Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Учтем та>мке, что ожидаемое решеггпе пе завггспт от . Таким образом, сэ >э«'«. «.О флгурнруа«т г:оордлнэ>ы в плоскости попорс» .. «с к «>лл >«>ь««>г«,««а, т. О. х, у ис>л г, с,. Учтем, ио х=->'сози и запишем следующее разложение, которое прн решении задачи будот ключевым; о= Это ле что нное, как рлд Фурье функции елр( — й;г соз и) по системе (елр(гли)); здесь фигурируют коэффициенты Фурье, которые представляготсл в виде: — М гсооаа «««а ( )с г «й 2л,> Формула (10.58) — одно нз осиовпыл соотношений теоршг цилипдрическил функций.
Длл реп>енин задачи дпфракции нужно получить предо>авлеппя полей Кг, Н' и Е, Н как суперпозпцип под>и>длпгпл решений уравнений Гельмгольца (10.55), (10.50) в цилнпдрп юсшгл коордииатал и наложить условия (10.1) па повертностп цилиндра г = Н. 10.5.2. Параллельная поляризации. Согласно (10.58) и (10.57) пмеси: Ео = в А" ~" ( — г)аз"с(й,>) е'с", г > Н (10.59> ! ! О.ОО; (учтено, что уо = го з!и и+ ио соэ и). Но ъю>вптпое поле удоопсе предстазиль ь иной форме.
Поскольку при Г, = — т»Е,, И вЂ”. — - го! Е, =- — ) —" — "'- — и, — ), (10.6!) '" «о>«>с ' о» >«у г ои о дг о о а ка кдый ч«ген рлда (10.50) есть решение уравпеглгй Ыа:снелла, применял к (10.50) почлеппо опсрацггго (10.61), получасэг с;>еду>ощее разложепие Н~ по репгеиплм уравнений Максвелла: гл" 1«о" 1 . 1 а>с«~««у а и» сл и го Рл>«ы (10.60) и ()О.О!) .л:« ~«>«а >со гоы (ОРО > Ре >«чр«г.г«лк«> илс исполь >ун>тел формулы (7.!',>>, (7,20) ).
21«в в >««о оо«.с со, т п но ос..с, го а !Ол. дп««Ракцня НА цнлнндРе 37! Гл. 1а. диФРак)лия В сВОБОднОм пгостеанстве -7О Внутреннее поле дифракции представим при помощи рядов, подобных (10.59), (10.62), но с неизвестными коэффициентами Ь„": Е~~ = х А" ~~ ( — 1)пЬ)Х ()гаг) е!и", г(Л, (10.63) !1 Н~ =.' .)' ( — 8)п Ь,! [г, — Хп (!!аг) — иа)г«Х>> ()саг) е)п" «~а' е ГСЛ ап 1)п с„! Н)а! ()г г) еспп г и Л, (10.65) и — и Е .=ЕА' )А" Н )А «>)) )) а ! 1) С1 [à — Н)„>()Г,Г) — а„)Г,Н~~)()ЗГ) )Е)п", Г пЛ.
(10.66) Условия (10.1) в данном случае принимают вид: Е' + Е,„=- Е,п, Ла„л+ Н,„„=- Н.„„г == Л. (10.67) !!ходящие сюда величины выразим при помощи раззок!еннй (10.59), (10.62), (! 0.63) — (10.66). 1'авенства (10.67) удовлетворяются по- членно, что прнводят к уравнениям: Ь,', Х„(й«Л) —, НМ> (Ь,Л) = Хп (Ь,Л), Ь„" — 'Х„()«Л) — с,)! — „' Л~а> (),Л) .= — 'Х,(>',Л), решения которых дает следующие выражения коэффициентов в раз- ложениях ('10.63) — (10.66): Хп (Ь«Л) Л)а!' (Л,Л) — — ' Х„' (Ь,Л) и<а>(Ь,Л) И', Хп(>> Л)'лп(л> Л) ) д~ 'гп( а ) и( ) с'— (10.70) и И', лп Й«Л) Л) >И (Л,Л) — И>! Хп (Л>Л) Лп" (Л)Л) Такнм Образом, решенпе задачи получено.
(10.64) Заметим, что каждый член в (10.63) есть решение Т = Я(г).Ф(и), построеппос из первой строчки (7.41) при Л = 0 и второй строчки (7.42), где сохранен один член (у = lса). Аналогичным образом выражается внешнее поле дифракции, однако теперь вместо бесселевых надо использовать функции Ханкеля, так что, берется вторая строчка (7.41) при Х = О. Только в этом случае внешнее поле дифракции будет удовлетворять условию излучения, которое мы обсудим после получения решения.
