Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 49
Текст из файла (страница 49)
7.24 трическом слое (е), называемый в этом случае полосковым оптическим волноводом, и ряд других. Если граница раздела сред рассматриваемой структуры описывается как цилиндрическая координатная поверхность г = сопвФ (в, з, д, ж, з), то, как и в случае полого круглого волновода (см. з 7.2), в основе анализа лежит использование решений скалярного уравнения Гельмгольца в цилиндрических координатах (см. и. 7.0.3), получаемых методом разделения переменных. Решение электродинамической задачи выражается в замкнутой форме; некоторые трудности могут быть связаны лишь с нахождением поперечных волновых чисел как корней трансцендентных уравнений.
Легко выписывается решение задачи о прямоугольном волноводе со слоистым диэлектрическим заполнением (и). Что касается структур с прямоугольными подобластями (б, в, к), то здесь замкнутые вырая2еппя решений отсутству7от; необходимо применение методов алгоритмизации, ориентированных на ЭВМ (гл. 12 — 13). 7.4.2. Круглый диэлектрический волновод (А).
Этой структуре свойственны гибридные волны, а также волны классов Е и Н. Таким образом, в общем случае для представления поля надо выразить продольную электрическую и магнитную компоненты. В области диэлектрического стержня 0 (г(Н (рис. 7.24в) функции д', и вй. представим в виде: Аналогичные выражения а, и 7е, были получены для круглого полого волновода (см. $7.2) в классах полей Е и Н. В гибридной волне такие поля связаны, причем до решения задачи неизвестен ориентационный угол ф. В (7.107) индексом 1 обозначены величины, относящиеся к области стержня, "при этом /77 =(ю/с)УЕ772ь Вне стержня при г > Н (рис.
7.23в): Вместо функций Бесселя здесь фигурируют функции Ханкеля второго рода (см. и. 7.0.2). Это означает выбор решения уравнения (7.39) в форме второй строчки (7.15) с сохранением того члена, который с ростом г убывает быстрее, чем 1/Уг, если 7(2 = -К~2(; чтобы убедиться в этом, достаточно привлечь асимптотическое представление (7.32). В (7.108) индексом 2 обозначены величины, относящиеся к внешнему пространству г)В; в частности, Йз= =(е7/с) 7'е2722 (если внешняя среда — воздух, то практически, зз = 1, 722 = 1).
При решении электродинамической задачи о диэлектрическом волноводе сначала надо выразить полное электромагнитное поле в комплексных амплитудах: Е„=Е„,+Е„о Н =Н .+Н 7 во внутренней и внешней областях. Для получения поперечного поля Е„,, Н, продольные коьшоненты Е, = з~д',е-"* и Н„, = звЖ,в '"*, следующие из (7Л07), (7.108), вносятся в (8Л6). При наложении условий непрерывности тангенциальных компонент векторов напряженностей поля на поверхности стеря7ня г= В устраняются неопределенности в представлениях полей и формулируется уравнение относительно поперечных волновых чисел.
Все зтп операции приведены ниже в и. 7.4.3, а здесь опускаются. гл. 7. ИАИРАВляющик стРРИТРРы 266 6 7л. диэлектРические Волнозоды 267 В общем случае указанное уравнение имеет вид гибридные волны ) Л<гп Д 1 Х вЂ” ' В "(' — Л " ( ', 77.1094 Х вЂ” Х вЂ” Х „( ° ) причем связь между поперечными числами в обеих средах (7Л10) которая следует из (7.107), (7.108), позволяет исключить из (7.109) Х$ или Х2.
Если и = О, т. е. поле является азимутально-однородным, то левая часть в (7.109) исчезает и уравнение распадается на два более простых: поочередно приравниваются пулю выражения в квадратных скобках. Как показано ниже в п. 7.4.3, азимутально-однородные волны не являются гибридными, а относятся к классам Е и Н, так что уравнения, получаемые из (7.109) при и = О, соответствуют этим классам. Ниже они записаны после небольших преобразований: Е-волны (7Л11) ., Х,г,(х,л) =Х „ои(т д) Н-волны (7.112) (в частности, учтено первое из соотношений (7.23) ).
