Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Но здесь неравенство <7 » й уже пе выполняется в столь сильной степени; поэтому отклонения от представлений геометрическоп оптики существенно сильнее. Наконец, когда размеры объекта сравнимы с дл(пплй волны (а зто типично для многих важных задач). геометрическая оптика теряет силу: волновой процесс и целом ест< И< !~О, Ш 1 1*.ЗИЛЫОВЮЩЕЕСЯ И Ее РИМКИ. ((осудим го,к и Коиис И по< гвиоапр зш?нч <?и</!дикции и:лиептро. дином:и<е. !611< и ны<ие в и. 5.1.2, бу!и'1 раггиатригнться па:и'пп< |в о!лег| тпе в зквлне. д|1Фгльцпя ФРАгп|ъФв!'А 347 346 гл. |О. ДИФРАкцпя В своводноы пгостРАнствк где Х вЂ” некоторая поверхность, построенная так, что через нее проходит весь поток рассеяния в полупространство за отверстием.
В приближении геометрической оптики параметр Тх равен площади отверстия о'. 10.1.2. Приближенные подходы; метод Гюйгеиса — Кнрхгофа. Поскольку решение элеьтродинампческих задач дифракции — за исключением простейших — было практически недоступным в течение ряда десятилетий, получили распространение различные идеализации. Заметим, что, хотя геометрическая оптика обычно применяется при больших относительных размерах обьектов (й» »й), одного этого условия в действительности еше мало. Требуется также, чтобы поверхность рассматриваемого тела была гладкой и минимальный радиус кривизны оставался значительно больше длины волны ()г |„» Х).
Тогда каждый элемент поверхности можно принимать за участок плоской границы раздела сред, для которой справедливы законы Снеллиуса, выведенные в и. 5.1.3. Можно строить картины отраженных и преломленных лучен; уравнение зйконала (5.110) описывает поверхности волновых фронтов, которые ортогональны лучам. Эта идеализация есть приближение гго|кгтричгской оптики. Ясно, что при ю — ~ (),- 0) мы имеем также: В |пl) — вв, т. е. в этом случае мы переходим ь пределу геометрической оптики в теории дифракцпи. Впрочем, необходима важная оговорка. Тело не должно иметь идеальных ребер, на которых Л |,=О.
В противном случае останутся краевые эффекты. Плоский лист, рассмотренный выше в примере 1, строго говоря, не подлежит анализу геометрической оптики. Заметим, что в теории лпфракцпп существует целое направление, называемое геометрической теорией дифрак!)ии, выработавшее методы учета влияния ребер в рамках концепции лучей. В ряде случаев размеры тел малы по сравнению с длиной волны (й«)'). Прп згпх условиях можно получить информацию о структуре полей дифракцпи, рассматривая предельный случай, соответствующий ы- 0 (й ), т. е.
переходя к квагиста!)ионарнол|у пределу. В этом пределе )гг= О, так что, в частности, однородные уравнения Гельмгольца переходят в уравнения Лапласа. Большое значение имеет так называемый метод Гюйггнса— Кирхгофа, применяемый прп решении задач дифракции на металлических (и любых непрозрачных) телах. С точки зрения геометрической оптики, такое тело просто создает область тени, как это показано на рис. 10.3 в случаях некоторого ограниченного тела (а) п экрана с отверстием (о), если падающая волна — сферическая, Построим поверхность д (штриховая линия на рпс.
10.3), по одну сторону которой остается источник падающей волны. Эта поверхность состоит из частей д' п Я" (д=д'+Я"); д" лежит в области тени. Если бы распределение поля на Я было известно, то поле во всей бескове шой области Р можно было бы найти без всяко~о упрощения, используя прппцпп Г|ойгепса (см. и. Ог4.21. Но прп пес!знаки! ||а !зли дпфракццп известно только поле падающей волны Е', Н"', Поэтому делается следуннцее допущение, которое называется п)|п .||| ктнивн Кирхгофа: ) Ег на 5 (Но на 5.
Еь =- ) 0 на д'; (10 на д'. Нг=~ (10.7) Смь л е|о олею|лен: распределение поля па поверхности Ь соответств|ст пр|ж-!велениям геол|етрпческо|! оптики, поле огсутствуег и зат|ч|енно|! и|с!в 5' и пе отличается от падающей волны в освещенной. Одною,||о пе геометрическая оптика (ведь допущение не |, Рвс.
1О.З й 10 2 Отверстие в экране Тифракция Фраунгофера 10.2.1. Постановка задачи. Применение метода Гюйгенса — Кирхгофа (А). Будем рассматривать нормальное падение плоской однородной волны Ев, Н' па идеально проводящий экран с отверстием д. Ейн.|| и;|свар|осу и совчещ|ляу|о с огй сфюри'юскув| системы коордш|ат (рис. 10.'|а), ))знающую нг;|свого иолуорос|равства (г -" 0) ра ро.
рани' а ю ооласт! 1) а то ь|о лишь геох|етрооп тп ксклн спосоо задания эквивалентных нсточнш;ов. )!а след) |ошей стадии вступает в действие весь аппарат определения полей Е', Нв и Е", Нв (см. п. 9.4.2) и согласно (9.52) находится поле Е. Н в бесконечной области Г. Надо иметь в виду, что в случае дпфракцпи на отверстии (рпс. 10.3б) Е=Е и Н= =Н, тогда как прп дпфракцип нз теле ограниченных размеров (рпс.
