Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн (3-е изд., 1989) (1152088), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В результате получаем систему решений второй краевой задачи (6.9) в случае прямоугольной области в виде следующих собственных функций и отвечающих им собственных значений: Т~~~„(х, у) = Х(')„сов (тнх/а) сов (плу/Ь), = (тк/а)г + (пя/Ь)г (7А3) и = О, 1, 2, ... (как и ранее, Х „— неопределенные константы). Значения (г) т = 0 и и = 0 теперь не исключаются. При одновременном равенстве нулю т и и собственная функция есть константа, а соответствующее собственное значение — пуль. 7.0.2.
Цилиндрические функции. В дальнейшем нам понадобится решать уравнение (6.5) в цилиндрических координатах. Здесь в результате разделения переменных появится обыкновенное дифференциальное уравнение и г ') у + — у + (1, ~ у =-- О, х (7.14) которое называется ураепением цилиндрических функций, а также уравнение.в Бесселя и-го порядка. Общее решение уравнения (7.14) заппсыва>от в следующей форме: )'Ал „(х) + ВХ„(х), " = ~(с1 Н(„') (х) + ВН,'," (х) (7А5) Н',1'г) (х) = у„(х) -+ >Х„(х) ° (7.16) 75 В В Птгоассг.п>Ц т. И. Пгп.огне>,сп (оба варианта эквивалентны), где: /„(х) — функции Бесселя и-го порядка, Х„(х) — функции Неймана и-го порндка, Н„' (х) — функции Ханкеля 1-го рода и-го порядка, Нп (х) — функции Ханкеля (и 2-го рода и-го порядка.
Это различные виды цилиндрических функций. Смысл представлений (7.15) легко понять, если учесть, что при х - уравнение (7.13) переходит в хорошо известное уравнение у' + у = О, решение которого можно представить в двух формах: у = соя х + вш х или у = ехр( — гх)+ ехр(гх). При этом ехр(~ гх) = = соя х А-1яш т. Аналогично ГЛ. 7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ Таблица 7А Корвв Вп ураввеввя .Уп(х) = О Таблица' 72 Коряв Ап ураввеввя /„(х)= О 2,405 3,832 5,136 6,380 5,520 7,016 8,417 9,761 8,654 10,173 11,620 13,015 Ы,792 13,324 14,796 16,223 3,832 1,841 3,054 4,201 13,324 11,706 13,170 14,586 7,016 10,173 5,331 8,536 6,706 9,969 8,015 Н,346 в,у (7.20) (7.21) в частности, (7,23) Формулы интегрирования: Рвс, 7.2 15» Цилиндрические функции не являются периодическими, но ови «осцнллируютэ.
Функции Бесселя н Неймана с ростом х принимают значения, колеблющиеся около нуля с монотонно уб>ыватощей амплитудой и приолитнающиеся к тригонометрическим прп х- Существенно, что уо(0)=1, у„(0)п»0 при пчьО и ттт (0)= — . Цилиндрические функции хорошо таоулированы. Н)прока распространены программы вычисления их на ЭВМ (рис.
7.2). Нам понадобятся значения аргументов х, прн которых функцян Бесселя и пх первые производные обращаются в нуль, т. е. корни х = В„„уравнения 7„(х) = 0 и корни х = А„уравнения х, (х) = 0 (табл. 7.1, 7.2). Запишом такяте пекоторые формулы, часто используемые при операциях с цплнпдрнческвми функцивмн; последттпе будем обозначать 2„(х), подразумевая, что имеется в виду функция Несет ля, (!обмана или Ха>ткеття целого порядка, 1 7.0. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 227 Фупвциональиые соотнотиеыия; дифференцирование: 2 „(х) =( — 1)"2»(х), (7А7) в частности, 2 ,(х) = — У.,( ), (7А8) Вхп (х) — = — — — "2„(х) + 2„,(х) = — "Е„(х) — Я„+,(х). (7.19) Далее, из (7А9) следует: Яп т(х)+Хо+>(х)= — '"~.(х), — [х "Яп()тх)] =- — йх "х и+т(йх), ) 1 2 (х) г,'() =-2,(х), 2,'(х) =г,(х)- — ' [ х" '2»(х) т(х = х""'2„«.т (х), (7.24) ) х л'п(х)ттх= х ип — т(х) (7.25) хоп (х) т(х = 2 [2п (х) — ~п — т (х) 2п+т (х)! = = х [[1 — ( — ) ~ 2,', (х) + 2„(х)~, (7.26) ( л .'-„(х),2 1 22 1 л 2 2 > 2,', > >1* 2, = т(гт >>(> — (-") 1» .
2„>> 2'„>>»г.' >>) (7.27) бх2п (ах) 2», (()х) — ахи», (ах) 2» (()х) ап — ()2 1 7.0. РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГВЛЬМГОЛЬЦА 229 ГЛ. 7. НАВРАВЛЯЮЩт!Е СТРУКТУРЫ 228 При неограниченно возрастая>щем аргументе цилиндрические функции переходят в тригонометрические или зкспопепциальные. Используются следуюп(ие асимптогичесяие представления; .Е„(х) = $т/ — соз <х — — (и+ ~ <1 + 0(х з' ), 1 Нтн(х)= $т' =ехр(1<х — ~я+ 2)1/+0(х и'), (734) Н(„>(х) = 1 — ехр~ — 1<х — 2 <н+ —,ф+ 0(х '~').
