ЕЕ!— , В левом столбце — уравнения в форме (9.51), которым подчинены комплексные амплитуды Е и Н,„поля, возбуждаемого в волноноде заданными источниками. В правом столбце в комплексно сопряженной форме записаны однородные уравнении Максвелла относительно ком~плексных амплитуд собственных волн (11.71). Подобно многим апалопгчпым случаям (см., например, пп.
11,1,2, 11.1.3) уравнения объединены в пары, как показано стрелкамп. Уравнения первой пары умножаются скалярио на 11» и Е соответственно, а ураннепия второй пары — на Е»* и Н . Все операции в дальнейшем аналогичны предыдущим. При этом в качестве И берется объем, ограниченный поперечными сечениями Я! и Яг (см. рис. 11.12), а также боковой поверхностью соответствующего отрезка волновода; пусть Я вЂ” полная граница Р. Результат имеет вид ф [[Е„, П' ] + [Е»', Н„]! бз =- — [( 1."Е,'-*+ )"„'Н»') (В, (11.83) В У а поскольку па боковой поверхности за исключением области отверстия Е, = 0 (для собственных волн — и па Я,), то [[Еор Н '] + [Е-'*, Н ][да — — Я.= — Щ=', (11.86) где использованы ооозначення (11.83).
Неную часть этого равенства обозначим !д". Прп подстановке представлений поля (11.81) получаем 7!†, =- — Х сп [ [[Еп~, Н! †, ] + [ Ей , [А ][ госЬ + + ~ С~~~ [ [[Еп!, Н»'[+ [Ек Н [) го!(З (118!) П 1 з (учтено, что внешняя нормаль направлена по г на Яо и против г на Я!). Принимая во внимание соотношения (11.71), (11.72) н ортопормиронку (11.74), видим, что в рядах остаются только й-е члены, причем равенство (11.87) дает ГЛ. 11. ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ Э !!.3.
ВОЛНОВОДНАЯ ДИФРАКЦИЯ е,н Далее учтем свойства волновых сопротивлений И(А' ( которые остаются вещественными, пока ю«р(ю, а затем становятся мнимыми согласно (11.73). В результате получаем 2са, (10„', (ю), — 2 (И(01/ И(А )) в«, (юнр ) 10). А Представляя левую часть в (11.86) при помощи (11.89), приходим к формулам (11.82). в 11.2.4. Излучение диполя Герца в прямоугольном волноводе. Покажем применешсе полученных результатов (11.81) — (11,83) на О х, г т Рас. 1133 примере прямоугольного волповода, зозбуясдаемого малым элементом тока (рпс, 11.13а), плотность которого задается в виде 1" = у,р' б (г — г,) 6 (х — х,), 0 у(Ь (11.90) (ср.
(11.67) ). Определим коэффициенты са (11.82) разложений (11.81), где (т с номер Й соответствует основной волне Н(0', вместо сь будем писать с'„. Поскольку /2 И(н ~ Е=' =е,в' " =у З1п — 'е — !0 ~ ° ла ( н !0' '(11 91) !0= тр 0)( аь а то и при вещественном, и при мнимом Г!0 справедливо равенство и (1. та с = — — ) 11 Е!0отр. !0 = 2(рун ~ ) ю и и Действительно, (Е„) = Е,с пРи са«р(ю и (Е,') = Е„пРи са«р) )01. Внося в (11.92) представление тока (И.90), получаем )Гт ) 1У,"„~ ((1( Напомним, что Г!0 =(2Л11,) 71 рддр п И 11 И«с)/1 ())2 )а (см.
п. 7Л.З), Если при заданной частоте «1 раамеры волновода таковы, что только тип поля Н(0 имеет характер раснространяющенся волны (2а))с), то на достаточном расстоянии от элемента тока полное поле будет выражаться одним членом ряда: Н ст И'!01„1! ла лх -«г 00 '!) Ет = в(0Е!0 =- у ™ яп — ' з(п — е '" ' (11.94) 0 аз а а (верхний знак соответствует ооласти г ) г(, нижний — области г~г!). Ток в (11,94) можно заменить моментом дпполя Герца; .
' ст очевидно р~= — у«117 )1/са (9.23). Полный поток энергии создаетсн только волной Н!0. Интегрируя средний вектор Пойнтннга по Я! и л«( Яг дважды получим ао — Ве —. Сумма (т. е, удвоенная величи- 2 И(н' !0 на) и дает полный поток энергии; с учетом (11.94) стт 0 Р =- йе Иг„— а Яп' —," . (11.95) При Х ) 2а, когдаИт!0 становится мнимой величиной, Рт = 0: диполь Герца не излучает в волновод прп частоте ниже критической. Иа рис.
11.13б при г = 0 в волноводе введена идеально проводящая перегородка (обычно возбуждасощнй элемент располагается вблизи закрытого ко(ща волновода). Волна П(0( излучаемая влево, отразится от плоскости г = 0 (с изменением фазы на 180') и сложится с волной, иалучаемой вправо. Легко убедиться( что полное поле справа судет представлять собой следующую волну: !2ру ( ст1, Е«( = ус !0 япГ г, яп — 'зсп л в '0 (11 96) й 11.3. Волноводная днфракцпя 11.3Л, Постановка задачи.
Матрица рассеяния. В з 11.1 и 11.2 отмечалось на примерах устройств возбуждения резонаторов и волноводов, что при рассмотрении волновых процессов в изолированных структурах обычно должна быть задана падающая волна. Процесс в целом есть днфракция, поскольку эта волна возбуждает некоторое поле в структуре и отражается назад. Если вве входящие в рассмотрение волны являются направляемыми, будем употреблять выражение волноводная дифраи!)ия.
Простейший пример волноводвой дифракции — реакция некоторого тела А (рис. 11Л4а), помещенного в полый волновод. Если, например, в волповоде слева из бесконечности распространяется волна типа й, то она частично отразится н пройдет в правый по2са ГЛ, !1. ИЗЛУЧЕНИИ П ДИФРАКЦНЯ 404 405 $ !1.3. ВолноводнАя дпФРАкция )(1/ О~ а ~д~н .У (ас)а~ 'Я .а с Фп~) и»Р>>> с а.=43,...,Р 5) (Р„',И, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
