Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Прп подобных отпосител1пых !юзмерах полого резонатор,1, т. е, прп использовании собстщш1ых колебании весьма ьысокшп ш1рядка. мы попадаем в сгушю,пу1 обтесть егоспектра: на некоторый фиксированный интервал час от приходн относительно много типов сооствепных колебании. Зто нежелательно по ряду причин; учитывая потери, можно установить, что, начиная с некоторой частоты, полый резонатор дол;кен утратить резонансные свойства (см. и. 11.!.4).
Существование эффекта сг)щения спектра ле1 ко нроверпть на примере прямо)1ольпого резон,1тора, Взяв формулу (8.54), видим, что с ростом т, и и р, соседние собсп1еппые частоты действительно сблпжшотся. Между тем сгущение спектра отсутствует в классе Т-колебаний: согласно (8.35) час1отные интервалы между соседнпмп тппамн колебанш1 везде одинаковы. Заметим, что в лучевой трактовке различным типам колебаний полого резонатора сопоставляются разные типы допустимых многократных отражений (рпс. 8.12а). Если же рас1матрпвать Т-колебания для системы двух паралтельпых идеально проводки!Нх плоскостей, то опп оппсыва1отся простейшей лучевой схемой (рпс. 8.!2О), содержащей прямой и обратной нормальные лучи.
Оптический ре.1опатор пз двух плоских параллельных зеркал ха1ыктерпзуется тсп, ыо прп,юс1зто п1о бозьшпх углах и (рпс. 11.!2е) мпшокрэтпыо отра1кепнк невозможны. Не слишком ГЛ. З. РЕЗОНАТОРЫ 316 317 УПРА)КНЕНИЯ а о 1«( ° г П = .1- а, г г'1-, (Тг) зш — а (8.69) ы = 2Š—, Л, '1пл (8.70) Рнс. 8.12. (ЭВЫ) большие потери на излучение будут только при малых сс. Поэтому спектр собственных колебаний оказывается в значительной степени «прореженным».
Если иметь в виду лучевые схемы, то возможны лишь параксиальные систеыы лучей. Паля собственных колебаний, практически, являются 7'-полями. Плоские резонаторы, однако, пе обладают удовлетворительной устойчивостью по отношению к деформациям, например, перекосам зеркал, которые приводят к резкому возрастанию потерь на излучение. Чаще применяются резонаторы с вогнутыми зеркалами, значительно более устойчивые по отношению к деформациям, но отличающиеся несколько меньшим разрежением спектра.
При лучевой трактовке типов колебаний таких резонаторов приходят к некоторым замкнутым конфигурациям, не выходящим за пределы каустики: линия, ограничивающая систему лучей парис.8.12г (ср.п.7.6.2). Имеется сходство меясду процессами в линзовой линии и резонаторе с вогнутыми зеркалами. В обоих случаях существуют типы волн (бегущих и, соответственно, стоячих), которые имеют разные поперечные распределения; вне некоторой осевой зоны поля быстро убывают. И обсуждению подобных структур мы вернемся в и.
10.6.2. 5 З.З. ДРУГИЕ ЗЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ 1. Покаэатгч что аапас внергии полога резонатора без потерь И' равен максимальной электрической энергии И'» „ илв максимальной магнитной звертив И щаг. 2. Собственная частота резонатора 1 = 10 ГГц, а добротность О = 10'. Эа какое время запас энергии собственных колебаний уменьшится в г раа? 3. Кроме запаса энергии резонатора И' введем в рассмотрение величину огрг, выражающую изменение аапаса энергии за период Г' = 2я/ы'. Как выразить добротность череа И' и АИГ»7 4.
Для прямоугольного резонатора с размерами а = 1 см, Ь = 2 см и б = 3 см (внутренняя среда — вакуум) вычислить первые пять собственных частот и идентифицировать соответствующие типы колебанвй. б. Выписать выражения компонент поля основного типа для резонатора из предыдущего примера. 6. Построить наложение вырожденных типов колебаний Им| и Нгп для прямоугольного реаонатора при а = Ь, взяв амплитуды полей равными, а фаэы— отличающимися на гь 90. Показать, что при этом Нгеюр р г яг П = + ( — х, зш Хг соа Ху+ у, соз Хг зш Ху) з1п ~ (8.68) и, следовательно, существует циклический поток энергии, направленный артогонально оси г.
