Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Переобозпачпм зтп единичные взаимно перпендпкулярные векторы следующим образом: х, = пс, уэ .= пгь хс = пз. Мы имеем, такпы образом, ортопормпроваппую систему ЗЛЕМЕНтОВ (П,)и=г'. ВЕДЬ СКаЛЯРПОЕ ПРОИЗВЕДЕППЕ (П„П„) УДОВЛЕтВО- ряет условию (11.16), Зта система полна в том смысле, что по ней вложет быть разложен любой вектор Г (рис. 11.1): 1': «а„пи, аи -.=. (1", п„), (11.23) причем а„ = (Г, и„) — это не что ппое, как проекции вектора г' па осп х, у и х. Но именно так выражаются н коэффициенты Фурье а„(11.20).
Аналогия в!ежду разложениями (1!.20) и (! !.23) пе является чисто формальной. Дело в том, что разлагаемая функция 1 трактуется как вектор в бесконечпомерноы пространстве, а ее ряд Фурье (11.20) есть разложение, подобное (11.23). Прп этом коэффициенты Фурье а„выступа!от как проекции 1 на и„. Пример 2. !«я«т Фурье (ЗЛ7) ыы можем рзссызлрвеать как Ряд вида (и.20) фуыкцвы и(с), заданной ыз впгервале — т(2 < г < т(2, по свстеые (и„), ортоаорыировзиоой согласно (!!.! С), гдо гсх и„= Т 171 ехр (сизяс)Т), ( исиссйс = бьл — гы (И.24) (прп определенны скалярного произведения (И.2) вместо У фигурирует данный отрезок).
Коэффгсцнситы Фурье равны; гм Ггг (И.25). — тгв 7/Т вЂ” тсв Мы видим, что фюрыула ряда (3.!7) зквывачеатоа (11.2О). Функции (!1.24) получаются каи собствеццые функция оператора Лапласа, г. е, вз (И,1) прп пергсодггчсскгсх граничных условиях: и( — Т(2) = и(Т(2). Равенство (ИЛ) есгь прв этоы обыкыовеыпое дифференциальное уравнение. й и 2 (И.28) с(с и собсгвсгсггьге зыачення х„оказываются рзвцьиш (2«сл,'Т)г. ° 11.0э1. Собственные векторные функции оператора Лапласа. Конкретпсснруем задачу (11.1), взяв объем (г в виде параллелепипеда 0 < х < а, 0 < у < б, О < з < Т и сформулировав определенные граничные условия иа ого поверхности. Пусть Реп+хи=О в Г; и,=О, ййп= — 0 па д.
(!1.27) Нас интересуют собственньге функции этой задачи и = Е„которым отвечают собственные значения х = хг. При проектировании векторов на оси координат задача (1!.27) сводится к трем скалярным задачам, которые решаются методом разделения переменных, как было показало в п. 8.0.1. Выпишем результаты, которые понадобятся в дальнейшем. Получаемая в конечном счете скстевса (Е;) распадается на две подсистемы (Е,'] и (Ес(, объединяющие соленоидиальные функции Ес(й!РЕс = 0) и потенциальные функции Ес (го!ЕР1 = 0).
Те и другие выражаются в форме: Е,=хоЛ„сову хяпууяпух+усЛ,япу хсозууяпу з+ + хс«1, яп у,х яп у,,у соз уыз, (! !.26) ГЛ. 11. ИЗЛУ'!ЕИПЕ П ДПФРАКЦПЯ где у„= тч/а, т, = нп/Ь, ул = рл/Е, (11.29) (т, >г, р =(0), 1, 2,...) . Прп этом х, = (тя/а) г + (пп/Ь ) ' + (рп/Е) г (11.30) (индекс г понимается как номер набора чисел т, и, р внутри каждой подсистемы). 1!пже будут записаны выражения коэффициентов в (11.28) при следующей ортопорппровке: ( Е>Е„'г/и =- 6>о/ео ( е(. (11.31) Внутри солепондальпой подсистемы (Е;'( выделим подсистемы Е-функций н ЕЕ-функций. (Е; ( и (Е™( соответственно. Введем обозпаченне: 0 = 2 (~2/ )~ ео ( е ( аЬЕ (У.' + Уу) х. (11.32) ,Для Е-функция: '1.
