Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Полосковые резонаторы, применяемые в интегральных схемах СВ'?, возбуждаются близко расположенными полосковыми лшшями; это показано в двух вариантах (1 и 2) па рпс. 11.2д. Диэггектрический резонатор может возбуждаться полем любой направляющей структуры, например, полого волповода, внутри которого он помещается (рис. 11.2е) . 11.1.2. Собственные колебания резонатора и базис полей. Ниже в п. 11.1.3 будут подробно рассматриваться вынужденные колебания полого резонатора. ?1о чтобы выработать способ представления электромагнитного поля, мы должны предварительно вернуться к обсуждению некоторых свойств собственных колебаний. Как известно, в случае свободных полей из уравнений Максвелла следуют однородные уравнения Гельмгольца относительно комнлокспых амплитуд Е., и Нп,.
В и, ! !.0.4 па примере о гласти в виде параллелепипеда иы рассмотрели характерные краевые задачи 25 в В пиппипсг:па, т и пиппиппппп з 11.1. Вынужденные колевАния. излучение в пОлОсти 387 ГЛ. 1!. ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ 888 для такого уравнения, взяв граничные условия, свойственные вектору Е (11.27), а затем вектору Н (11.36) при идеально проводящей поверхности.
Были получены решения этих задач в виде ортонормированных систем собственных функций (Е,) и (Н;). Как и следовало ожидать, прн этом были найдены воля, отвечающие собственным колебаниям полого резонатора и соответствующие собственные частоты. Эти поля, являющиеся соленоидальными, образуют подсистемы [Ео! н (Но! систем (Ез) н (Н;); последние содержат также подсистемы потенциальных векторных функций (Е; ! и (Н7(2 которые полями резонатора не являются. Однако, если исключить из (Е,) и (Н ) потенциальные функции, то эти системы уже не будут обладать свойством полноты (см.
п. 11.0.3). Будем говорить, что системы (Е,) и (Н,) образуют базис полей полого резонатора. Хотя в и. 11.0.4 рассматривался только параллелепипед, обладающий аналогичными свойствами базис полей существует во всех случаях. В тех случаях, когда задачи (11.27), (11.36) решаются методом разделения переменных (например, в цилиндрических и сферических координатах), базис полей можно легко построить. Подчеркнем, что векторные функции Е;, Н'; и соответствующие собственные значения к; дают электромагнитное поле и соответствующую собственную частоту а, некоторого 1-го типа колебаний данного резонатора: х1 = Йо = (а1/с)оер.
Но функции Ео, Н1 ,2 2 Р Р такое поле не образуют, прячем их собственные значения к, нельзя рассматривать как квадраты волновых чисел. Формально моязпо трактовать пару Е», Н» в качестве решения уравнений Максвелла при собственнов частоте а; = О. Это сразу выясняется при прямой подстановке, если учесть, что потенциальные функции Е» и Н"; — градиенты некоторых скалярных функций, тогда как гоодгай 1р = 0 (1.22) . В дальнейшем будем пользоваться ортопормяровкой вида (11.31), (11.38), согласно которой ео (е! ( Е1Еой'= ро ! р(~Н1Носзи = бы. (11.47) Но надо убедиться, что это соотношение во всех случаях соответствует уравнениям Максвелла.
ВЫВОД. Рассматривая собственные колебания номеров 1 и Й некоторого полого резонатора с идеально проводящей оболочкой зашзшем соответствующие уравнения Максвелла: о, о о о го$Е1 = — мозрорНП,, гоьЕо = оаорор Ню (11.48) гоьН1 = оазеоеЕ1 ' гооНо = — 1а„еоеоЕ„. Здесь опущены точки и индексы т, отмечаютцие комплексные амплитуды, причем для номера Й применено комплексное сопряжение. Уравнения Максвелла объединим попарно, как это указано стрелками, В первой строке левого столбца составим скалярное произведение с Но, а в другом уравнении этой пары — с Е;; аналогичные действия производятся я с другой парой уравнений. Надо выполнить такие же операции, как при выводе равенства (3.55).
Затем производится интегрирование по Р и учитывается, что Е, = 0 на Ю. В результате получаем: азрор ~ Н Ньозо — аоеое" ) Е1Е'„й1 = О, У У 1о„р,р* ~ Н1Ноози — аззое) Е1ЕооЬ = — О. У У Отсюда можно исключить первый, а затем второй интегралы. Это дает следующие равенства: (Йо — Йоо) ~ Н1Ной1 = О, (Йо — Йо) ( Е1ЕосКп = О, (11.50) справедливые при Е; = Е,', Но= Нь При их получении учтено, что в силу вещественности волновых чисел (см. п. 8. 1. 4) (а;/с) вор* = =(асс)оер. Напомним, что прп Ео= Е», Но= Н» все собственные частоты ао равны нулю. Из (11.50) следует, что при Йо~ Йо интегралы равны нулю, т.
е. системы собственных функций ортогональпы, если все сооствепкые колебания являются невырожденпыми. В случае вырождения (когда разным полям отвечают одинаковые собственные частоты) всегда можно составить такие линейные комбинации полей, которые дадут ортогональпые собственные функции. Положим теперь в (11.40) 1 = Й.
Рассматривая соленоидальные поля, с учетом вещественности собственных значений Йо = = (а;/с)2 ер получаем: ео(е! ~Е1Е*сзи= ро! р! ~Н1Н2йь (11.51) 1 У Если же Е; и Н, — потенциальные функции, то окп не связаны между собой, прп этом равенство (11.51) можно выполнить как наложенное условие. Теперь, чтооы прийти к ортонормировке (11.47), достаточно положить интегралы в (11.51) равными едини- ЦЕ ДЛЯ ВСЕХ 1.