Поглощение не учитывается. 7. Вывести формулы (8.56) и (836) двумя способами: а) составляя наложение прямой и обратной волн прямоугольвого волнозода и б) ва основе скалярных решений, полученных в п. 8.0.1. 8. Показать, что в случае собственных колебаний цилиндрического резонатора с вращающейся структурой (нри азимутальной зависимости ехр()тгкп)) существует циклический поток ввергни, так что, в частности, для типа колебаний Яш 9. Покаэатгч что для резонатора ва рис. 8.106 формула (8.67) принимает следующий вид: 10. Вычислять добротность Рк цилиндрического реаонатора для типа колебаний Ягп при следующих данных: материал — медь; В = 2,6 см; внутренняя среда — воздух.
Гл. 9. нзлученнк В своводноы НРостРАнстВВ 9 9.!. излучение злдАнных псточш!кОВ зго 321 (9.6), (9,8) конец () радиус-вектора г' пробегает область, внутри которой 1Ф 0 (рис. 9.1а), т. е., иными словами, локализованы источники. При вычисления поверхностного интеграла в (9.5) (г находится на поверхности 8 (рис. 9.1б). Будем относить Я в бесконечность, Рпс. 9.1 считая эту поверхность сферой радиуса г . Тогда т = г, а посколь- ку при г'- чо исчезает различие между !г — г'~ и г', то подынте- гральное выражение в пределе принимает внд: Поскольку поверхность сферы пропорциональна (г')9, то, как видно, поверхностный интеграл в (9.5) ири отнесении границы Я в бесконечность исчезнет, если Нш г'е — ыг' т + (йит(г) + т = О.
д и (г') . , и (г')) гг-гт дг' г Отбрасывая несущественный общий множитель и бесконечно малый член в скобках, а также изменяя обозначение аргумента (г — г), получаем следующее условие: ! ди (г) 1пиг ~ + !йи (г) = О, (9.9) и (г) -ь ' е-!"". и(о, т) (0.10) которому должны удовлетворять решения й (г), определяемые по формуле (9.6). Это так называемое условие излучения Зоммерфельда. Легко убедиться, что условию излучения (9.9) удовлетворяют только решения, имеющие при г- вид расходящихся сферических волн (см.
п, 4.0.4): Это значит, что из рассмотрения псключаются все те решения, которые нельзя пптерпретпров!1ть как волны, создаваемые задаппымп источниками. 11тооы записать условие, оиределя1ощее класс решений векторного уравнения Гельмгольца (9.7), представляемых формулой (9,8), надо лишь заиеппть в (9.9) п,„на и . Это векторное условие излучения. Нак видно, решения (0.0), (0.8) ио своему характеру, действптельно, выражают расходящиеся волны, т. е.
волповои процесс, воэбуждаемьш в области псточппка (где )Ф 0), который, запаздывая, распространяется в пространстве. Такой характер имеет уже функция Грина (9.3). Надо иметь в впду, что прп замене ехр( — йг) на ехр(йг) формула (9.3) определяет другую функцию 1'рш1а (решеипе уравнения (0.2)), которая сама имеет смысл сходящейся волны и порождает такого зке рода решения уравнения (9.1). Этот класс решений лишен физическоп содержательпостп. й 9.1.
Нзлученпе заданных источников (А) 9.1.1. Постановка и обстжденпе задачи. Понятие излучения так илп ппаче уже затрагивалось в этой книге. Так в п. 3.1.1 говорилось оо электромаш!Нтных полях, существующих в результате действия сторонних спл, т. е. в результате преобразования некоторого впда энергип в электромагнитную.
В свою очередь, сторонние силы в электродинампке удобно формализовать ирп помощп зада1шя сторокппх токов. 1зак уже отме шлось в и. 3.1.1. в качестве стороннего мон,ег рассматрп!шться лаиюй заданный ток. Таков, папрпмер, ток антенны, поддср;кпваемый действием генератора. Ооласть существования стороннего тока Выступает как исто ншк из.!учения. Иоле излучения находится как ре!Некие уравнений й|аксвелла плп вытекающих пз ш1х уравнений второго порядка (си. Нп.
3.1.2, 3.1.3, 3.2.2) ирп заданной плотности стороннего тока 1". Напомним, что до спх пор, решая раз;пишые задачп электродинамики в гл. 4 — 8, мы ползгалп 1" =0 п определяли некоторые свооодпые электромагнитные поля, существование которых ке связано с источппкамп. Прп решении задачп об пзлученпп заданного распределения тока в однородной пзотропной среде иредпочтем два иодхода. В одном из них исходным является неоднородное уравнение Гельмгольца относительно вектора Н„к Г9Н + йзН = — го( )~,т (9.11) а в другом — оп1осителько векторного потенциала: 1''Ат + 19Ат = — 1!9и)т.
