Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(9.18) Ваяв любую замкнуту(о поверхность Я, охватывающую все источники, преобразуем первый шпеграл прп помощи формулы (1.37): — — г -и-"( а Поверхностный интеграл явно равен нулю, так как Я проходит там, где нет тока. Следовательно, равен нулю рассматрпваемьш объемный интеграл, а в (9.18) остается только второй член. Используя форт(улы (2.2) и (1.28), произведем следующее пре- образование -(Мт-"( -щ -т ( — Мт -ти~ г — т( (~ г(с )г — г! где гст — единичный вси(ор, ивсдеииый и п. 2.0.1. В резу,и,тате пз (9.18) с((е (уст (!В17), ° 21с 5 9 Х ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРПЧЕСКНП НЗЛУЧАТЕЛЬ 325 ГЛ.
9, ПЗЛУЧСШ!Н В СВОВОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 324 Теперь мы можем произвести некоторый анализ поля излучения на основании представления Н; сначала отметим, что для пользования формулой (0.17) нет необходимости треоовать, чтобы функции 1 была дпфференцпрусмой. Подынтсгральное выражение в (0.17) представляет собой сумму двух членов; второй пз нпх исчезает прп ю — О, а выражение в целом прп этом переходит в закон Био — Санара (2.70). Отношение подынтегральных слагаемых равно й~г — г ~; пусть среда янляется непоглощающей, так что й= 2пгй — величина вещественная; как видно, в зависимости от соотношения величин ~г — г'~ и А может преобладать первый пли второй член. Во всех случаях при удалении точки наблюдения Р(г) расстояние ~г — г'( неограниченно возрастает.
Когда отношение ~ г — г 11)г достаточно велико, первым членом подынтегрального выражения можно пренебречь. Если при этом величина )г — г'~ также достаточно велика по сравнению с размерами области источников, то компоненты вектора Н (г) все более приобретают пространственное распределение типа сферической волны (9 10). Это так называемое дальпее по.ге.
Очевидно, что магнитное поле в целом удовлетворяет условию излучения ~ан (г) 11шг~ -1- ЙН (г) = 0 г (0.19) (ср. (9.9)). Если область источников мала по сранненшо с длиной волны, то можно указать такую область расстояний ~г- г ~ << Х, когда преобладает первый член подынтегрального выражения, так что при оценке пространственного распределения поля вторым членом »южно преиеорсчь. Это блиаюгее поле фактически подчинено закону Бпо — Савара. Вернемся, паконсц, к условию пзлученпя. С одной сто фирмой мы уже встретплпсь в и. 5.1.2 прп обсуждении задачи о паченпи волны иа границу раздела сред; было отмечено, что условие излучения есть отражение принципа причинности н электролинамике.
Пусть условие излучения Зоммерфельда (9.9) налохгено на векторы Е п Н (т. е. записано также равенство (9.19) с заменой Н на Е ). Можно показать, что в этом случае решение внешней задачи электродинамики является единственным без дополнительных требований, рассматривавшихся вьпне н п. 3.4.1.
В 9.2. Элементарный электрический излучатель, диполь Герца (А) 9.2.1. Элемент переменного тока и колеблющийся диполь. Пользуягь полученными вьиис формуламн, можно пахи;игп поли излучения, сиздисасмыс риэли'шыми распрсдслсшгями токи. Естественно начать с простейших пз иих. Обычно рассматривается м,глый Л1 ' = — га>Лд'„,'. (9.21) Перемещая элемент Лз по оси з, видим, что как на отрезке 1, так и вне его Л1" = О. Пзмепснпс тока от нуля до максимального значения п от макснмальпого значения до нуля происходит только на концах отрезка 1. Из (0.21) следует, что на этих концах сосредоточены колсблгощиеся заряды (рис. 9.2б) с комплексными амплитудами: >7~~ = ~ 11~~/гс. (0 22) ' ст Такам образом, с элементом тока 1 совмещен диполь, момент которого р (2.4) имеет комплексную амплитуду )стг рг '»'>) Отсюда и происходит название диполь Герца.
Физический смысл полученного вывода состоит в том, что игкрытый гишмгит исрегшиииго тока в силу закипи сохранения зарина Иод пряж Иится Шгп 01«И1ИМИГИ И рс ШМИ Иа Г ГИ ИИИКЗХ, Итг~ «>- Щами р;юные;жаки, колсбл«ицимси нииолсм. 11>а;>ОНЫй СДСПГ Пс прямолпнсйиып элемент тока, называемый эле>зеитариым электрически>я излучате.ген, а таклке диполезг Герца: Генрику Герцу принадлежит как практическая реализация, так и теорня этого объекта. Представление о дпполс Герца имеет отнюдь ие только историческое значение, оно играет существенную роль н теории аитспп.
Поле пзлученпя, создаваемое элс'г ментарным электрическим излучателем, проще всего найти, отправляясь от формулы (9.17), п это будет сделано ниже в и. 9.2.2. Но сначала мы долж- -'"'; ~ (,г ф~ ны обсудить физическое содержание «открытого» элемента переменного тока, не принадлежащего какой-то замкнутой цепи. а с Элемент тока с постоянной компРггс. 0.2 лексной амплитудой г ', занимающий участок длиной 1 на оси з, показан на рис. 0.2а. Будем рассматривать сто как весьма тонкий цилиндр с поперечным сечест .ст пнем и' п постоянной плотностью тока. Таким образом, т — — 7,'с5 и 1",, = хсу'. Привлекая закон сохранения заряда (1.44), писем: д 1"/дз — — гнгрс;.
