Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Вторая сшешанная задача: В данном случае решения й = Х1'Я строятся как призведення Т=Х1' (712) п 3=81п(рлг/5) (в (8.5) Р'=0), Задача порождает слелующие собс<всннь<е функции: <2О -<8~ »!лг влд ° ! лг и',"„, == Х „соз ' соз — '-81п — '' ", г1« и = О. 1, 2 ...; и = О, 1, 2 ...; р = 1, 2, 8.0.2. Цилиндрические координаты (Х).
Уравнение (6.1) в цилиндрических координатах (см, и. 2,0.2) г ш дг г да дг тоже приводится к уравнениям (6.4) п (6.5), причем 1е = Хг+ Х'1 (ам<сто Г в (6.4), (6.5) пишем Х,). Уравнение (6.5), имеющее в данном случае внд (7.37), подробно рассматривалось в п. 7.0.3. Таким образом, и =ТТ, где Т=Я(г),Ф(а), и этн еомпожители выраяо ~оте« ~',и<рву шмп (7.41), (7А2).
Ойорну:та (8.5) го про;кпс«<у дает 218). 19» ГЛ. 8. РЕзоНАРОРы 292 в ' В 8. ТРЕХМЕРНОЕ УРАВНГНПГ ГЕЛЬМГОЛЬЦА Получив общее представление решения й, сформулируем, как и выше в п. 8.0.1, решения смешанных краевых задач, рассматривая теперь цилиндрическую область (рис. 8Лб). Первая смешан)шя задача: див, — = 0 прн з —.= О, г = Х. (8.12) дв и,„ = 0 при г = В, Отправляясь от формул (7.46) и получая 2 так же, как в случае параллелепипеда, запишем порождаемые задачей (8Л2) собственные функции и соответствующие им собственные значения: ()) ()) ( вв) ) соз р))в = Хвв)р'/' г) . пгв соз (8.13) т=1,2,...; п=0,1,2..., р=0,1,2 (собственные значения подчинены равенству (8.11) ).
Для краткости записи использована только одна форма множителя дФ(па). Вторая смешанная задача: ди — =0 при г=В, и =0 при Е=О, з=й. (8.14) Прежним способом, но используя я данном случае формулы (7.49), выпишем собственные функция и собственные значения: /А„ ')соз ив Р= В/птрк( — Г), Паз)П вЂ”, / в)п (8Л5) т=1, 2, ...; п=О, 1, 2, ...; р=1, 2, двим гвдг () дг )/ гвв)недо)( де )) гвв)яво дав (8.16) На основе выра)некий (8.13), (8Л5) легко получить вырангения собственных функций, порождаемых краевыми задачами для цилиндрической области с кольцевым поперечным сечением (рис.
8Лв). Надо лишь заменить бесселевы функции 1„(2г) комбинациями цилиндрических функций (7.53) и, соответственно, (7.56) . 8.0.3. Сферические координаты (Б). В сферических координатах (см. п. 2.0.2) уравнение (6.1) имеет вид: Для разделения переменных делается подстановка и(г, О, а) =Я(г)(Э(0).Ф(а).
Внося это в (8.16), а затем умножая все члены на гвв)пгб/ЯНдв, имеем: Третий член зависит только от (в. Приравняем его некоторой конст нте — тв. Тогда сумма остальных членов будет равна тг, а уравнение распадется па два. Члены второго разделим на в)п О, пос е чего выран)ение, зависящее только от г, приравнивается константе рв. Оставшаяся часть будет равна — рг, и возникают два обыкновенных дифференциальных уравнения. В конечном счете получа)отея следующие три обыкновенных дифференциальных уравнения: Ядг 1 дг Решение й, а следовательно, и лэ для шаровой области (рис.