Анализ полученных уравнений приводит к выводу, что общий характер волн, направляемых диэлектрическим стержнем, близок к тому, что уже известно о волнах плоского диэтвктрического волновода (см. п. 5.3.4). Рассмотрим Е-волны. Выше отмечалось, что для направляемых волн Хг = — гр (р) 0); при достаточно большом 2 2 волна имеет резко поверхностный характер. Так как йг(0 и Х,) О, то (см. (7Л07), (7.108)) Гг) йг Гг( йг. (7Л13) Волны, таким образом, являются быстрыми по отношению к внутренней и медленными — по отношению к внешней среде, ср.
(5.84). Характер распределения корней уравнения (7Л11) или (7Л12) легко понять, проанализировав левую и правую части, как функции е,н от х Х~В. Левая часть Ео' (х) (индексы соответствуют случаям волн Е и Н) в обоих варпаптах построена па рпс. 7.25; взято е~ = = 9,6 и 44~ = 1 при ег = 1 и 742 = 1 (диэлектрический стержень в воздухе).
Правая часть Е ' (х) при Хг = — гр (р ) 0) отрицатель- Е,Н на, а значит, в рассмотрение входят только отрицательные участки ветвей Е" (х), Правая часть Ео' (х) имеет одно и то же значе- Р.,Н Е,Н ние в вариантах Е и В. Поскольку ввиду (7.110) ХгЛ = = Ухг — (о77с) гВг(е1р~ — ег742), то Ео' (х) зависит от частоты. На рис. 7.25 эта функция построена для В=7 мм при нескольких частотах.
лен На самой низкой из них корней нет, е !Ев но с повышением частоты сначала л, ~ л появляется один корень, затем два и три. Как видпо, все они лежат меяоду нулями и полюсами функ= УУи ~ б ,е,я 0 цпи Е.,' (х), т. в. между нулями ве д 1 Уд числителя и знаменателя, а это корни Во„и В~„уравнений 12(х) = 0 и У~ (х) = 0 соответственно. Прп крити вской астотв 7=( для которой Хг = О, вне стержня поле утрачивает продольную электрическую (магнитную) компоненту и гб становится Т-волной; при этом Г = -д 1 ! ! йг. Как и в случае плоского дп-;7~ 1 электрического волповода (см. п.
-7д ' .- ~ ! 5.3.4), это оразрушепиво направляе- 7-,' гб Ее,л мой волны: энергия распространяется во внешнем пространстве. Из Рис. 7.25 (7Л11) и (7.112) следует, что при у =0 обращается в нуль и Уо(Х7Л), т. е. Х~В =Но . Привлекая (7.110), получаем: ю),; == (7.114) оо д р (ср. (5Л01)). Разумеется, корни трансцендентных уравнений (7.111), (7.112) и (7Л09) находят нв графически, а путем численного решения на ЭВМ. Для прежнего диэлектрического стержня (е7 = 9,6; В =- 7 мм) в воздухе таким путем найдены частотные зависимости, представленные на рис. 7.26 и рис. 7.27. По оси ординат отложена величина 7227'Г =А)Хг= Р47иг (Рг= с). Отношение фазовой скорости Ро направляемой волны к скорости Рг= с волны Т во внешней среде стремится к единице при отсечке.
На рис. 7.26 отмечены критические частоты типов волн Ео и Но„, отвечающие формуле (7.114). Кривые на рис. 7.27 относятся к гибридным волнам, анализируемым при помопги уравнения (7.109). Существенно, что основная волна рассматриваемого волповода является гибриднои. Она обозна- 2С9 В 1.4. ДПЭЛЕ1"ТРПЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ ГЛ. 7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ о,е (7.116) о,: о,о о.л О,г (7.118) г„ш Рис. 7.27 — его „Я (УГ) ЯРЛ()га+ [)), чается символом НЕ)) и имеет критическую частоту, равную нулю.
Минимальная критическая частота в классе всех остальных волн (Е, Н и гибридных) определяется по формуле (7Л14) при т 11 го) ш г02 2Р лр РО б /Тц Рис. 7.26 ато критическая частота типов волн Еш и Но). Таким образом, в по- лосе частот 0<у< —" (7Л15) 2в)2 )/'о В может существовать лишь основная волна НЕ)). Прн фиксирован- ноы Л полоса такого одноволнового (говорят еще одномодового) режима тем шире, чел1 ближе коэффициенты преломления обеих сред п) = Уе))д) и по = Уво)22 (ср.