(О.20) Умножив левую и праную части равенства на ЯЛз, слева получим ( уст > 1 ) Л ~7ст и, стОЛ гтЛ)> > ст дящшкся па элемент Лз: ЗЗЬ г /е 21а Р д /т е!а О д/де д/до а /е д/да гое Н вЂ” 11 Кт =- 1(ее в 4пе12 е ( — ', Ж) е вь 21ав/7 О б Р .33 (0 '73) 1"1. 2. ПЭЛУЧЕНПЕ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАИС1Ш -90' между зарядами и током означает, что в момент. когда о/В1 заряда максимальны по абсолютной величине, ток равен нуле .
Оипхронное изменение зарядов вызывает ток, который с уменьпп кием ~//, 'растет и при отсутствии зарядов становится максима/и пым, а затем, уменыпаясь, перезаряяеает диполь: заряды Сказыва. 1отсп противоположными предшествующим. Это половина перно/В и ро де оса. 9,2.2. Поле излучения диполя Герца. Продолжая рассматрива/1 Рчшмепт тока. как равномерно обтекаемый током тонкий цилиндр, ориентированный вдоль осп х, расположим начало координат в средней точке. При этом формула (9.17) принимает впд; 1/2 — 1/2 В дальнейшем будем пользоваться сферической системой координат (рис. 9.3а) и потребуем выполнения двух неравенств: 1(<г, 1«Х (9.25) (пусть потери отсутствуют).
Элемент должен быть мал по сравнению с расстоянием наблюдения (ср. п. 2.2.1) и мал в волновом масштабе. При этих условиях из (9.24) получается: Н = а —, ~ — „+ — ~ е-12" гйп 6, (9.26) 1// Ь Е = — — ~г — ~ — — /2~сааб+ 22 — ~ — — — — 1/22/з(яйле-/ье. 4паев( е 2 (,г е е Е е ~ 2 Г (9.27)' Этп формулы продставляют собой строгое решение задачи при 2 2.2.
ЭЛЕ21ЕНТАРНЫй ЭЛЕКТРПЧЕСКПй ПЗЛУЧАТЕЛЪ 327 р =сопз1 (0.23), 1- О, когда излучающий элемент становится точечным (ср. п. 2.2.1). ВЫВОД. В силу первого из требований (0.25) векторы г — г' и г оказываются близкими по величине п направлению (рис. 9.3б). Поэтому заменим !г — г'! на г п вынесем за знак интеграла (9.24) все выражение в круглых скобках.
Поскольку при этом ге, можно заменить па ге, то выносится также [зо, ге) =ае з1п 6. Вынесем и постоянную величину 1 . Что касается оставшейся пока под интегралом функцпп ехр( — 1Й~г — г ~), то следует иметь в виду, что в процессе интегрирования величина ~г — г'~, изменяясь, может отличаться от г не более, чем на 1/2.
Как бы ни было это изменение мало в сравнении с г, экспонента под интегралом будет испытывать сильное влияние, если длина / не мала в сравнении с Х. Но при выполнении второго требования (9.25) можно положить ехр( — Й)г — г ~) равным ехр( — Йг) и также вынести за знак интеграла. В результате интегрирование дает мноя1птель 1, п пз (9.24) получается равенство (9.26) . Чтобы выразить К„, (вне элемента тока), возьмем первое уравнение Максвелла. Используя (2.5) и табл. 2.2, имеем: Выполняя этп действия, прпхо;шм к равенству (0.27). ° Поле излучения, представляемое форму;1ами (0.26) л (0.27), есть не по иное, как сфер//чвсж/л во.п/в.
Прп переходе от комплексных амплитуд Е„, и Н„, к самки векторам поля Е и Н члены соз полученных выражшпш прнобретут множите/ш . (в// — йг+ ер), з(п Видно, что па каждой сферической поверхности г = сопзь л/обая из компонент поля Е„Ее и Н„сппфазпа, по аеп/.штудпое распределение зависит от 6; опо пе остается постояпным при изменении г. Поле обладает осевой симметрией: отсутствует зависимость от азимутальной координаты а.
Магнитные силовые линии — концентрические окружности в плоскостях, ортогопальяых элементу тока. Электрические силовые линии лежат в мерпдиопальных плоскостях а = соней Рассмотрпп поле в /ьй/2/е//ей эопе, т. е. па расстояниях г сЛ (/сг«1). Оторосив в формулах (0.26) и (!/.27) препеорежпмо малые члены и полагая ехр( — Йг) = 1, получаем Реп /1е ° /Те Е,„ж — 2(ге2соей + йе з/пб), Н,„-ае —, з/пб = ае — зепй 4ле ег 4аг" 4пее е 323 ГЛ. 9. ИЗЛУЧЕННЕ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (использовано обозначение (9.23) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
