Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 68
Текст из файла (страница 68)
6.0.2), Совокупность ее решений — система собственных функ.ций Š— -- Е~, которым отвечают собственные значения к = и„, описывает различные волновые процессы в липзовой линии. Доказывается, что основной волне соответствует паиболее узкий пучок лучей (в геометрооптической трактовке), а радиационные потери при этом минимальпы. 10.6.2. Линзовая линия и зеркальный резонатор.
Будем считать, что па плоскости (7' (см. рис. 10.22б) вне апертуры линзы поле можно считать равным пулю. Тогда каждую линзу периодической структуры можно мысленно поместить в отверстие пепро,зрачпого экрана, пусть это будет идеально проводящая перегород.ка.,(ппив, состоящая из таких экранов с отверстиями(рпс. 10.23а), смоясет рассматриваться как предельный случай линзовой линии (Л = 1., 1((!'= О). Это так называемая диафрагиеннав липпл. На рис. 10.28о показана периодическая структура, состошцая мз экранов, дополнительных к диафрагменной линии. Очевидно, что два соседних экрана (пара экранов отдельно изобрансепа па рис.
10.23в) можно рассматривать квк зеркальный резонатор, Посомпгпио, !к(жим розованса воэможш! и в диафрагмсппой .!Пипи, .причем векторы Е и Н в о((оит случаях мспвк(тси ролями !!сходя 37С гл. !о. дпФРлссгсия в свогодном пгоствлсктвв В 1с,з, Огтсзгогтллысыв спстссьгы Фуякцсся 1! Ряды ФРРьг 377 (') ! ! )444 !4(4 4 "4 4"~ «44 ТЕМ рр Тггчр ТЕМр НН Р О Мер ТЕ ТЕМг, ГЕМр , "'ЕЛС с 4',!Д ! 4О!44 ЕМа, ЕМрг ТЕТ'Сг ЕМгг Кссалра теме реа ала Рвс.
10 24 мы можем сразу же полу пгть аналогпчпое пптегра:сьпое уравпе. пие для зеркального резонатора, прпмеппв принцш! двойственности. Оя > имеет впд: х11„,(л, у. =') =- —. ) 41„(т', у', -')ехр) — с(с'— ' " ','' ' — ' !сЕгсЕ!Е' "лЛ 'Л (10.90! (:ооствсппые срупкцип Пм = Н„, сксторьсм отсс- зкст со ствепные значения х == х„диот пся ерсчные раск, с,сс.сесшя ра ксичпых типов полей собсткс.!сссьсх колебакпк.
На рпс. !0.24 коки сапа к.с, сспсскпсац" я с грук!у! собст:и ппых колебаний по Фоксу с: Лп') лля слусасз с:ссзлрсстссксх и круглы: зеркал. УПРЛ7ННГНИЯ 1. Плоская однородная волна (! = 10 ГГц) ворыальио издаст пз металличсскзк зкраи с отверг гкеы а Х Ь = 1 Х 2 тсг. Найти поло двфрвкцви за зкракои ир ррсгтояквк г — —. 5 ы и 1 кы. 2. Чоыу ривка иоисрс с!сиз ссчоивс ссрьхозсдсивя (!0.0! в яриолвркопви Гюйгскса — Нврхгофа", 3.
!савой ввд примеч интеграл (100), селя рвссызтрввзть дифракцию волны ири изклонссоы кадрики'. ') !'ре Л. О, 13 Т. сУ Вс В Ру*мссс Трс(~и. 1;. (90!.— У. 40, Х ".— Г. 453 С: с. ~ ик.кр Ц.7!. из того, что диафрагменкая линия может вом иптегрального уравпеппя (10.88) прп оыть описана посредст- А =- Ь, ! Е'Е =- О, С-с = 0 7ЕМм ТЕМ, 4!! 1 ТЕМм 7ЕМ,с !44,14 "®". ТЕМ ТЕМг, /(ауеарге зеркала Указание: воспользоваться представлсвисм об обобщенном злемеите Гюйтсиса в и. 9.4.3 и (9.72!. 4. Можно лв кзйтв лизыстр отверстия, если сказано, что ири длвое волны 2 = 1 и ои рввс и разгару исрвов зоны Френеля? 5.
Нзосюся одкорочивя волна (Š— -- 10 ГГц) ворыальио подаст ва ысталтичсскви зкрзи в видо ирямоугольивна с размерами а Х Ь = 1Х 2 и'. Выразить волиос сссснгсрозсагсссстнор поло ча экраном па рзсстояиви г = 5 м я 1 кы. С. И[ель в эсс!ысссс длиной 1 сы прв изирнжсивв ткщьсу крзяып 1 В (его можно считать кщыырпиыы во длине щели) кало заысиить круглои рамкой с током, кдситвчио излучающей в иолуирострзисзво.