10.3а) поле в объеме ) включает и падающую волну: Е= Ео+ Š— Н Нв+ НВесь пзложеяный подход п есть метод Гюйгенса — Кпрхгофа, первоначально развитый в волновой оптике (в скалярной форме). В сущности он является эвристическим приемом широко использующимся в теории антенн. 343 ГЛ. 10. ДНФРАБЦПЯ В СВОБОДНОЫ ПРОСТРАНСТВЕ волну зададим прп помощи комплексных амплитуд '0, А — пн Н,„= у,— е — ™ Е,',=хАе '"', (10.8) и для определенпя поля дпфракцын Е, Н в правом полупростраыстве (2(0) применим метод Гюйгенса — Кпрхгофа.
Итак, в соответствии с (10.7) на теневой стороне экрана положнх1 Ея О, Нв = О, а на отверстии Кя, = Ео„(0) =- хоА, Н„= = Н,',(О) = уоА/Иг согласно (10.8). В этом приближении достаточно малые элементы отверстпя являются элементамп Гюйгепса, рассмотреынымп в п. 9.4.3. Поэтому нет пеобходпмостп приводить в действпе весь аппарат эквивалентных поверхностных источников, /я,'но/ л1 о г Ю Рпс. 10.4 описанный в и. 9.4.2.
Гораздо проще воспользоваться уже полученными выражениями полн излучения элемента Гюйгеыса (9.60) и охватить все элементы Гюйгеыса, выполнив соответствующее интегрирование по Я. Определяя таким путем поле дифракцпи, выразим комплексыую амплитуду напряженности электрического полн: 1Й~(0) Р Е = ~бК = ~ (1+ соядг) Х в я -ЯН-«9 Х (йо соя иг — и, в1пив)', Ыг'. (10.9) [г — г' [ Здесь использована первая строка из (9.60) и символом д отмечены угловые сферические координаты (а также орты) локальной системы координат с началом в Г); радиальная координата этой системы есть [г — г'[.
Дело в том, что формулы (9.60) записаны в системе координат с началом ыа элементе Гюйгенса, и это надо было учесть прп пнтегрпрованиы. Отпетым, что текущая точка интегрирования (/(г') в декартовых координатах есть (/(х, у', О), а фиксированная В 10.2. ОтВеРстпе В экРАне. ДНФРАБЦНЯ ФРАУнГОФВРА 340 точка ыаол1оденпя Р(г), в которой определяется Е,„это— Возьмем прямоугольное отверстие (рпс. 10.4б), а точку наблюдения Р отнесем так далеко, чтобы векторы г — г' и г можно было считать параллельыымп. Отверстие Я прн этом видно из Р под нулевым углом, т. е. представляется точкой, Говорят, что в этом случае наблюдается дифракцпя в дальней зоне; употребляется также термин дифракцил Фраунзофера, происходящий из волновой оптики.
Иытегрирование по формуле (10.9) приводит к следующему результату: 1ЬАаЬ е Е = ' ' — '(Рг сояи — и,в[пи)(1+ сояд) Х гбп ('/2ло 01 В д сов а) ей о ('/2ЬЬ 21 и 0 01п а~ (10.10) ,'240 01о0 соз а ~/за глоб 21В и Эта сферическая волна является локально плоской, так что Н = — [го,Е ). ВЫ ВОД. Поскольку в дальней зоне все точки отверстия имеют одинаковые угловые координаты б, = 6, и, = и и множитель [г — г'[ ' можно поменять на г ', под интегралом в (10.9) остается только энспоыеыцпальный множитель. Интегрирование производим по прямоугольнику — а/2 ~ х ( а/2, — Ь/2 ( у ( Ь/2.
Таким образом, имеем: Е,о = (1 + сов О) (гг, сов и — и, 21п и) Х 1ЬЕо«(0) 4лг Х ( [ е 1М« гц г/х' Ыу'. (10.12) — «12-Ь,'2 Несмотря па близость значении [г — г'[ п г, экспоненту под интегралом нельзя принять за ехр( — гй>), тан нак размеры отверстия а п Ь ые малы по сравыеппго с длпыоп волны (ср. п, 9.2.2, где условие малости выполнялось). Разлагая [г — г'[ в бпномпальыый ряд, пишем: [ à — Г' [ = [(Х вЂ” Х')2 + (у — у')' + 22)112 = = [гз — 2(хх'+ уу') + х" + у'') 2 =г — +~~ + ..., (10.13) где огорошены члены второго порядка малости, Внося это в показатель энспопеыты под интегралом (10.12), производны интегрнрова- ние; так нак «/2 ыз «!и ~ — 2) мп ~ —.
у) *': ""' гс! !!. ДНФРАкцпя В своводноз! ПРостРАнств! сн яз ( !0.12) следует результат (10.10). Надо с!н!нь заменить г.„(0! нэ .1 и иерей!о от декартовых координат к сфернческпм. Нспользун ! сч гяоп!ения: .г = т сбп О соз а и р = т гбв О в!и а (рис. ! О.й!5) . )Зыраяи ип! ! !0.11) получается прп сопостзвленкп первой п в»с!- ! со! строчек формул (0.60). Дейгтвптелы!о )!' О»сова — а»вша) =О»юла+а!,сое» о ~ оэточу ирсдставлеппе П,„(10.1!) будет по,п'и но и! второп !1! <!чкп (0.60) прп помощи точно тех же оп! раннй. Ктнорые прпв!- .тн к (1010) от первой строчки (0.60). и !0.2.2.
Анализ дифракцин Фраунгофера. Сначала уточним. Нрн каких условиях можно пользоваться формулами (10.10), (10.11!. 11 представления (10.13) не сохранены члены, квадратичные относят! лы!о х' и и . которые принпмают максимальное значевпе прп ,т' =а и у' = 6 Так, отбрасывая член (т'»+ у")/2, мы пренебр1- гасм приращенпем фазы 7с)г — г'! =)с(аз+ 62)/2г. Это допустпу!о, !'! Л !1 о'%'Л «1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