Итак, пишем: (10. 71) Н' = х«.А' ~, ( — 1)«Ь~Х«(!сэ')е!и", г(Л; (10.72) — !А-' а 1 и=- (10. 73) Н,„= х А' ~ ( — !)и схЛ!1>()йг) е!и", г» Л (10.74). где коэффициенты выражаются следующим образом: Хп(Л,Л) П)," (>;,Л) — Х,„"(Л Л) Л)а! (Л,Л) и И'и Х, (Л Л) Л );а' (Л Л) — — ' Х', (Л.,Л) Н);Н (Л Л) 1 (10.75) И' '>и (>апй) >и (Л Л) ~ И' 'гп (Л Л) '!и (>1 Л) .г, (Л,Л) и)„'>' (Л,Л) — — ' Х'„(Л«Л) Н)1! (Л,Л) 1 Эти последние формулы получены из (10.69), (10.70) прп замене проницаемостей з =' И. 10.5.4.
Обсуждение результатов. Путем непосредственной проверки ле~ко убедиться, что полученные поля рассеяния (1О.Г>5), (10.6Г>) и (10.73), (10.74) удовлетвор!пот условию нз:!учения в форме 1))н )гг ( — + 1)гГ,п = 0 — ! ер (10. 77) 2)п 10.5.3. Перпендикулярная поляризация. Задачу днфракцин в данном случае можно было бы решать прежним путем, отправляясь от разложения Н' (10.54), повторяющего (10.59), и затем Воснронзводя выкладки уже известного вида. Но В этом нет необходп>шсти, поскольку принцип двойственности позволяет воспользоваться готовой формой решения, получешшго выше В случае параллельной поляризации.
Надо л)пнь нроизвостп замену золнчнн в соответствии с правилом (3.79). Как видно из (10.53), (10.54), нрн е И, переход от параллельной поляризации к перпендикулярной происходит но схеме: Š— Н, Н вЂ” — Е . Выполняя требуемые операции, включая замону символов ~! -)-, из (10.63) — (10.66) получаем: — >А Е = айе ( — 1)п Ь>> [га — Хп (Наг) — аайаХ„()гаг)ф е!и", г ( Лп аеа и 3?2 (10. 79) 1'0" 00 ' б0 7;50'7 1 777 9= ге" ' 7утг7 Е7тл,'7у,' '7' Ееяже) 000' Рис. 10.21 А б Рис.
10.22 ГЛ. 1С. ДИФРАКЦНЯ В СВОБОДНОМ НГОСТРАНСТВК (для этого надо перейтн к асимптотпческим представлениям (7.32) ). Поскольку задача дпфракцни была двумеряой, в (10.77) в отличие от соотношений (9.9), (9.19), фигурирует Уг вместо г (при выводе (10.77) вместо сферы, как в и. 9.0.2, должяа рассматриваться ци:шпдрпческая поворхпость). Рассмотрим некоторые численные розультаты исследования дифракцпн па цилиндре. Пусть поляризация — параллельная, а цилиндр являотся идеально проводяп!им; для получения репгевия;1остато шо в (10.69), (10.70) перейти к пределу при ез — — 1 . В разу:п,таге имеем: (7„=-- О, с„=— д (/с д) (10.
78) Л115 (С;,Л)' Внутреннее поло дпфракцин Е5, П+, как и следовало охгидать, отсутствует. Прп этом па поверхности цилиндра распределен ток, плотность которого в силу (10.3) есть т! = — хс (На ! На )- Чтооы выразить внешнее поле днфракцпи (поле рассеяния) Е, 11- в дзлы1ей зоне, используем асимптотическое представление '17.32); формулы (10.65), (10.66) при этом дают: Е,„= — х„А" 1(г) у (а), Н,„= а —, У (г) () (а) (1080) 1 (радиальная компонента Н, становится исчезагоще малой), где У(г) = ~ т — „е ~ ' ', 5,"7(а) = 1'„е„"е1"а. (10,81) 1 и Па рпс 10.21 приведены результаты в вида диаграмм 71апрзвлсппости поля рассеяния цилиндра (1'.4) (величппа т' П как 1 1с,с днФ!'Акцноннля ткогня нАПБАВля10щпх стРуктуР 373 фуншцш угловой координаты а) прп относительно малых диаметрах 2Л; следует иметь в виду, что с увеличением радиуса цилиндра сходимость ряда () (а) (10.81) быстро падает; ооычно таким Бутон производятся расчоты при /11Л < 10.