8.1г) должно переходить в себя при замене (х на а+2я. Поэтому т = О, 1, 2, ... )()ункцню лэ(а) нетрудно выразить в тригонометрической илн экспоненциальной форме. Далее, если сделать замену сов0=8, то уравнение относительно (Э в (8.18) принимает следующий впд: ,'1(( к),'~1 -) (г): —,)п=.о (я.п) ( — 1 ( ) ( 1) . Бго решения 0 () ) — это собственные функции, рсалнз ю неся при собственных значениях р'=п(н+1). Онп равны у щ Р' )(1) так называемым присоединенныл) функ()иям Лежандра Рв () (и = О, 1, 2,...). Наконец, второе нз уравнений в (8.18) преобразуется путем замены Я(г) = р(г)/Йсг и с учетом того, что р'= п(п+ 1), к виду: Это не что иное, как уравнение Бесселя (7.14) порядка и+1/2 относительно р как функции аргумента йг.
Таким образом, общее решение уравнения (8.20) представляется формулами (7.15), в которых надо заменить и па и+ 1/2 н положить х=/гг. Для области 0<г~В сохраняется лишь функция Бесселя, так что Я(г) = АУ„„))г(/гг)/)(/гг. Итак, для внутренней области шара (см. рис. 8.18) получаем: соз и,„=- А — У„()~.,(дг) Р(„"'(соз/)) та. (8.21) ГЛ.
8. РЕЗОНАТОРЫ 291 8 8 1 ОЕШЗЯ ТЕОРПЯ ЭЛЕКТРОМЛГНИТНЫХ РЕЗОНЛТО1'ОВ 2ь5 Представляют интерес две краевые задачи: >гервая задача вторая задача зги — — 0 прн т =- Л. (8,22) прп г=Л, 11ыраженпе (8.21) в том и другом случае представляет собственные фупкцпн. Что касается сооствепных значений йз, то онн согласно (Я,22) получаются прп решении уравнения Уаь1>2 (>>Л) = 0 (8.23) нлп, соответственно, Х„стг>2(ЙЛ) + 2йЛХ,-1>2(ЛЛ) = О. В заключелпе приведем справочные сведения о специальных 1(>ункцнях, входящих в (8.21).
Присоединенные функцнн Лежандра вычисляются следующим образом: гпо,д>2 а Р~~ (1! Р„(1) =(1 — 12), и = 0,1, ..., лг, (8.28) (8.24) где Р (1) — полнномы Лежандра: РОВ) 1 Р (1) 1 Р2(1) (38~ 1) Ра(г) = —,', (81' — 31)....; (>г — ' !) Р„О (>! — 10йг + 1) Ри(!) + >гР„, И) = О. Для функцпй Бесселл полуцелого порядка существует представленне: (8.26) з / 2 у -, > (х) = ( — 1)" х"ь"2 У = (е дх) ! ! *>астностн, (8.27) т> 2 /ет Уг>2(х)= )5 — 8(ох, э 2>2 (х) = 1' — 1 — — сов х~. (8.28) 3 8Л.
Общая теорпя электромагнитных резонаторов 8ЛЛ. Накопление знергнп в объеме. Резонатор и направляющая гтруктура (А). Рассматрнвая в предыдущих главах различные волгюиые процессы, мы отмечалн„что распространяющиеся, бегуи!ие во.!пы переносят энергию. Между тем, еще в пп. 4,0.2, 4.2.2 было ввгдено лредставленле о стоячей волне, наложении двух противоие.гожпо напранлепных воли с одплаковымн ампллтудамн; в этом с 'учэе (лрп отсутствлп лл'ерь) энергия в срезпем ие пероносятсл. !' 111 в 1.1.1, 1,>.!с>;>1>!се!ив,г>> по.>л >ьь >,' !пой стоячей Т-волны (и.
4.2.2) устаповпть идеально проводяпгпе плоскостп 8 = сопз$, прежнее поле сохрапптся в отсеченном энергетпческп изолированном объеме. Можно сказать. что противоположно направленные бегущие волны полностью отражаются этими плоскостягш, на которые опп падают ло нормали. Двл>кешге энергия лрп этом млеет колебательный характер, как схематически показано на рпс.