(9.12) Оба урагшепня были сформулированы в и. 3.2.2 (йз =(9!!с)991!). Еслп найдено решение Н,. ураинепия (0.11), то Е„определяется 21 В В, циччлччгпа, т. П. !По глтсгчи Г го1' З'~ (г'( Ц (г) ~ '" г-ю(т-т'( (/(. 4л,) ~( — г') (!1. 16) Вс1( ( )ст (г', 1 — 1 г — г' )/и) ~, (9.14) (9.15) 322 ГЛ. Э. ПЗЛУЧЕНПВ В СВОБОДНОМ ПРОСТРЛНСТВВ пз первого уравнения Максвелла. Если же и результате решения уравнения (9.12) определен вектор А„, то согласно (3.43) находится Н, а затем Е„.
Используем тот факт, что записанные неоднородные уравнения Гельмгольца (9.11) и (9.12) при ю — 0 переходят в уравнения Пуассона. Это значит, что мыслимы столь иизкне частоты, при которых Н„и А можно определять как решения уравнений Пуассона, полученных дтя постоянного тока; в частности, А находится на основании (2.93). Прежде чем воспользоваться этой формулой, перейдем в (9.12) от комплексных амплитуд к полным комплексным представлениям А и 1'* путем умножения всех членов на ехр((о(1). В силу (2.94) А(„1)= с 3,,)и.
1(с1( Г )ст(г', с) 4л,) )г — г'( Этот результат относится н теории квазистацпонарных полей, обсуждавшихся выше в и. 2.5.1. Как легко сообразить, недостаток формулы (9.13) заключается в том, что не учитывается время, необходимое для передачи электромагнитного взаимодействия от элементов тока, локализованных в точках ()(г'), в точку наблюдення Р(г) (см. рпс. 2.1). Попробуем устранить дефект, полагая, что для определения Л(г, 1) надо заменить 1" (г', 1) под интегралом на )(г, 1 — т), где т= (г — г'(/и есть время, треоуемое для преодоления пути ()Р= (г — г') со скоростью и = с/Уер.
Тогда получается: а так как )ст (г 1 ~ г г ~/и) )с (г') е(с((1 (т т ((и) )ст (г') еца( — Мт — г'0 где /с = ю/и, п А(г, 1) = А (г) е'"', то из (9.14) следует )ст (г ) с-щт-т'( Интересно, что эвристический подход привел в данном случае к строгому решению уравнения (9.12), которое соответствует формуле ((э'.8). Действительио, (0.8) переходит в (0.15), если в соответствии с (9.12) иореобозпачвть в (9.7) и,„как А,„п 1,„кан — 1(с(()",,. С!' (.
ПЭЛУЧЕНИЕ ЗЬДЗННЫХ ПСТОЧНПКО1' 9.1.2. Анализ р(шеннй. Итак, мы получплп представление векторного потю(ииа'(а ИОли излу*111и(я заданных исто'1ииков в О:(ио. ро:ии(й среде г ир(шипаемостямп е п р. '1тобы полу пгп, такое (ке представление рюишшя урави(иии (', 11), снова юи ю(льзуемся формулой (9.8), полоз иг и, = Пп и — го1 1'„,.;(то дает (ш(рих у го1 (ыиачает, что дпфференцироваипе ироизио;июсз ио ш(риховаиным координатам). Формула (9.16), одиако, неудобна из-,(а необходи(и(сти дифференцировать функцп(о 1„,.
Прп пом(ици ряха преобразований, похожих на вывод обобщенного закона Вио— ('ивара в п. ".3 1. полученный результат приводится к виду Нп.(г) = 4— ~ ( + 1 1 1т (г')1 гсс1 г †' "-' Й', (1(. 1() В 1т1 В 0 Д. Позынтегралш(ое выражение в (!1.16) преобразуем прп помощи (1.26). положив Г = — ),'", и (( = е — 1(т — т'((1 г — г'); как видно, под интегралом мы имеем выраже(ше ()го~ Е. Поэтому ( (" (ст (гй с Нт (г( =- —, 1 гоб "', (/г'— ,,— й(г — т'( — ) (дга(Г,, )и„,'(г')1 ()г'(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