(7.32) (7.30) Запишем степенной ряд (х/2!и (,/2! ~+! (,/>)~И-т О!п! 11(п + 11! 21(и + 2)! (7.33) При х ч. 1 отсюда следует: ап Х„(х) ж —,, п>2п в частности, (7.34) Ес (х) = 4, Ет (х) = х/2. При малых х имеем также; 2 2, (п — 1)! 72>п .У (х) — —" 1п — ", Х„(х) ж — т(=/! (7 = 1,781...) (я ) 0). (7.35) (7.36) Решение ищем в виде произведения Т(г, и) = Я(г) Ф(и). После этой подстановки, раскрыв круглые скобки, имеем: дтЯ 1 ВЯ'т Я Рзз — + — — ~ и+ — — + хтЯМ=О. г т(г ~ гз Лаз Умножим все члены на г'/Язв и перегруппирусм: г'г'Я г т(Я вЂ” — + — — + гз)(э + — — = О. Я ттгт Я ттг зп т!а (7.38) Зто привело к раздолотипо псрсмсииых: первые тртт тлопа зависит только от т, а последний — от а.
Введем константу и' и ирправпястт 7.0.3. Задачи в цилиндрических координатах. Двумерное уравнение Гельмгольца (6.5) в цилиндрических координатах (см. п. 2.0.2) имеет вид: — — (г — / + —, —,, + у' Т = О. (7.37) ей сумиу членов, зависящих от г; тогда последний равен — я'. В результате получаем два обыкновенных диффереттцпальных уравнения: т(~Я 1 т(Я /, п~ 'т — + — — + ~Уз — — з /1Я =-О, ттг (7,39) ' ", + пав = 0 тта (7.40) (при записи (7.39) все члены были умножепы на Я/г').
Обтьткповеттпое дифференциальное уравнение (7.39) — зто уравнение Бесселя (7.14) ири д = Я, х = уг. Его общее решение заипшом в форме (7.15): < АЕ„(7( ) + Вй(„(Х ), (АЕ/~т" (7(г) + ВЕ/т'~'(7(г). Решение уравнения (7.40) нам известно: т С сов нст + Е>з(п иа, Эзт (а) = и — ыа тпа те +Е7е (7.41) (7.42) Итак, найден общий вид рошения Т = Я,М уравнения (6.5) в цилипдрттчссквх координатах, содержащий ряд неопределенных констант. Перейдем к рсшопию краевых задач (Г>.8), (6.9) в случаях областей, показанных па рнс.
7.3а, б. Поскол>иту при этом Т(г, а) = = Т(г, а+ 2ятг), то тт В (7,41), /тл ~тт (7.42) — полос яли нуль. Начнем с краевой задачи (Г>.8) т> для круговой ооласти (рпс. 7.3а). Выопрая решение в форме первоп строчки (7.4! ), умноженной на эа (7.42), мы должны сразу положить В = О, потому что в противном спу- рт!с.
7.8 чае Т окажется пеограштчеппым в центре круга г=О (напомним, что т>т„(х)- — при х- 0). Таким образом, Т(г, а) = Е ()(г)Ф(а). (7.43) Граничное условие Т = 0 на Ео влечет за собой: Е„(7(Л) = О. (7.44) Зто значит, что 7(В = В„„(см. табл. 7 4), т. е. 7( = В../и. (7 4>5) В результате мы можем записать решение краевой задачи (6.8). Как видно, сост!>му решений образутот собствсииыс функции, иолучаомые при подстановке 7( (74>5) в (7.43). Запишем выражения этих ГЛ.
7. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СТРУКТУРЫ % 7Л. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД Лу„(ул,) + В)У„(ул,) = О, АУ„'(уЛг) + В)уи'(уЛг) = О. (7.54) (7.47) (7.48) функций вместе с соответствующими им собственными значениями: — Лпа зш л В )елим (7.46) Аит = (Вит> Л) ° Здесь линейные комбинации (7.42) представлены в форме столбцов: выбор одной из позиций столб>ца дает вариант собственной функции. Решая для той же области (рис.
7.3а) вторую краевую задачу (6.9), опять крпходпм к формуле решения (7.43). Граничное условие дТ)ду = 0 на Тль дает: У„'(ул) = о. Поэтому уЛ = А (см. табл. 7.2) и у = Л„ /Л. В итоге вместо (7.46) получаем: лл„л сов — Лпа уп т =- (Лит7Л)'. Решение краевых задач в случае кольцевой области (рис. 7.3б) отличается тем, что теперь нет оснований отбрасывать член с функ- цией Неймана в (7.41), так как центр круга исключен из рассмот- рении. Вместо (7.43) пишем: Т(г, сл) = [А1„(уг)+ ВА>„(уг))Ф(сл).