и. 5.3.4). В оптических системах нередко используют двухслонные диэлектрические волноводы (см. рнс. 7.24д). Достаточно толстая внешняя диэлектрическая оболочка оказывает па внутренний стержень почти такое же действие, как безграничная среда с теми же проницаемостямя в н )д. Полосу одномодового режима прн этом можно оценивать по формуле (7.115). 7.4.3. Вывод основных соотношений (Б) . Приведем вывод вырая)еннй комплексных амплитуд полного поля круглого диэлектрического волновода н уравнения (7.109).
Отправляясь от формул (7Л07) н (7Л08), потребуем непрерывности про)тольн)их компонент векторов Е и Н на поверхности стержня г Л. Это дает: с 7) у (х,)7) А Ь Н12)(Х и) ' Чтобы получить поперечные компоненты векторов поля внутри и вне стержня, внесеы в (6.16) Е . = ход', ехр( — 1Гг) и Н, = = гоУй„ехр( — 1Гг). Таким образом, Е, =: (АГЧдХ„(улг) сов па + , 2 + Во)[)о[4 [Чдэ„(у)г) соя(па — 2[)), хо)) е (7Л17) Н~) =:,' ( 1ыеов, [хо, ЧдУ. (уя г) соя па) + 2 + ВГЧ, Х„(у)г) соя (па — 2[))) е г(Л и затем с учетол) (7.116); Е, =,, ' [АГЧ,Н„2 (у.,г) созна+ - 17. (2) 7)) <м „ -;77[2)(ход) + Во)[)2[42 [ЧдН„) (у,г) сов(па — 2[)), х Д [ е Н,д, — „[Ао)еовл [хо ЧдНо (Уог) сов п1х1 + . 2В12) (, Д) + ВГЧдН1') (у.,г) соя(па — 2[))) е ).- Л.
Здесь согласно (2.3) н табл. 2.2 ЧАЯ„(уг) сов (па + р) = гоуЯ„(уг) соя (па + р)— где 7. есть у. Плп Н;2; р = О, 2[); у = 2) 2 12), ГЛ. 1. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ 271 2 1Д. ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ (7Л21) (7.122) Выделяя из (7Л17) п (7.118) азимутальные коьшоненты и приравнивая их при г = Н, получаем два равенства: А з!и по. —,Х„(Х)Л) вр (1 1) ],х' х2! 1 2 = юрвВ соэ (пи — 2])) — — Х„', (у,Л) ) — Н„' (, Н) 1 )2 П(Х1 ) (2) Х "' ' Х н)2) л „(х, ) (7.119) — — Х (хН)+ —,' Н. (хН) =- 21 з2 и (х)л) (2) о Х " ' х н< ); л " 1 "1 „ (х, ) = — В гйв (па — 2])) ~ — Х„(Х)Н) ~ (7 120) Если и Ныл, равенства (7.119) и (7.120) могут быть удовлетворены только прп )р = ~90', тогда тригонометрические множители сокращаются.
Исключая константы А и В, получаем из (7.119), (7Л20) непосредственно уравнение (7.109) . Остается показать, что уравнения (7.111) и (7.112), действительно отвечают классам полей Е и Н соответственно. Это следует из (7Л19) и (7.120). Пусть удовлетзоряетсл уравнение (7.111), тогда не выполнено равенство (7Л12), а потому при и =0 выражение в квадратных скобках справа в (7.119) не равно нулю. Ио ввиду И=О левая часть в (7.119) уничтожается. Отсюда В=-О, т. е. согласно (7.107), (7.108), (7.116) Н, =0: мы имеем Е-волны. Аналогично показывается, что (7Л12) отвечает П-волнам.
7.4.4. Цилиндрические проводники (Б). Все полученные выше основные соотношения, начиная с формул (7.107) и (7.108) сохраняют справедливость при комплексных проницаемостях стержня и окружающей среды; при этом, разумеется, анализ корней уравнений (7.109), (7.111) и (7Л12) оказывается в общем случае более сложным. Таким путем можно учесть потери В диэлектрическом волповоде и решить другие задачи. В частности, можно рассмотреть металлический стержень в диэлектрическон среде и цилиндрический канал в металле, заполненный диэлектриком. Однопроводная линия и полый волновод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