==- — г?У.-У.. -4 = — Охох., А = 0(х.'+ х'„) («.33) (если тчьО, >г ФО, р ФО); р моягет быть нулем, тогда все коэффициенты в (11.34) делятся ка !'2. Для В-функций: А,, =- /?у„рх, .4> = —.(?у !'х, А, = 0 (11.34) (если лг то О, и ныл, р ~ 0). Числа т п н могут порознь оыть нуляпп. тогда все коэффициенты делятся па !'2. Для потенциальной подсистемы (Е";(: -4 =(?Уо) У»+ У> Ао--г?Уу У У~+У', А.=--/?У У У'+Уо (11.35) ,(путевые т, >г и р псключается). Поставим теперь задачу тггп+ хи=-0 в !'; и,= О, (го1п), = 0 на Я.
(11.36) Собственным функциям п = Н, отвечают собственные знач х = х,. которые по-прежнему выражается формулой (!1.30), тспа (Н>) распадается па соленопдальпуго и потегщнальпук> спстсмы (Н>( п (Н'(. В свого очередь, (Н;( есть совокуп подсистем Е-фупкцнй (Не( и Н-функций (Н,'"(. Все собствс функции представляются в форме: !1, .— Е>Е/,.»>и у,т сгж уау сок уоз + у>ЕЕ> соо у,.г з>в у»гг со. Уаз+ + тоВ, соз 2 х соз 2>у з>п у., (! ~НН,*, Р-бг,/р,(р( У Тогда для подсистемы (Нг (: В, = гг?У>Ух/Иг, В„= — >Ч>)(„Ух/Иг, В, = О, (11.39) Для подсистемы (Нн(: Вк = г(?У У„Ит, В„= гг?Х У../И', В, = — а(Х'+ Х')г>И'.
(11.40) Формулы записаны для т Ф О, п Ф О, р Ф О, Могут быть равны нулю р в (11.39) н т нли н в (!1.40), тогда соответствующие выражения делятся на У2. Для потенциальной >подсистемы (Нг(: . == — ?. )'у'*+ у,'-УИ, ЕЕ,--=- — жу~ '. + йИ, В, = — г/?уд Р у,', + у,',/И' (11,41). (лгтоО, нФО, рФО). Одно и>пг два нз зтн.'с чисел могут быть нулямп, тогда выражения (1!.41) делятся на У2 нлп, соответственно, па 2.
Постановка краевыл задач тгша (11.27), (11.36) уяге об>суждалась в и. 8.!.2. Солспопдальпыс подспстеньг (Ег( п (Н',( представляют ьонплекспыс амплитуды векторов Е п Н собствепнык колебаний пряноуголького резонатора. Нормировка (!1.3!).
(11.38) е е,н и произведена так, что Е и Н;, Е; и Нг связаны уравпенпятш Максвелла; поэтому также в ( 11.39), (11.40) введены мнимые единицы. Потенциальные функции Ег н НР можно рассматривать как решения уравнений Максвелла при го = О. Нас будут также интересонать двумерные аналоги,задач (1'1.27), ( ! !.36), когда вместо параллелепипеда рассвгатрнвается прямоугольник 0(х(а, 0(у(Ь. При этом то — »7'„, 'у'- Я и Я- Л (Š— контур прямоугольника Я). Соответствующие собственные функции будем обозначать символамн е> и йь Выражения е, и !>г получаются, если в (11.28), (11.37) отбросить множители сову,з и положить А, = О, В, =О.
