Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 55
Текст из файла (страница 55)
$7.1, 7.2). Тогда (8.34) выражает в явной форме частоты, при которых поле может существовать в рассматриваемом объеме. Они называются собственными частотами. Объем выступает, таким образом, как резонатор. Для каждого типа волны в направляющей структуре, которому отвечает определенное т, существует бесконечное множество собственных частот, получаемых при переборе р. Собственные частоты, соответствующие всем типам волн при всех значениях р, образуют последовательность 0<о~ < ог-=...< о <...< Заметим, что в случае Т-волн т=О, так что согласно (8.34) собственные частоты зависят только от продольного размера Ь и являются кратными низшей частоты: с Рк о== —, р~О.
)'ей Значение р =0 в данном случае невозможно. Это означало бы полное отсутствие электрического поля: для Т-волн оно чисто поперечное. Что касается случая р = О, то поскольку при этом Г = О, соответствующая собственная частота резонатора, определяемая по формуле (8.34) равна критической (круговой) частоте о„, для данной волны направляющей структуры (ср. /„, = о„с/2н (6.22) ). Так как при р = 0 поперечное электрическое поле отсутствует, то должно существовать продольное, а следовательно, речь может идти только о Е-волнах.
Как известно, при критической частоте поле не изменяется по г и Л- . Согласно (8.32) длина резонатора при этом оказывается неопределенной: А=О . Две поперечные плоскости могут располагаться на любом расстоянии друг от друга (рис. 8.3е) . Заметим, что Н-волны при критической частоте имеют подобное же продольное магнитное поле (и поперечное электрическое), так что граничные условия на поперечных идеально проводящих перегородках пе могут быть удовлетворены.
8 1.2. Свойства полей резонаторов (Л). Мы рассмотрели только определенный класс резонаторов, каждый из которых можно трактовать как энергетически изолированный участок направляющей структуры, Их поля обладают свойствами стоячей волны. В простейшем случае (см. п. 4.2.2) векторы Е и Н стоячей волны при гтсутствии потерь сдвинуты по фазе пи 90', причем электрическое я магнитное поля синфазны па участке между соседними узлами. 9 8.!. ОБШАЯ ТЕОРПЯ ')ЛЕКТРОЭ!АГНПТНЫХ РЕЗОНАТОРОВ 299 ГЛ.
8. РЕЗОНАТОРЫ 298 Этим свойством отличаются многие поля резонаторов. Из (8.30) видно, что при вещественных Г и д'ь поле Е, сппфазно в области постоянного знака синуса. Пусть Е„.- Е„,еьче, где фаза чь яе зависит от координат. Определяя комплексную амплитуду Н. Ннггм: Й~ =, 1О! Е,л = Нт~с — ь(з(ь где Н го! Ет и)ь — величина вещественная.
Это значит, что фаза ((„вектора Н отличается от (ув на л!2. Прп таком фазовом соотношении наступают моменты, когда существует только электрическое поле или только магнитное. Поток вектора Пойятинга, проходящий через любое сечение резонатора, в среднем равен нулю. Двпя(ение энерпги имеет колебательяый характер (рис.
8.2п). Мо)кно убедиться, что в ряде случаев возникают и циклические движения энергии (рис. 8.26). Если, например, рассматривать резонатор, показанный па рнс. 8.3б, прп круговой полярнзации (см. и. 7.2.2), то в этом случае существует азимутальный 'ь -ь цпклпческнй поток энергии ~ ьт (рпс. 8.4а); через заьптрихо- П ванное сечение проходит по- ток вектора Пойнтппга. т в среднем пе уничтожаюРис. 8.4 шяйся. Между основаниями цилиндра е = 0 и з = Х устанавливается уже рассматривавшаяся стоячая волна, однако функция дь в (8.30) нри этом не является вещественнои величиной п сделанный ранее вывод о фазовом соотношении Е и Н оназывается неприменимым. 118к отмечалось в п.
7.2.2, волнь( круговой поляризации возможны не только в круглом волвоводе. !о же можно сказать п о циклических потоках эн(ргии в резонаторах; мы мотли бы рассматривать, в частности, прямоугольный резонатор. Существуют резонаторы, образованные замкнутой направляющей структурой того или иного вида. На рис. 8.4б показан такой резонатор, который можно рассматривать как изогнутый в кольцо прямоугольный волновод. Если в волноводе распространяется переносящая эяерги!о волна, то такя(е образуется циклический поток вектора !(ойптинга, Это возможно, если вдоль замкнутого волповода укладывается целое число волн (чем болыпе радиус кольца, тем с болы(ым основанием можно определять длину волны, как в и.
7.1). Впрочем, этот кольцевой резонатор можно трактовать как Отсе и'ннын двумя н,(уэллс:и Омыв ялосностяьн( отрезок коакспальной ляпин, и это представление является точным. Кроме резонаторов, примеры которых представлены на рис.8.3, нередко применяются и такие, которые уже нельзя рассматривать, как это делалось выше в п. 8.1.1. Резонатором, например, может быть люоая металлическая полость, какое-либо диэлектрическое тело, система зеркал, планарная структура и пр. В общем случае в теории электромагнитных резонаторов ищутся решения уравнений )(аксвелла или производных уравнений второго порядка при требуемых граничных условпях.
