Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Обратимся теперь к п, 3.3.3, в котором, в частности, рассмат- ривался энергетически изолированный объем с поглощающей сре- дой и было установлено, что свободное электромагнитное поле внутри него должно иметь характер затухающих гармонических колебаний. Воспользуемся выведенной тим формулой (3.67). Выра- жая в и в Брп помощи (8.42), находим: (8.46) 2 лд [(Ь Рад)~2) Р„= — Аи )Е Е*й г Отсюда С>, = 1/18 Л, (8.48 Ваменн велпчппьл Р, средней мощностью Р, закономерна в обычных усзижнил. когда ли" и и1' ((л:2 1) тогпь 1пй = Л н форллбль Получено выражение добротности резонатора, все потери которого обусловлены поглощением в некоторой однородной пзотроппой среде (длюлектрпке); в большинстве случаев магнитные потерп отсутСтвудхн Лм = О.
Прп вычислении парцпальной добротности Д = Д, можно вместо формулы (8.46) исходить пз соответствующего выражения в (8,44), В знаменателе положим; И'д-— — И'в,„= 2Й" (очевидно, что также м м\ И'= И',„= И' ), а Ри найдем, как Р„; магнитные потери будем считать отсутствующими. Таким образом, согласно (3.51), (1.110) и (3.59) И = — "~Е Е*'лЬ 2 (8.471 ЗОЗ 8 8 з пол! зе Резонззогы ! 302 ГЛ.
8. РЕЗОНАТОРЫ (8.46), (8.48) дают одпп и тот я е результат. Заметим, что, строго говоря, применение выражения (3.51) справедливо только для безынерционных сред (потерп не связаны с процессами поляризация: Сяй = о(юеае). Для определения парцпальной добротности О„будем вычислять "в запас энергия И' через магнитную энергию, как ))'юат .= 21Е, а потери — пз теории сильного поверхностного эффекта, а пмеппо прп помощи формулы (5.98): Р," = — — ~Н Н !(8. (8.49) 2ой Внося это в (8.42), получаем (8.50) а т ~п т т где !г„— относительная магнитная проницаемость металла (А~ = = У2/юСгад,о).
Ооычно д„= д = 1. Отношение интегралов в (8.50) прп сохранении формы резонатора и типа колебашш пропорционально лпнеиноиу размеру и, следовательно, обратно пропорционально собственной частоте ю. Учитывая частотную зависимость йа, видим, что дооротпость () изменяется, как 1(Уса. Вычисление парциальпой добротности (7, не сводится к применению некоторой общей формулы. Резонатор нужно рассматривать одновременно со связанной через отверстие электродппамической структурой. 8.1.4. О собственных значениях идеальных полых резонаторов (Б). Для полых резонаторов с идеально проводящей оболочкой справедливы соотношения: ( )гаСЕ (ааа ~(гаСИ (ааа йа —. ' (8.51) ! Е„,Еа,а!а ( НглН~аа Р У Отсюда следует, что '(8.52) )га > 0 независимо от того, является ли внутренняя однородная изотроппая среда поглощающей, Выше это было установлено в частном случае, когда резонатор является отрезком полого волновода.
Что касаетсн соотношения (8.51), то оно не аависит от формы резонатора. Заметим, что два равенства, содержащиеся в (8.51), аналогичны интегральному соотпо!пению (6.10), выражззощему сооствепные эпачеппя двумерных задач (6.8), (6.9). В Ы В О Д. Чтобы получить выражение йа через электрическое пол!-, ооратпися к формулировке первой краевой задачи (8.37), Умно,кпв оба члена уравнения Гельмгольца ка Е„, и применяя тожл! с!во (1.29), получии: Е„(гоСгоСŠ— игадй(РЕ ) = 18Е„Е Второй член в круглых скобках в дальнейшем отбрасывается, так как поле соленопдальио (йгх Е =0). Учитывая, что на основании (1.26) Е гоС гоС Е = — гоС Е гоС Е вЂ” , 'Йч 1ТОС Ем, Е проинтегрируеи все члены по объему резонатора )г и применим теорему Остроградского — Гаусса (1.33). Это дает: ) гоСЕ гоСЕ аЬ-,'!~, [гоСЕ . Е„,~ба = (га ~ Е„Е г(п, (8.53) Я !' где з' — идеально проводящая оболочка объема У.
Поскольку М, =0 па Я, поверхностный пнтеграп исчезает и пз (8.53) следует первое пз равенств (8.51). Чтобы получить второе, заиенпм в (8.53) Е,„па Н„,. Поверхностный интеграл и здесь исчезает, так как (го! Н,.), =0 па Я. ° й 8.2. Полые резонаторы (й) 8.2.1.
Прямохтольныз! резонатор. 1'ассиотрпи подрооно полый резонатор, показанный вьппе на рпс. 8.3а. В приближении идеальной проводимости оболочки собственные частоты определяются по формуле (8.34). в кагору!о надо подставить выражение поперечных во.пювых чисел 2 =2„„, (7.5!), (7.62).
В результате имеем: (8.54) (символ ы „„отражаот тот факт, что собственная частота определяется тремя индексами т, п и р). Заметим, что выражение собственных волю>вых чпсел (8.33) в данном случае переходит в (8.4). Собственные колебания будем классяфицировать, опираясь на представление о Е- и Н-волнах волповода. Поскольку каждой из собственных волн Е „или )7„„соответствует бесконечный ряд собственных колебаний, различающихся числами р, будем говорить о тигп!и гооатаеппых кола<и!пай Е.,„„п И „,. Выпишем выражения соответствующих полей: 303 8 8 2 ПОЛЫЕ РвзонАторы 30$ Гл. 8.