эывается, собственные функции ее й> представляют попекомпопекты собственпык волн прямоугольного волпозода ножптеля етр( — грз)), причем имеется следующее совпе: (е', й;.]->-Е-волны, (е;', йг>(-» ЕЕ-волны, (!!.42) псрсчпос жн>ктрпческос поле Е-волны является потспппзльмагпитпое — солопопдальпын (по координатам х, у); для о 1!.о огтогонлльные системы ФУнкЦИЙ и РЯДЫ ФУРье 333> ( где употреблены обозначения (!'1.29).
Соотношение ортопормировки возьмем в форме: (11.38), ГЛ. !!. ИЗЛУЧЕЕ1ИЕ И ДИФРАКЦПЯ прп этом справедливо также: (11.44) ) Гег, ?г;1, в.—.п б,„!1", гг~~??ли!, р пи е;=Е 1, ?г'; = Н™", (11.45) l и з 'аппп е! — Е,п, (11.46) д Рвс, 11.2 О-волн имеет место обратное соотношение. Заметим, что это свойство люоых волн данных классов, что вытекает из пре:!ставлеиий (6.23). (6.28). Нормировку еь ?г, произведем так, чтобы учитывалась их связь прп форэп!роваппи воли волиовода (ооусловлеппая уравнениями Ыаг!Свеггла).
Возьмем: ~ е!е!г!з = бы (!1'Ае' (, ( Ьгйьдз =- Ьггггг! ?!га1" ™г ( (1'1.43) где !Угь'и — волновые сопротивления (6.26), (6.29). Приданиойортонориировке функции еп Ьг можно получить прп помощи формул (7.38), (7.63), а пнеипо (при оторасыванпп ехр( — 1ГЕ) ); если взять в (7.бг8) Е„" =- 12!у„„~г!1?гг!,г! Г„,п !)~ад. Аналогично если в (7.63) полов;пть Н„= — 122,!Г „~/аб~?1'гг! (тфО, гг-'-О); есг и гн = О п.ги и =- 11, г;рои !иодгпся деление на 1'. Воз:ге в двумерпом варианте ! — номер наоора чисел т,, и; к; =-2пг,. 1 11 1. Вынужденные колебания.
Излучение в полости 1!.!.!. Постановка зада ш. 1'асс!игривая в гл. 8 разлнчеьш элекгроиаюштныо резонаторы, мы нсследова,зи только свободные электронаппгтпьге поги. Ъ!ежду теи, на практике в большинство случаев имеют дело с аыггг!эвденггыгигг яолебанияли. ?'езонатор при этом связан с источником энергии, и внутреннее электромагнитное поле находим в результате решения задачи об пзлучонии некоторого внесенного элемента. Ооычно она называется задачей о аазбулгдюшп резоната!а. Собствевпые колеоапня г, бгоггыппнстве случаев прсдполагагогся язвестиыгш. Па ркс. 11.2 схематически нродставлепы некоторые устройства возоужлсиия розопаторов.
??алые резонаторы нередко соединяются с коакспальпымп !!!!!гелях!н, Конец внутреннего проводника кабеля, прохозяпгпй внутрь полости, подобен гглгмеитарвому элоктрпчоско- 1!у " ' """" "' ! "'"""" "' '"!игвыг! г гг!!г'гг'" ь""а"'поги' ' с 'уча ях прямоугогп ваго (а) и цилнп;цн!ческого (б) резонаторов. Нри- 1 11.1. Вынужденные колеелния. Излучение В полости 355 меняются н петлевые элементы (в), подобные элементарному магнитному излучателю. Полые резонаторы возбуждаются также через отверстия в оболочке без всяких дополнительных элементов; в частности, при формировании резонаторов используются волноводные диафрагмы (г).
Подлежащее возбуждению электромагнитное поле должно иметь проекцию вектора Е па ось штыревого элемента или проекцию вектора Н на нормаль к плоскости петлевого. Как будет показано ниже в и. 11.1.3, возбуждаемое поле мало отличается по своему строению от того нли нного типа собственных колебаний, если частота источника близка к соответствующей собственной частоте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