В частности, для произвольного полого резонатора с однородной изотропной средой формулируется одна из следующих двух задач: 98Е + й'Е = 0 в )т, Л,=О на Я (8. 37) или (8.37й) УЗН„,+й'Н„= 0 в 1т, (РАН ),=0 на Я ( )т — объем резонатора, Я вЂ” граничная поверхность). Соленоидальные решения этих задач (й!ч Е = О, й!т Н„= 0) дают систему полей, называемых собствеьньыки колебаььиями.
Каждое такое реше- ~.(ьь) ' (Б) ние Е илн Й~ (и = 1, 2, ...) реализуется при некотором собстве>ьноьз значении й„параметра ььт = е)!811)сз. Соответствующие значения е) = е)„— это собстоенньье круговые частоты резонатора, а й„— соостоеььььььс во.и(овые числа. Трехмерные векторные задачп (8,37) аналогичны двумерным скалярным задачам (6.8), (6.9).
Если полый резонатор относится к уже рассматривавшемуся классу (см. рпс, 8.3), то векторы Е и Н в (8.37) удобно спроецировать на ось з. Это приводит к скалярным задачам относительно тч „н ьь,„Легко уоедпться, что первая смешанная задача в пп. 8.0.1 — 8.0.2 — это задача относительно й =Ю „а вторая— относительно и =!т,.
Полное поле можно определить через е, (Е-поля) или через Н . (1Х-поля), подобно тому как это делалось в п. 6.1.1 для направляющих структур. Аналогпчво первая и вторая задачи из п. 8.0.3 интерпретируются как задачи относительно й = ьт, и, соответственно й = Л шарового резонатора. Они также приводят к двум классам собственных колеоаний, а полное поле восстанавливается по радиальной компоненте й, или ьт,.
8Л.З, Учет потерь. Добротность резонаторов (А). Потери энергии в реальных резонаторах обусловлены поглощением в диэлектрических и металлических элементах, а также н ряде случаев излучением во впеп!нее пространство (например, польш резопатор излучает прп наличии отверстия). ГЛ. 8. РЕЗОНАТОРЫ 8 8 Б ОБЩАЯ ткОР11Я электРОЕАгнитных РкзонАтОРОБ 3О1 Пусть И' — запас энергии резонатора при собственных колебаниях некоторого типа с частотой в, а Р, — мощность потерь.
Введем величину () = ЫИ)~Р, (8.38) которая, как мы убедимся, для каждого типа колебаний является константой и называется добротностью резонатора. Поскольку рассматривается полная энергия некоторого свободного электромагнитного поля, И' и Р, связаны соотношением (1.102); объединяя его с (8.38), получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: — „, + — И'=О. (8.39) Его решение И'(1) =- И~ (0) ехр ~ — — 1) Г (8.40) показывает, что запас энергии собственных колебаний зкспоненциально падает. Поскольку энергия квадратичпо связана с полем, то оно ташке экспояенциальпо затухает, причем амплитуды компонент Е п Н изменяются по закону ехр~ — 2 — ) 1).
Это значит, что поле испытывает затухающие колебания (п. 3.2.3), причем в методе комплексных амплитуд комплексной величиной оказывается собственная частота (3.49): в=в +ж) (8.41) где в данном случае в' = в, в и = в(2(). (8.42)' Комплексность собственных частот резонаторов при наличии потерь может быть установлена и непосредственно из полученных ранее формул. Пусть, например, рассматривается полый резонатор с идеально проводящей оболочкой, заполненный поглощающей средой.
Прп этом согласно (8.33) йл) 0 — величина вещественная, по в силу комплексности е и 1л собственная частота, определяемая по формуле (8.34), комплексна: в = )/ ул + Я ехр( —,) (8.43) Кепи~ (использованы обозначения (3.37) ). 1!и комплексности собственной частоты вытекает экспонепциальнын никон убывания запаса энергии, а следовательно, и постоянство параметра 4), определяемого по формуле (8.38): надо лишь привлечь (1.102).
В Гилльшллпстне случаен рассматриваются слабо затухающие ко. лебзнии д«и которых в << ил', Тзк кзтл при этом локально процесс близок к нершднчнскому, шлд Ри в (8,38) можно полллгматл сретвняи мищиовп, Р„(слг. 4 3.3). При вычислении добротности резонаторов различные факторы, определяющие потери, можно учитывать отдельно. Пусть Ри =- = Р'„+ Р + Р„где имеются в виду потери н диэлектрических элементах, в металлических элементах и на излучение, соответственно. Введем парциальные добротности вй' вид ви' Юд= — (,') = —.
(Ь= —, (8.44) д —,д1 и — —,„1 и и и каждая из которых вычисляется с учетом одного из этих факторов. Из (8.38 следует, что ) — =- — + — + —, 1 1 1 1 (8.45) О О„Ем О,' т. е. обратные добротности складываются. Правда, этот вывод нель- зя считать строгим (ср. аналогичный случай в п. 6.4.1): действие разных факторов приводит к некоторому перераспределению поля, а следовательно, величина И~ не будет одной и той же при вычис- лении разных парциальпых добротностей и полной добротности. На практике запас энергии Иг обычно вычисляют, исходя из распре- делелшя поля в резонаторе без потерь. В этом приближении и при- меняются формулы (8.44), (8.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