РезонАторы Е-колебания (8.55) гпл тлх . илу' рпа — у — 'соз — ''з)гч — ~ соз —, ааЬ!Е' Еио тл . ~ппх. илу~ . пла + уо — з)п — соз — ' яш а а ь Ь (8.56) / м л пах Рвс. 8.3 т«р тир Г . тли . илу рла Е, = Ео ~г 81П ' зш — 'соз —" ь ь 1 Рл у тл тли . ллу пл . тлх плу~ . Рлач — — — ~х — ' соз — згп — '' + х" — з)п — ' соз — ') 8|Π— ' т,~'о а аЬоЬ" ау)Ь)' ХГ«и ' т«р .
тир "тпр о ил . льхх плу 11 = ЬЕо (х — '81п — ' соз — ''— Ь и Ь Хти тир где Е, — неопределенные коэффициенты. Индексы т, и, р могут принимать следующие значения: т, и = 1, 2, ... и р = О, 1, 2, ... (см. Пп. 7ЛЛ, ЗЛЛ). Н-колебания тпр хитирпоГ Г х пл тли . плу В =- — ЬНо, ( — "о — ' соз — з!и =+ аи Ь а Ь ~Г«и тир Г тлх плу . рла Н =- Но г соз — '' соз — 8ГП вЂ”вЂ” а Ь Ь рл ' тл . лала плу пл тлх .
плу~ рлаэ — — — ' ) х — ' лГП вЂ” ' соз — '' + у — соз — '81п — '' ) соз —" б оаауоуа" Ь)Г и ,) В отличие от Е-кояеоаний в денном случае т, п=(0), 1, 2, и р = 1, 2, ...; нуль в скобках означает, что т и п не эшгут вместе быть равны нулю. Вывод формул (8.55), (8.56) несложен. Надо либо сложить две распрострапя1ощпеся навстречу волны, взяв выражения их пален пэ п.
7.1.1, лпбо исходить пз продольных компонент Е„, п ХХ.„, которые, как отмечалось в и. 8.1.1, даются формуламп (8.7), (8.0). В этом случае поперечные компоненты Е, и Н, можно получить нэ уравненнй Максвелла, которые приводят к формулам, почти не отличающимся от (6.16): вместо — ЬГ в (6.16) надо записать операцшо дГдг. Прежде чем анализировать собственные колебания прямоугольного резонатора, отметим, что записанное представление полей не явяяется единственно возможным. Мо кно тремя различными способами выбирать продольную ось г, т. е.
получать резонатор, мысленно перегораживая три разных ортогонально ориентированных прнмоугольных волновода, как показано на рис. 8.5а. Мы получим гри различных классификации собственных колебаний. Возвращаясь к выбору индексов т, и, р в формулах (8.55) и (8.56), видим, что любая комоипапия трех целых чисел, одно из которых может быть заменено нулем, определяет один или несколько типов колебаний резонатора. Разные собственные колебания (в частности, Е „, и Н„„р), имеющие одинаковые собственные частоты, называются вырожденными (в и. 7.1.2 было введено представление о выроукденных волнах). Очевидно, что различные линейные комбинации полей такого рода также представляют собой собственные колебания.
Какова низшая собственная частота резонатора без потерь? Чтобы найти ее значение при заданных размерах а, б и Е, надо минимизировать выражение еч „р (8.54) соответствучощим выбором чисел т, и и р. Одно из них, которое отвечает наименьшему разчеру, берется разным пулю„а каждое из оставшихся — единице. Г.оответстзующий тип колебаний резонатора называется основным. 30 Э В Пи«ольокиа, т. П Пи«ольокая ЗОЕ О 8.2.
ПОЛЫК РКЗОНАТОРЪ| ГЛ. 8. РЕЗОНАТОРЫ Струьтура его поля показана на рпс. 8.5б прп трех вариантах выбора системы координат. Одна п та же структура получает разные обозначения: Епо, Н1оп Ноп. Нулевой индекс соответствует той оси ,(г, д плп г), вдоль которой поле однородно. Заметим, что в случае, когда нп один из индексов не равен нулю, тип колебаний Е и Н при повороте оси г на 90' воспринимается. как гибридный ЕН (НЕ), т.
е. как наложение вырожденных колебаний типов Е и Н. Рассмотрим несколько картин силовых линий собственных колебаний прямоугольного резонатора. На рис. 8.6 показаны типы колебаний Н18~ (а) и Пзоо (б); на рис. 8.7 — тппы Еп~ (а) и Еоы (б); на рпс. 8.8 — типы Нп1 (а) и Ного (б). Этп изображения полезно сравннть с соответствующими мгновенными спммкалпг волн в прямоугольном волноводе: рис.
7.9а,б; рис. 7.5а,б; рис. 7.7а,б, Таким образом, сопоставляются стоячие и бегущие волны. Различие картин силовых линий состоит в том, что системы злектрпческих и магнптных линий в одном случае сдвинуты на Л/4 по отношению к другому. При ахом в волноводе вектор Пойнтинга вдоль оси г не меняет знака. В резонаторе полные поля Е и Н сдвинуты по фазе на 90', а среднее значение вектора Пойнтинга равно нулю. В заключение приведем формулу, выражающую добротность ()а для типа колебаний Нж. о 0 х 17=) /2) 1 аа1 (12 ао) И 1) Пало а1. (1 --а ) 78(78 —,а ) )ла Я (8.57) Имеющий размерность длины параметр .0 в случае кубинского резонатора (а = ь е) равен а(3, а для плоского розопатора (Ь«а, Ь«Е) .0 Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