(7.50) Решая первую краевую задачу (6.8), теперь необходимо потребо- вать обращения в нуль решения нри г = Л> и г = Лю Отсюда А7„(уЛ ) + В)>7. (уЛ ) = О, АУ„(уЛг)+ В№ (ХЛг) = О. (7.51) Выполняя условие совместности этой системы уравнепилл, обратим в нуль ее определитель: 7 (ХЛ>)А> (ХЛг) 7п(ХЛг)дп(ХЛ>)= 0- (7.52) Это н есть уравнение относительно у. Если корни у = у„найдены, остается подставить их в (7.50) и, далее, воспользовавшись одной из строчек (7.51), найти отношение коэффициентов В и Л.
По- лучаем: Я(г) = Л У„(ул> г) —," ' ' №,(уи г) . (7.53) и (Хит л) Для получения полных собственллых функций надо внести это вы/ялт ра>кение (опустив Л) в первую стро>ну (7ЛО) внесто г'„[ — г). Что касается у ... то корни уравнения (7.52) приводятся в различных справочниках, например, в [К. 3). Пусть теперь решается вторая краевая задача (6.9) для кольцевой области (рпс. 7.3б). Решение по-прежнему представляется в виде (7.50), а вместо Т нужно обратить в пучь при г = Л> и г= Лг производную этой функции по г. Поэтому имеем следующую систему уравнений: Отсюда прежним путем получаем уравнение относительно у: уп (уЛ>) А>и (уЛг) Х»(уЛг) д)п (уЛ>) = О. (7.55) В конечном счете вместо (7.53) находим: Ф Я (г) = А уи (уитг) — ' А>и (уптг), (7 56) Уи (Хптя>) 7У1(дитя>) где опт — корни (7.55); они приводятся, например, в [К.
31 Для получения полных собственных функций надо внести Я(г) ллп (7.56) вместо Хи '[ — г) в (7.49), отбросив А. 4 7.1. Прямоугольный волиовод (А) 7ЛЛ. Решение задачи. Среди полых волноводов (см. рис. 6.2а) на>>более распространен прямоугольный волновод, металли лесная труба прямоугольного поперечного соченпя (рпс. 7.4). 51ьл располагаем всеми необходимымн дакнымн, чтобы записать решение электродпнамической задачи для прямоугольного Волновода, оболочка которого принимается у за идеально проводящую, а внутренняя среда является однородной. Такая математическая модель в большинстве случаев оказыва- а ется удовлетворительной. При необходимости она уточняется путем учета потерь в ме- 77 талле; это также будет сделано.
В прямоугольном волноводе с идеально Рис. 7Л проводящей оболочкой могут существовать только волны классов Е и В (см. п. 6.1.2). Рассматривая Е-волны, мы должны решить краевую задачу (6.27) для прямоугольного контура, а это не что нное, как уже решолплая выше в и. 7,0.1 нщнюн краован задача длн уравноння (7.1) с граннчнын условием (7.6). Итак, рошепио задачи (6.27) для нрнмоугольного Гл. 7, нАпРАВляющие структуры 232 9 7Л. ПРЯ2)ОУГОЛЬКЫП ВОЛНОЗОД волновода (рис. 7.4) дает согласно (7.10) д' = — Е всп — в1п — ' тп тп . тих .
пчу — о а Ь т=1,2,. и=1,2, . (7.57) Е =Е я всп яш о)п !пп . ткх . пиу т о ~ о Ь . гоп) Х тз тих . ппу' пп В тпх ппу )1 — 1Гтпг — (х — 'сов — 'вш — '' + у — 'сов — / е 2 (, О а а Ь о о ь /~ Хтп (7.58) 1ПП 'тп Ео |тп / пк . тих пиу тч тих .
ппу) !рта! Н =- г — с х — всп — 'соя — — у — соя — ''всп — ' / е ууегоЬаЬоааь/ тп 7)п)п где (6.26) г)тп 22 )г с 22 о Акр (Ц' = 120ЯУ1)Хв) и (6.20) — (6.22): тп пр / (7.60) причем ) = — „—,— )) ( —,) .)(У), г,", — . С).61) Анализ Н-волн требует решения краевой задачи (6.30).
В п. 7.0.1 это оыло сделало: для прямоугольного коптура (рис. 7.1) было поставлеио граппчпое условие (7.11) и найдена система решеппй уравнении (7.1). Поэтому согласно (7.13) а где т =(О), 1, 2, ..., и = (О), 1, 2, ..., ХХо " — иеопредолеипые ко;)ффициеипа (ср Е™)п в (7.57)). 1!упса«со шшчш;ии т и и можно брать лишь ири сочетании с мессу)совьсгссс (поэтому пули взяты в скиб- где Е„" — пеопределеиные коэффициенты. Зная эти собственные тп 2 Функции д, и соответствующие им собственные значения зс путем подстаповкп (7.57) в (6.25) выразим полные электромагнитные поля: Е-волны кп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