Найти диаметр и ток рамки: 1 =- ! ГГц. 7. Нрв иоыощя сщсралв Корню проанализировать двфракцию Фрзувгофсрз. Обьяснить ироисхождсиие главного иространстнснвого мзксимуыа взлучсиня. Глава 11 ИЗЛУЧЕНИИ И ДИФРЛ411!ИЯ В ИЗОЛИРОВАННЫХ СТРУКТУРАХ (Б) 11.0. Ортогопальиые системы функций и ряды Фурье 11.0.1, Некоторые свойства оператора Лапласа. Ньппе в 3 6.0, 7.0, 8.0 уже рассматривались краевые (грапичпые) задачи для уравпеппя Гельмгольца, являтощпеся задачами па собственные зпаченпя.
Формулируя одну из таких задач, яашмпем: лри = хп, (!1.1) где пот 2' пепи!жется операция — с'. В!сдавая те и:тп пкые грзпп*псьссс ус. овпя, налагаемые иа и, мы определяем къссс функций, па кспорьсг распространяется операция х', задаем оссласть определения оператора Лапласа;Сапкой зада ш Юя (разумеется, фупкцпи и — Ыу) должны допускать заданные опорацпп дифферекцироваппя). Входшцпй в (11.1) параметр х в оосуждавпшхся рапео краевых задачах — двумерных и трехмерных — ооозпачался у' и Ес-.
Рассзсатрпссая и, ге= Ы2, ввел(ы интеграл (,у)=~ РЧс, (1 1.2) где У вЂ” прострапствеипая область задачи, некоторый объем (прп переходе к двумерным и одпомервым задачам Г заменяется па Ь и Е). Сит!вол (и, ч) (ср. (1.3)) употреблоп потому, что введепкьпг интеграл называется скалярпым произве;(опием функций и п т. Наметим. что (т, и) = (и, ч) *. Оператор 2' пазывается симметрическим, если (2'и т)=(и 2'в) (11.3) Для скалярпых и, и ка осповаппп первой формулы 1'рсша (!.рй!) зр (2'сс, и) .— — ~ сгч\"зис(и = ~ Х ссЧ'кчсЕ)г — '~ г" — сЕ'.
(!!.44! рг т 3 3 11.0. ОРтогонлльные скотт«1ы Функции и Ряды ФуРье 379 ГЛ. !1. ИЗЛУ*1ЕНПЕ И ДНФРЛКЦИ51 378 Знаменатель («, «) в силу (11.2) положителен. Ввиду (11.3) (2«, п)=(«, 2«), по в то )ке время («, 2«)=(2«, «)*. Отсюда следует, что числитель в (11.8) — веществен.
Таким о<бравом, собственные значения х вещественны. Рассматривая отдельно скалярные и векторные задачи, преобразуем (2'«, «) прн помощи (11.5) и (11.7). Это дает (чи чи) ) 0 (и, и) 1<и<и, »п) и) . '!»)<си, <)<си)- 0 (!!.107 (и, и) (11.9у Поэтому, если и, а=О ка Я либо ди)дч, до))д» =0 на Я (или на одной части Я выполняется первое ус:<овне, а па другой — второе: смешанная задача), то поверхностный интеграл в (!1.4) равен нулю. Рассматривая аналогично (и, 2'о) (достаточно в (11.4) сделать замену и — ао), убеждаемсн, что при данных граничных условинх (2и, Р)=(Чи, Ча), (и 2Р)=(чи, Ча) (11.5) т. е.
равенство (11.3) выполпнется. Таким образом, возвращаясь к задачам, обсуждавшимся в у 6.0, 7.0, 8.0, легко убедиться, что оператор Лапласа был симметрическим. Возьмем векторные «, ъ. Используя соотношении (1.29), (1.25)с (1.26) и (1.33), получаем (2'«, ч) = — ~ чоЧоп<1Р = ) (го! го! « — дга<( йч «) ч*й» =- ч У = — ) (го!«го! чо -! <11ч «<(!ч чо) да+ 3 ((гоС«, ч*) — чо йч «)<(в 1 в (11.6) Если принадле)кашне 2)Ф функции таковы„что и,, Р, = 0 н йч«, йчч=0 на Я; либо и,, Р,=О и (го1«)„(го1ч),=0 па о' (можно рассматривать и смешанную задачу), то поверхностньш интеграл в (11.6) исчезает. Тогда (2 «, г) =(го< п, го!1)+(д!чи, йч ч), (11.7) (п, 2ч) =(го! «, го! ч)+(йч «, йч ч) (вторая строка получается ирп замене «-. ч* в (!1.6)).