Иптероспо, что прн рассматриваемых размерах вместо тени вабшодашсп максимум излучения. 3 10.6. Дпфракцнонная теория направляющих структур и резонаторов с линзамм н зеркалами (В) 10.6.1. Теории линзовой линни. Линзовая линия уже рассматривалась вышо в и. 7.6.2, по лишь с позиций геометрической оптинн. Между том, процесс передачи энергии здесь является типично дифракциоппым.
Обычно для линзовой липин (см. рнс. 7.34о) одновременно выполняются условии Л » ),, Л « Л, (10.82) где Л вЂ” радиус линзы, так что заранее пе определено соотношение величин Лз и ) Л, получаемых перемножением соответствующих частеп обоих поравепств. Между тем, пргшпмая одну пз линз за излучающую апертуру, мы видим, что согласно (10.39) величина ) Ал есть пе что нное, как раднус первой зоны Френеля з области соседней .птнзы. Вто значит, что при невыполнении требова- нипЛ>>1 7:.Д1 (ср.
('!0.41)) линза можот пе 1перехзатывзть1 в;7отат77 п1ой с1оие1ш иа1разлош1ый па псе паты;,7псргш1. Тогда передача зпергпп улет сопровождаться существенным затуханием в результате пзлучеш1я за пределы линзовой липин; будут велики, как говорят, радиайиоипые потери. 1'ассмотрям олпу из теорий линзовой лапин, трактующую процесс передачи энергии как днфракци1о Френеля в пориодпчоской структуре. Пусть па отдельную линзу падает параллельный пучок лучей (рве. !0.272777)::7,1 лпизоп оп собирается в фокусе, что о:17771157от существование сходящейся сфоричогкой во:шы. !!17К зпдпо, выиолпп- йл=й —,', '(1 ' (10.88) 2'Е = хЕ, (10.89) г=-г'+ т. Рис.
!0.33 374 ГЛ. 10. ДПФРА!СЦПЯ В СВОВОДПОМ ПРОСТРАПСТВК ется равенство (Л+1)' = )г+ г', где Л вЂ” расстояние вдоль лучи от плоскости О" до фропта О сходящейся сферической волны. Пренебрегая малой величиной Л' в сравнении с 21Л, будем иметге Это пе что иное, как фазовый сдвиг в плоскости ()' (функция радиальной координаты) по отнотпеппю к сфере (,т . Поля па с) и Ю 17' (вход и выход линзы) связаны соотношением: Ев,(х, у, г + 1) = Е~ (х, у, г) ехр ~ — 1((ре — й —." Я~ (10.84) где (рз — постоянный сдвиг фазы между плоским и сферическим фронтами.
Такое же соотношение моясио было бы записать и в отпоптеяин Н . Результат верен для параксиальпых пучков (см п. 7.6.2); продольные компоненты векторов полн препеорежпмо малы, и процесс представляет собой некоторую Т-вот!тту, Перейдем к анализу периодической линзовой структуры. 11сходя яз заданной на с,т' (рис. 10,22о) величины Е (х', у', г'), определим Е (х, у, г) на О на основании принципа Гюйгенса. Поскольку имеется в ви:ту дифракция Френеля, исходным будет соотпошетше типа (!0.28), Различие состоит в том, по в даппом случае нельзя выносить за злак интеграла величину Е (О) (она завис!ге от поперечных координат) и, разумеется, интегрирование выполняеття пе по прямоугольнику. Таким ооразом: бт -ыь Е (х,у,г)= —, ) Е (х',у',г') Х Х ехр ~ — (й ( * + ~ " ~ дх'с(у', (10.85) йб Так как структура — периодическая, свооодпые элетстромагпитные полн доляспы удовлетворять требованию (6.50): Е.,(х, у, г'+ Л) = Е„(х, у, г')е-', (10.86) При этом Е (х, у, г'+ Л) = Е,„(х, у, г+ !).
Учитывая (10.84), пишем: Е,„(х, у, г) ехр ~ — 1'((ре — й —.~!) =- КЕ„,(х, у, г'), и =- е — "0, (10.87) / е( $10.0. диФРАтс!тионнля теОРия нАБРАВляющих стРуктуР 373 и, следовательно, па основании (10.85) ( г), (в ехр ( т~к(т, — —," ) + ср01( ~ Е,„(х', у', г') Х Ц( Х ехр ~ — 1(г 31 ' ~ ссх '1у ° (10.88) в(ы получили пе что ппое, как шсгеералысое уравнение относитель- но Е . В краткой записи имеем: где Ы вЂ” интегральный оператор в (10.88), а и — неизвестный параметр. Сформулирована задача на собственные исачення (ср. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