° 11И.З. Вынужденные колебания полого резонатора. Решение вадачи. Рассматршая некоторый позьзй Резопатор, зададим внутри Ззо » 11.1. Вынужденные колеБАния. ИзлучениГ В полости 389 388 ГЛ. 11. ИЗЛУЧЕНПЕ и ДНФРАКЦИЯ его объема )г электрические и магнитные источники, характеризуемые плотностями токов 1" и 1"; допустим также существование отверстия Я, в оболочке Я, на котором задано поле Е"* (рис.
11.3). с'в е~г Формулировка задачи имеет следующий вид: ГО1Н,„= 1О»ЕОЕЕт + тт, (11.52) го» Е вЂ”.— — 1о1)д 11Н в объеме У Ет = 0 на Я вЂ” Яд, Ет» = Е1» (11.53) п=1 п=1 где а„= —,, — ~ дай + — о1„у„', (в( /е»»» ь.= — ( — „()„+ д„). тд тд 1» ( е и (11.54) Здесь обозначено: »Гп = ~ )тЕпй1 ()пв = ~ )твН»<(Р+ ~ [Ет, Нп] 1)е. (11.55) Напомним, что ю„— собственные частоты резонатора, когда соот- ветствующие собственные функции Е„, Н„соленоидальны; при потенциальных Е„, Н„они равны нулю. В Ы В ОД. Любые решения Е, Н уравнений Максвелла в (11.52), рассматриваемые в )г, удовлетворяют следующей беско- нечной системе интегральных соотношений: ) (гоС Н вЂ” 1ые,еŠ— )т') ЕдИи = О, (11.56) ) (годЕ + 1о1)д )дН + )") НдсЬ = О, й = 1, 2, ..., оо.
Действительно, поскольку заключенные в скобки функции соглас- но (11.52) равны нулю, обращаются в нуль и все эти интегралы. В сущности, они — ие что иное, как коэффициенты чдурьо а, (11.20) при 1= 0. на поверхности Ят Здесь использованы урав- Рис. П.3 пения Максвелла в форме (9.51). Решение задачи Е, Н при помощи разложений по системам (Е ) и (Н,), обсуждавшимся в и. 11 1.2 имеет вид » Е = ~а„Е„, Н = ~Ь„Н„, Поверхностный интеграл сохранился только во второй строке, так как на Я обращаются в нуль тангенциальные компоненты всех Е„.
Перепишем этот результат с учетом уравнений Максвелла (11.48), которым подчинены собственные функции: Г' » .Гтс»» о»д)тор» ) Н Ндй1 — о1е,е ) Е Едй1 = — 1 ) З Едй1, У У У о1деое* ) ЕтЕдаа — о1(до)д ~ НтНд Й1 =- У У = — 1) 1"НдЯ вЂ” 1~ ~Е", Нд] йе, й= — 1, 2, ..., Неизвестное поле вынужденных колебанкй Еп„Н., представим в виде сумм: и Е' = ~ апЕп, 11т — — Х Ь»Нй, (11.59) »=1 »=1 которые можно рассматривать как частичные суммы разложений Ет и Н по полным системам (Е;) и (Н,), Заменяя Е„п П„в (11.56) суммами Емт и Н (11.59), видим, что в силу ортогональ- ности использованных систем остаются только члены с и = й. Учитывая (11.47), получаем е» в» .
» о1 — ад — юд — Ьд = 1чд, !з( !М * е» одд —. ад — о1 — Ьд = — 1Ф. (е( ' ~И й= 1, ..., 1'»', где применены обозначения (11.53). Задача приведена, таким образом, к совокупности пьр линейных уравнений типа (11.60). Паждая такая система имеет рсп1епие (11.54). Так как результат К первым членам подынтегральных выражений применим фор- мулу (1.26) и ооразовавшиеся интегралы от дивергенций преобра- зуем в поверхностные при помощи теоремы Остроградского — Га- усса (1.33). Зти действия, которые можно назвать интегрировани- ем по частям, приводят к соотношениям: ) Н гоФЕд1)а — ) (1ыеоеЕ + )")Едй1 = О, У У ) Е годно(Р+ ) (1ооро)дНт+ )т) НдсЬ+ ~ (Е'„', Нд] <Ь=О, У У зе й=1,2, ..., ГЛ.11.
ИЗЛУЧЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ в» е!е (1 + 3() )~ (11.61) не зависит от числа членов А( в суммах (11.62), номер й в (11.60) может оыть любым и, следовательно, определены члены бесконечных рядов (11.53). Решение (11.53) — (11.55) обосновано. ° Прежде чем перейти к обсуждению найденного решения задачи о возбуждении полого резонатора, отметим ряд элементов идеализации в ее постановке. Во-первых, подчеркнем, что это была задача об излучении заданных источников, тогда как устройствам, показанным на рис. 11.2, адекватны задачи ди(рракции. Например, в случаях, когда к полому резонатору присоединяется коаксиальный кабель (рис. 11.2а, б, в), происходит дифракция Т-волны, падающей из кабеля. Волна наводит ток на штыревом или петлевом элементе и отражается от резонатора.
Распределение тока можно считать зацанным лишь в известном приближении, его необходимо найти. Представляет интерес и амплитуда отраженной волны. Во-вторых, непосредственно учтены лишь потери во внутренней среде, поскольку проницаемости рассматриваются как комплексные величины. Оболочка считалась идеально проводящей, а потери на излучение можно строго учесть, только определив внешнее (по отношению к резонатору) поле дифракции. Правда, мы увидим, что в некотором прнблия(енин все потери можно ввести в расчет и в рамках данной теории. 11.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