8.2а. Нал веление векто а Полптллга мепя- Р р ется через четверть перпода колебаний Л' поля: он колеблется с удвоенной частотой (см. л. 3.3.1). Расстояние между соселл!мп плоскостягш составляет по- лозину волны. таким образом, условие сулгествовапил поля между нпмл вы- Рис. 8.2 полияется прп вполне определенной частоте. Изолнрованный объем, в котором происходят колебательное движение энергнп, в сущности, выстуиает как ее нако>г>пел!ь Условие лаколленпя энергия мо'кно реаллзовать пе только прл коггебательнохг, но и прп цпклпческом двпжеппя эпергпп (рпс.8.261 внутри некоторого объема.
Поскольку во всех с>гу !аят свободиьы электромагнитные поля в элергетлческп пзолнроваплых объемач могут существовать только прл Оиреде.юлпых юстотах, такие ш>ъемы явля!отел револато!>>1.1>и. Легко показатгь что резонатором будет л!обой отрезок некоторой продольно-однородной структуры, отсеченный двумя лопере*глымп идеально нроводяшл>ш ллоскостлмп (рпс. 8.3).
Голл лстодпой стр1 ктурол лв>15111с51 прлметго1ьлыл 1>>) п,п1. >ииример, ьр1 Г'.1ыл (6! во.1ло,ил. '>О о 1юэуетсл полый ! евоиат д>: ти же пекло ске ыгь о ре:>ол;по! е. О !1юэоваплго! коакспальлой >гнилей (в) ПО все те11; лей!ля>е рассу:клеш!я будут справедлпвы л в опн>пл'илп отсеченного отрезки диэлектрического волновала (г) ллл какой-нибудь пяой от!0>ьпой структурьг, например.
двухпроводной лилин (д). В отсеченной областп (рпс. 8.3) возка>ьло суглествованпе >пшл, таклт полей которые в дополнение к граилчльн! условиям. свейстишпгыл пстолпой пипрщглянлп!й структуре. удовлетворя!от так!ко углов!Ло Л, =0 пи введенных лерегородг;их. Таким свойством может обладать наложение прямой и обратной волн одного тппа. Сосредоточив влпмаппе ла поперечлоп электрн*!есной кампале!и поля запишем' (8.201 Ры — Ар, е 'г' + ВВ, е15', где 8', — - лолере лшя лроекллл вю;тора 8 (6.12).
а Л и  — пекиторые комплексные коэг(55[лгцпептг1. Потребуем обрашеппл 75'„,, и нуль ла плоскостп з = О, что реалпзуетсл прп В = —.1, причем выраженно (8.20) принимает и>ш: 1',.> =- В88'> з!и Гг, где Ле =. — >2.1;;>то гт>шз,!л ю>.11!ж 11,1 О15,>и т,>к!ю гио ус!л>юл лри ГЛ. 8.
РЕЗОНАТОРЫ (8.35) ар~ (8.36) / =и/ Рис. 8.3 (8.34) г =/, мы должны положить в (8.30) 8(Н ГЕ = О. Отсюда Г = ря//, р = О, 1, 2, ..., (8.31) т. е. постоянная распространения Г пе может быть произвольной величиной, а принимает одно значение из этой последовательности. Поскольку Г= 2я/Л (6.7), то из (8.31) следует Ь=рЛ/2, р= О, 1, 2, ... (8.32) При р = О, как видно из (8.30), Е ~ = 0: поперечная электрическая компонента вообще отсутствует; эту возможность мы обсудим отдельно. Во всех остальных случаях равенство (8.32) означает, что длина отсеченного отрезка направляющей структуры должна быть кратна половине длины волны (того или иного типа).
Ввиду (6.13) Гг=й' — тг. Приравнивая этому выражению величппу Гг, следующую из (8.31), получаем: " =Х +(Ря/А') ° (8ЛЗ) Поскольку йг = (о/с) ген, то отсюда 8 8А. ОБЩАЯ тЯОРНЯ электРОЫАГнптных РезОнАтОРОВ 997 Полагая пока е и и вещественными константами, будем считать также не зависящим от частоты поперечное волновое число у (как в случае полых волиоводов, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