Оператор 2' является, таким образом, симметрическим и в рассмотренном случае, т. еп в частности, в задачах (8.37). Собственные значении х залачи (11 1) в случае симметрического 2" вещественны н пеотрицательпь<. Действительно, образун в (11.1) справа н слева скалярные произведешм< с «, получаем (11.8у Отсюда видно, что сооственные значения задачи (11.1) при симметрическом 2' = — Чо ноотрпцатольпы. Опн могут быть расположены в следующем порядке: 0 < х< - хг « ... и < ... (11.11) 1!.0.2. Ортогональные системы функций. Две функции ««ч навыка)от ортогоиальпымп, если («, ч)=0, 111И 8) Иудеи рассматривать собственные функции « = «, (1= 1,2,...) задачи (!1,1) при симметрическом 2'.
Для двух разных номеров 1, й НМЕЕМ 2'« = х;«и 2'и, = х»«„. (11.13) Образуя скалярные произведения (2'«и «,) и («и 2'«,) и прнппма)1 во внимание вощестпепиость собственных значений, получаем (2'«и «„) — («и 2'«„)=(х, — х„) («и «,), (11.14) пли (х< — х,) («и п„), (11.15) поскольку оператор снмметричен. Отсюда следует, что («и «,) = О, т. е. сооетве)<ные функ<)ии ортогональны, сслп им отвечают неравные собственные значения.
Если встречаютсн вырожденные собственные функции (которым отвечают одинаковые собственные значения), то, как доказывается, пх всегда можно выбрать ортогональпымн. В)л<м говорить, что палача (! !.!) коро,пласт оргогональоь)с сиате.пы функций («,). Ортогопальнак система всегда может быть нормирована, т. е. можно так кодоорать постоянные коэффициенты в выражениях «и Чта («и «;) = Юп ГдЕ <Ч, — гиабЫЕ НОЛОжнтЕЛЬНЫЕ КОПСтантЫ. В оольшинстве случаев берут Д'; = 1 для всех 1.
Тогда получастсн ортонормирован)<ан <и<стеша, для которой («и «»)= Кь (1! Лб) где, б,„= 0 ири <а- 7< и бп = 1 при 1 = й (символ 1(роаекера), В р и и с р 1. Убелимся, пп пртпгпипльиы спбстп<чшыв функции (8.7) тир , ппу рпг и<') ==- )Ч<~) яп — гйп — спя —.
»Р тар П Ь 1, ' (11.17) Скппярипо произзсдсипс функций и пр и п„,п,р, пмсст ппа по< ( <1) <5) и и о по п<<Г и ка 5»пп )5»хпо '. Мп — ' ып соп — соп — »!в»)у»)о Ь Ь !, 5, ,(сппппупппстп ппссп т, и и р ои)н)иппст ион< р 5 функции). ГЯ. 11. ИЗЛУЧЕНИЕ И ДПФРАКЦПЯ 9 11 О. ОРтогонАльные систглсы Функций н Ряды ФуРье Иггтеграл (ИЛ8) есть произведение трех одпотнпцых табличных квтегралои, которые де«от нуль прв т чь т', и Ф и' п р Ф р' соответственно.
Састеыа (и „,рсс,такпы ооразоы, ортогооельоэ. Для порвшрозил а соответствии с (ИЛС) сг) надо взять М!' « = 2 )I2«г)lаИ„ (И.19) сслп р Ф О (т и и в (1!Л7) но могут быть нуляыи). Етпг же р = О, то правая часть в (И,!9) делится па !'2. ° 11.0.3. Ортогональпые ряды. Взяв ортопоршцюваппуго систему (и„) и некоторую функцию 7, определеннуго в той же области, построим ряд (1) = ~ алисы аи == ((, ии). (11.20) и=г Оп называется ортогональным рядолс, плп рядом Фурье функции сг; а„называются коэффициентами Фурье.
Отличительным свойством ряда Фурье (/) является выполнение равенства: ((!), и.) = ((, и,) ( (1.21) для всех )г. Действительно, прп составлении скалярного произведения с и справа в (!!.20) в силу ортопорыпровкп (11.16) получаем пуль во всех члопах за псключей- пиен й-го, который дает а„. Если система (и„) о >падает, как говорят, свойством ио.нсоты, то ряд Фурье (!) (!!.20) сгодится ь средр ием к 1, т. е.
< х 7' — У, а„и, ! — ~~, аии„— «-0 и=с и прп !г (' П,22) !'ассыатрпваеыыо нами системы собственных фупс;цпй оператора Лапласа обладагот этим свойством. Сущность разложения Фурье поясРсгс. И.! няется следующим примером пз век- торной алгебры. Выберем в трехмерном пространстве декартову систему координат. Осям х, у и з соответствуют орты хе, ус, хс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
